【2027新考纲·广西】一次函数与二次函数：概念、图像与性质（课件）-人教版基础模块上册【上好课】

人教版《数学》基础模块上册 第三章 函数 一次函数与二次函数：概念、图像与性质 封面待用户修改：本页沿用模板封面样式、图片与文字，未作改动；正式使用前请用户自行修改封面文字与配图。 学习目标 1．理解一次函数和二次函数的概念，掌握直线的增减性及抛物线的开口、对称轴、顶点和顶点最值。 2．能对简单整数系数二次函数配方，读取图像的基本信息，并运用函数关系解决简单路程和面积问题。 3．通过观察图像、说明系数作用和解释应用结果，提高数学运算与直观想象能力，形成检查条件和单位的习惯。 问题引入 路程问题：火车从北京站开出12 km后，以300 km/h的速度匀速行驶。试写出火车运行总路程与作匀速运动的时间之间的关系。 答案：，路程的单位是km，时间的单位是h。 解析：匀速运动小时新增路程 km，加上此前12 km得到总路程。这里对应火车已行驶12 km的时刻。 随着时间变化，路程也变化，这种对应关系可以用函数表达。 知识建构与基础检测：一次函数 定义：一般地，以为自变量的函数称为一元一次函数，简称一次函数。 在一次函数表达式中，令，则函数称为正比例函数。 直线的轴交点与增减性 一次函数的图像是一条直线。对于，当时，；当时，。图像经过点和点。 当时，一次函数是增函数；当时，一次函数是减函数。 直线的平移 几何意义：决定直线的倾斜方向；是图像与纵轴交点的纵坐标。的图像由沿纵轴方向平移个单位得到。时向上平移，时向下平移。 直线的平移： 正比例函数辨析 辨一辨：下列函数哪些是正比例函数，哪些不是？ （1）；（2）；（3）；（4）。 答案：（1）（2）（3）是正比例函数，（4）不是。 解析：前三个函数满足；（4）展开为，常数项不为0。 基础练习：增减性与作图 基础练习1：函数是增函数还是减函数？图像与纵轴交点是什么？ 答案：减函数；交点。 解析：，所以函数递减；令，得。 基础练习2：在同一坐标系中画和，每条直线分别可以取哪两个点？ 答案：可取；可取。 解析：每条直线取两个不同的点；前一条直线从左向右上升，后一条下降。 即时检测：直线平移 即时检测：的图像向下平移1个单位后得到什么函数的图像？ 答案：的图像。 解析：每个函数值都减去1，系数2保持不变。 二、二次函数的图像与性质 定义：一般地，以为自变量的函数称为一元二次函数，简称二次函数。 抛物线的开口 当时，函数变为，图像是一条顶点为原点的抛物线，纵轴是对称轴。当时开口向上；当时开口向下。 观察开口方向与开口大小： 配方法与顶点式 配方法：，其中。 顶点、最值与增减性 函数图像是一条抛物线，顶点坐标为，对称轴是直线。当时，在处取最小值；当时，在该处取最大值。 当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数。 例1：配方求顶点 例1：研讨二次函数的性质和图像。（1）配方，求顶点。 答案：，顶点是。 解析：。平方项非负，前面带负号，函数在时取最大值7。 列表、描点与读图 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 −2 3 6 7 6 3 −2 从图像核对顶点与对称轴： 以对称轴为中心选取少量点，描点后连成平滑曲线。读图时先看开口，再找对称轴和顶点，最后判断两侧的增减性。 基础练习：开口与顶点 基础练习3：函数的开口方向、顶点和对称轴分别是什么？ 答案：开口向上，顶点，对称轴。 解析：二次项系数为3，大于0；没有一次项和常数项，顶点位于原点。 基础练习4：函数的顶点与最小值是什么？ 答案：顶点；时最小值为−3。 解析：顶点横坐标使括号内为0；平方项系数为正，所以顶点处为最小值。 即时检测：顶点符号 即时检测：“的顶点是”是否正确？ 答案：不正确，顶点是。 解析：应令，所以顶点横坐标为2。 三、从简单图像读取零点与正负 观察图像与横轴的位置： 读图问题：已知二次函数，求：（1）取哪些值时，；（2）取哪些值时，，取哪些值时，。 答案：（1）；（2）时，时。 解析：图像与横轴交点的横坐标是零点；图像在横轴上方时函数值为正，在下方时函数值为负。严格大于或小于时不含零点。 函数值与方程的解 对于（），求使的值等价于求方程的解；图像在横轴上方或下方，对应函数值大于0或小于0。 基础练习：横轴交点与正负 基础练习5：上图与横轴的两个交点坐标是什么？ 答案：。 解析：横轴上点的纵坐标为0，横坐标分别为−2与3。 基础练习6：上图中，当时，函数值是正、零还是负？ 答案：负。 解析：点位于横轴下方；代入也可得到。 即时检测：零点是否纳入 即时检测：上图中满足的取值范围包括吗？ 答案：不包括。 解析：该处函数值为0，与严格小于0不同。 背诵提纲 背诵提纲：依次说出一次函数、二次函数的表达式和系数条件，直线增减性与抛物线开口的判断方法，以及的顶点、对称轴和顶点最值。 答案：；，；时递增，时递减；时开口向上，时开口向下；顶点、对称轴；时最小值，时最大值。 解析：复述时同时说出系数非零条件；顶点横坐标取括号内一次式的零点。这里最值结论针对定义域为实数集的二次函数。 矩形面积应用 面积问题：有300 长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙（设长度够用）作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？ 答案：两条垂直墙的边各75 m，平行墙的边150 m；最大面积为11250 。 解析：设垂直墙的一边为 m，则平行墙的一边为 m，且。面积。在允许范围内，平方项为0，面积最大；另一边为 m。 基础达标检测 1．下列函数中是一次函数的是： A．　B．　C．　D． 答案：A。 解析：A满足系数非零的一次函数形式；B是常数函数，C、D是二次函数。 基础练习：直线与抛物线 2．函数是________函数（填“增”或“减”），与纵轴交点为________。 答案：增；。 解析：，所以递增；令得。 3．函数的开口方向是________，对称轴是________。 答案：向下；。 解析：二次项系数小于0，开口向下；该图像关于纵轴对称。 配方求最小值 4．用配方法，求函数的最大值或最小值，并写出配方过程。 答案：，时最小值为−13；没有最大值。 解析：。平方项非负，且在时为0；函数定义域为实数集。 基础练习：最值与增减性 5．求函数图像顶点的坐标、函数的最大值或最小值。 答案：顶点；时最大值为5，没有最小值。 解析：，开口向下，所以顶点处取得最大值。 6．函数在对称轴左侧是增函数还是减函数？对称轴右侧呢？ 答案：左侧为减函数，右侧为增函数。 解析：抛物线开口向上，对称轴为；在上递减，在上递增。 课堂小结 1．一次函数的图像是直线；时递增，时递减，是纵轴交点的纵坐标。 2．二次函数要求；图像为抛物线，时开口向上，时开口向下。 3．配方为后，顶点为，对称轴为；开口向上时顶点取得最小值，开口向下时顶点取得最大值。 课堂小结 4．开口向上的抛物线在对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时相反。与横轴的交点给出零点，横轴上方和下方分别对应正、负函数值。 5．实际问题先写清数量关系、单位和允许取值；火车路程满足，靠墙围地时还要核对顶点位置符合长度条件。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $