【2027新考纲·广西】一元一次不等式（组）的解法及简单应用（教案）-人教版基础模块上册【上好课】

人教版《数学》基础模块上册 《上好课》 一元一次不等式（组）的解法及简单应用 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 考点分析 本课是2027版广西职教高考数学新增考点专题教学的第一课时，对应考纲“（二）不等式”第3条“掌握一元一次不等式（组）的解法”，并涉及第2条“理解区间的概念，并掌握其表示方法”和第6条“会从实际情境中抽象出一元一次不等式（组）、一元二次不等式模型解决简单实际问题”。本考点属完全新增，建议层级为掌握。 学情分析 学生具备一元一次方程的基本运算经验，但易在同除负数时忘记变号，在不等式组中把公共部分误作所有范围，并在区间端点和实际产量的整数条件上出现遗漏。通过诊断、数轴辨析与生产计划模型，帮助学生把运算结果转化为规范、可解释的解集。 教学目标 1．理解一元一次不等式及不等式组的含义，掌握基本解法、变号规则与区间及数轴的端点表示。 2．能规范求解单个不等式和不等式组，通过公共部分及端点检验写出解集，并纠正变号与范围表达错误。 3．能根据生产计划逐项建立约束，说明最严格上界和整数筛选的依据，在建模和解释结果中提升数学抽象与逻辑推理素养。 教学重难点 教学重点：一元一次不等式的解法、不等式组的公共解集与简单生产约束建模。 教学难点：同除负数时变号、公共范围及单点端点判断、实际变量的整数筛选。 教学方法 诊断复习法、讲练结合法、数轴直观法、纠错讨论法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 请学生独立口答两个诊断问题，再同桌核对不等号方向与端点。 诊断1：的解集是什么？ 【答案】 【解析】两边同除以负数，不等号方向改变。 诊断2：将写成区间，并说明端点。 【答案】；左端空心，右端实心。 【解析】严格不等号不含端点，含等号时包括端点。 教师根据作答纠正除负数不变号、左右端点混淆等错误，归纳：解不等式既要正确运算，也要完整表示所有符合条件的数。本课进一步复习单个不等式、不等式组及生产计划中的范围问题。 端点回顾：时，表示为；无穷不是可取得的端点。 结合图示，教师指认空心与实心端点；按需在数轴上标出诊断2的范围。 用变号和端点诊断激活已有经验，及时发现规范表达中的错误，为后续解集求解建立起点。 考点梳理 一、一元一次不等式的解法 定义： 未知数的个数是1，且它的次数为1，这样的整式不等式称为一元一次不等式. 使不等式成立的未知数的值的集合，通常称为这个不等式的解集. 教师解释：关键词是一个未知数、一次、整式；解集不是随意找出的一个解，而是使不等式成立的全部取值。 例1：解不等式。 【答案】，即。 【解析】两边同乘以6：；去括号：；移项：；合并同类项：；两边同除以负数，改变方向，得。 解题步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；两边同时除以未知数的系数。步骤可根据具体情况灵活运用。 系数化为1时须检查系数的正负；化为后，两边除以正数方向不变，除以负数方向改变。 强化记忆采用指认步骤的方式，即时反馈后做基础练习。 强化记忆：指认例1中去分母时是否乘到每一项，以及最后一步变号的原因。 【答案】去分母必须乘到两边每一项；最后一步两边同除以负数，因此改变不等号方向。 【解析】例1两边同乘以正数6，方向不变；最后两边同除以负数−7，方向改变。 基础练习1：解。 【答案】 【解析】，移项合并得，所以。 基础练习2：解。 【答案】 【解析】同乘以3，得；整理得，除以负数变号。 知识检测1：两边同除一个负数时，不等号方向怎样变化？ 【答案】不等号方向改变。 【解析】乘除负数与加减同一个数的规则不同，系数化为1前先看符号。 二、一元一次不等式组与公共解集 生活中还有一些问题涉及多个不等式. 一般地，由几个一元一次不等式所组成的不等式组，称为一元一次不等式组. 从上面的问题可以看到，解由几个不等式构成的不等式组，就是求这几个不等式的解集的公共部分. 教师先在同一数轴上分别表示各条解集，再找重合部分；所有条件必须同时成立，不是任选一条。 例2（1）：解下列不等式组，且。 【答案】，即。 【解析】由原不等式组得，；即，。两条解集均向左延伸，公共部分在较小的上界左侧，所以。 例2（2）：解下列不等式组，且。 【答案】，即。 【解析】由原不等式组得，；即，。在数轴上标出左端空心、右端实心，重合部分是。 解题步骤：求这个不等式组中各个不等式的解集；求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集。 同向范围取更严格的界，异向范围看重合部分；端点相等时，必须检验两个条件是否都允许该端点。强化记忆采用指图辨析，教师及时纠正把公共部分看成全部范围的错误。 强化记忆：在同一数轴上指认例2（2）的公共部分，并说明左右端点是否包含。 【答案】，左端不包含，右端包含。 【解析】公共部分须同时满足两条；不允许左端，允许右端。 基础练习1：解不等式组且。 【答案】 【解析】两条解集的公共部分是，左端开、右端闭。 基础练习2：解不等式组且。 【答案】无解，。 【解析】端点2不满足第二条，两条没有公共取值。 知识检测2：不等式组的解集是各条解集的公共部分，还是把各条解集合在一起？ 【答案】各条解集的公共部分。 【解析】不等式组要求每条条件同时成立，只满足其中一条的数不能作为解。 三、简单实际应用与整数约束 生产计划问题：某塑料制品加工厂为了制订某产品第四季度的生产计划，收集到该产品的生产信息如下：（1） 此产品第四季度已有订货数为4 000袋；（2） 每袋需原料0.1 t，可供应原料410 t；（3） 第四季度生产此产品的工人至多有5人，每人的工时至多为504工时，每人每工时生产该产品2袋.请你依据以上数据，计算第四季度该产品产量的范围. 【答案】产量不少于4000袋且不多于4100袋，即满足的整数。 【解析】设第四季度生产袋。订单要求；原料要求，即；工时要求。三条约束取公共部分得；袋数为整数，因此应作整数筛选。 教师引导学生按订单、原料、生产能力逐条说明约束，检查单位均为袋，比较上界后发现原料限制更严格。强化记忆采用遮盖条件后指认来源的方式。 强化记忆：在生产计划的模型中，指认下界与最严格上界各来自哪个条件。 【答案】下界来自订单条件，最严格上界来自原料条件。 【解析】工时给出的5040袋上界宽于原料给出的4100袋上界，因此实际公共范围以上述原料上界为准。 基础练习1：生产计划中“已有订货4000袋”给产量什么约束？ 【答案】 【解析】满足订货要求意味着产量不能少于订货数。 基础练习2：原料上界4100袋与工时上界5040袋应取哪一个作为总上界？ 【答案】4100袋。 【解析】产量必须同时不超过两个上界，因此取较小值4100袋。 知识检测3：生产计划中是否可作为产量？ 【答案】不可以。 【解析】产量以袋计，虽在数值范围内，但不满足整数约束。 学生把模型求解归纳为设变量、列约束、求公共范围、解释结果；教师强调至少、至多和不超过的含义。 由单个不等式到公共解集再到生产约束，结合完整典例和短答训练帮助学生理解规则与实际意义。 课堂背诵 学生合上教材完成挖空，随后逐项核对；本环节用文字提取，与知识点内的指图、指步骤区分。 背诵1：解一元一次不等式依次去分母、去括号、____、____、系数化为1；同除负数时不等号方向____。 【答案】移项；合并同类项；改变。 【解析】前四步整理同类项，最后一步除以系数时必须检查正负。 背诵2：解不等式组先分别求各条解集，再取它们的____；含端点用____点，不含端点用____点。 【答案】公共部分；实心；空心。 【解析】同时成立决定取公共部分，端点是否满足条件决定实心或空心。 背诵3：建模先设变量并说明____，再列出全部约束；求出公共范围后检查单位和____条件。 【答案】实际意义；整数。 【解析】解集必须能解释实际问题；袋数、件数等计数变量须为整数。 采用合书挖空提取步骤、公共部分和整数条件，检验整体记忆并及时纠正遗漏。 师生互动 同桌互检，先独立判断，再用数轴或条件检验说明理由；教师针对典型错误归纳。 互动练习：解不等式组，且。 【答案】 【解析】分别得和；同向向右延伸，取更大的下界。 纠错：一位同学把解为，又把且的解集写成。指出并纠正两处错误。 【答案】；。 【解析】第一处同除负数未变号；第二处严格下界不含端点，应改左圆括号。可代入不满足条件的数检验。 教师归纳：运算规则决定方向，全部条件决定公共范围，等号决定端点；错误必须指出原因，不能只换一个最终答案。 通过同向解集与两处错误的交流，让学生说明判断依据，增强运算检查和端点意识。 课堂练习 完成四题达标检测：第1、2题规范书写，第3题短答，第4题列式并解释整数范围；核对后记录变号、端点或整数筛选方面的错误。 1．解。 【答案】 【解析】，得，除以负数改变方向，得。 2．解不等式组且。 【答案】，即。 【解析】分别解得、，求公共部分并核对端点。 3．判断且是否无解，并写解集。 【答案】不是无解，解集为。 【解析】两条条件都允许，且只有这个数同时满足条件；单点解集不是空集。 4．一件产品用料2kg，现有21kg，至少完成8件，产量为整数，求范围。 【答案】 【解析】至少完成8件给出，材料限制给出，即；再取整数，得8、9、10件。 结合规范书写、单点判断和短模型检测学习效果，区分运算错误与范围表达错误。 课堂小结 1．一元一次不等式是只含一个未知数且未知数次数为1的整式不等式，求解时按需要去分母、去括号、移项、合并同类项并化系数为1。 2．不等式两边同乘或同除一个正数，方向不变；同乘或同除一个负数，方向改变。 3．不等式组的解集是各条解集的公共部分；必须逐条求解，并检验重合范围和端点。 4．区间及数轴表达须与端点条件一致；含等号可取端点，严格不等号不取端点，无穷端使用圆括号，单点解集与空集要区分。 5．简单应用先设变量并说明意义，再把全部限制写成不等式；求公共范围后，结合单位和整数条件解释结果。 将定义、运算、公共部分和实际约束连成主线，使学生形成可用于独立解题的检查顺序。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $