【2027新考纲·广西】一次函数与二次函数：概念、图像与性质（教案）-人教版基础模块上册【上好课】

人教版《数学》基础模块上册 《上好课》 一次函数与二次函数：概念、图像与性质 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 考点分析 本课是2027版广西职教高考数学新增考点专题教学的第二课时，对应2027年广西高等职业教育考试数学考试大纲（三）函数第3条“理解一次函数和二次函数的概念，掌握相应函数的图像和性质”，涉及新增考点02，要求层级为理解与掌握；教学以一次函数的概念、直线图像和增减性为基础，重点讲授二次函数的概念、开口方向、对称轴、顶点、单调性和顶点处最值，并结合路程与矩形面积的简单情境应用函数模型，帮助学生建立基础的数形联系。 学情分析 学生对直线、抛物线和路程关系已有直观经验，但可能把一次、二次函数的系数条件混淆，或把顶点横坐标的符号读错。教学以观察、口答和整数系数配方为主，帮助学生把开口方向、对称轴和最值联系起来，并在简单面积问题中说清数量关系。 教学目标 1．理解一次函数和二次函数的概念，掌握直线的增减性及抛物线的开口、对称轴、顶点和顶点最值。 2．能对简单整数系数二次函数配方，读取图像的基本信息，并运用函数关系解决简单路程和面积问题。 3．通过观察图像、说明系数作用和解释应用结果，提高数学运算与直观想象能力，形成检查条件和单位的习惯。 教学重难点 教学重点：一次、二次函数的概念和图像性质；简单配方与顶点最值。 教学难点：顶点横坐标的符号、开口方向与增减性及最值的联系。 教学方法 问题引导法、直观观察法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 问题引入 路程问题：火车从北京站开出12 km后，以300 km/h的速度匀速行驶。试写出火车运行总路程与作匀速运动的时间之间的关系。 答案：，路程的单位是km，时间的单位是h。 解析：匀速运动小时新增路程 km，加上此前12 km得到总路程。这里对应火车已行驶12 km的时刻。 学生先口述数量关系，教师用“总路程＝原有路程＋新增路程”归纳；随着时间变化，路程也变化，这种对应关系可以用函数表达。 借助熟悉的路程关系引出变量与函数，让学生明确时间起点和单位，建立学习一次函数的需要。 考点梳理 知识建构与基础检测 一、一次函数 定义：一般地，以为自变量的函数称为一元一次函数，简称一次函数。 在一次函数表达式中，令，则函数称为正比例函数。 一次函数的图像是一条直线。对于，当时，；当时，。图像经过点和点。 当时，一次函数是增函数；当时，一次函数是减函数。 几何意义：决定直线的倾斜方向；是图像与纵轴交点的纵坐标。的图像由沿纵轴方向平移个单位得到。时向上平移，时向下平移。 直线的平移： 辨一辨：下列函数哪些是正比例函数，哪些不是？（1）；（2）；（3）；（4）。 答案：（1）（2）（3）是正比例函数，（4）不是。 解析：前三个函数满足；（4）展开为，常数项不为0。 基础练习1：函数是增函数还是减函数？图像与纵轴交点是什么？ 答案：减函数；交点。 解析：，所以函数递减；令，得。 基础练习2：在同一坐标系中画和，每条直线分别可以取哪两个点？ 答案：可取；可取。 解析：每条直线取两个不同的点；前一条直线从左向右上升，后一条下降。 即时检测：的图像向下平移1个单位后得到什么函数的图像？ 答案：的图像。 解析：每个函数值都减去1，系数2保持不变。 二、二次函数的图像与性质 定义：一般地，以为自变量的函数称为一元二次函数，简称二次函数。 当时，函数变为，图像是一条顶点为原点的抛物线，纵轴是对称轴。当时开口向上；当时开口向下。 观察开口方向与开口大小： 配方法：，其中。 函数图像是一条抛物线，顶点坐标为，对称轴是直线。当时，在处取最小值；当时，在该处取最大值。 当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数。 例1：研讨二次函数的性质和图像。（1）配方，求顶点。 答案：，顶点是。 解析： 。平方项非负，前面带负号，函数在时取最大值7。 从图像核对顶点与对称轴： −5 −4 −3 −2 −1 0 1 −2 3 6 7 6 3 −2 以对称轴为中心选取少量点，描点后连成平滑曲线。读图时先看开口，再找对称轴和顶点，最后判断两侧的增减性。 基础练习3：函数的开口方向、顶点和对称轴分别是什么？ 答案：开口向上，顶点，对称轴。 解析：二次项系数为3，大于0；没有一次项和常数项，顶点位于原点。 基础练习4：函数的顶点与最小值是什么？ 答案：顶点；时最小值为−3。 解析：顶点横坐标使括号内为0；平方项系数为正，所以顶点处为最小值。 即时检测：“的顶点是”是否正确？ 答案：不正确，顶点是。 解析：应令，所以顶点横坐标为2。 三、从简单图像读取零点与正负 观察图像与横轴的位置： 读图问题：已知二次函数，求：（1）取哪些值时，；（2）取哪些值时，，取哪些值时，。 答案：（1）；（2）时，时。 解析：图像与横轴交点的横坐标是零点；图像在横轴上方时函数值为正，在下方时函数值为负。严格大于或小于时不含零点。 对于（），求使的值等价于求方程的解；图像在横轴上方或下方，对应函数值大于0或小于0。 基础练习5：上图与横轴的两个交点坐标是什么？ 答案：。 解析：横轴上点的纵坐标为0，横坐标分别为−2与3。 基础练习6：上图中，当时，函数值是正、零还是负？ 答案：负。 解析：点位于横轴下方；代入也可得到。 即时检测：上图中满足的取值范围包括吗？ 答案：不包括。 解析：该处函数值为0，与严格小于0不同。 以直线和抛物线组织三个知识单元，通过简单配方、观察图像与即时作答，掌握关键条件和基本性质。 课堂背诵 背诵提纲：依次说出一次函数、二次函数的表达式和系数条件，直线增减性与抛物线开口的判断方法，以及的顶点、对称轴和顶点最值。 答案：；，；时递增，时递减；时开口向上，时开口向下；顶点、对称轴；时最小值，时最大值。 解析：复述时同时说出系数非零条件；顶点横坐标取括号内一次式的零点。这里最值结论针对定义域为实数集的二次函数。 通过合书完整复述整合本课核心结论，把公式、系数条件和顶点符号一并记牢，减少机械记忆错误。 师生互动 面积问题：有300 长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙（设长度够用）作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？ 答案：两条垂直墙的边各75 m，平行墙的边150 m；最大面积为11250 。 解析：设垂直墙的一边为 m，则平行墙的一边为 m，且。面积。在允许范围内，平方项为0，面积最大；另一边为 m。 学生先说清哪些边需要篱笆，同桌核对长度关系；教师追问“为什么围墙一边不用计入300 ”，并以顶点可取到说明结果符合实际。 用直观的围地问题连接长度关系与二次函数，让学生说明变量和取值条件，体验顶点最值的实际作用。 课堂练习 基础达标检测 1．下列函数中是一次函数的是： A．　B．　C．　D． 答案：A。 解析：A满足系数非零的一次函数形式；B是常数函数，C、D是二次函数。 2．函数是________函数（填“增”或“减”），与纵轴交点为________。 答案：增；。 解析：，所以递增；令得。 3．函数的开口方向是________，对称轴是________。 答案：向下；。 解析：二次项系数小于0，开口向下；该图像关于纵轴对称。 4．用配方法，求函数的最大值或最小值，并写出配方过程。 答案：，时最小值为−13；没有最大值。 解析：。平方项非负，且在时为0；函数定义域为实数集。 5．求函数图像顶点的坐标、函数的最大值或最小值。 答案：顶点；时最大值为5，没有最小值。 解析：，开口向下，所以顶点处取得最大值。 6．函数在对称轴左侧是增函数还是减函数？对称轴右侧呢？ 答案：左侧为减函数，右侧为增函数。 解析：抛物线开口向上，对称轴为；在上递减，在上递增。 用六道低难度题检查概念、读图和配方能力，结合学生错误集中反馈，形成可观察的课堂达标证据。 课堂小结 教师归纳 1．一次函数的图像是直线；时递增，时递减，是纵轴交点的纵坐标。 2．二次函数要求；图像为抛物线，时开口向上，时开口向下。 3．配方为后，顶点为，对称轴为；开口向上时顶点取得最小值，开口向下时顶点取得最大值。 4．开口向上的抛物线在对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时相反。与横轴的交点给出零点，横轴上方和下方分别对应正、负函数值。 5．实际问题先写清数量关系、单位和允许取值；火车路程满足，靠墙围地时还要核对顶点位置符合长度条件。 按学习顺序陈述概念、图像、方法与条件，回应路程和面积情境，帮助学生形成清晰的知识联系。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施后可重点关注学生能否由系数符号判断图像特点，能否通过配方正确写出顶点和最值。若顶点横坐标仍出现符号错误，可增加括号内一次式取零的口头说明；若面积建模困难，可先让学生标出三条篱笆边，再列长度关系。讲评时宜选取典型错误集中反馈，控制重复计算，将更多时间留给读图与结果解释，并根据学生作答情况调整各环节的节奏。 学科网（北京）股份有限公司 $