【2027新考纲·广西】对数运算及转化：换底公式、指数式与对数式互化（课件）-人教版基础模块上册【上好课】

人教版《数学》基础模块上册 第四章 指数函数与对数函数 对数运算及转化：换底公式、指数式与对数式互化 封面待用户修改：本页沿用模板封面样式、图片与文字，未作改动；正式使用前请用户自行修改封面文字与配图。 学习目标 1．理解对数的概念及成立条件，掌握指数式与对数式互化和换底公式，认识基本性质与对数记号。 2．能依据定义进行互化与求值，运用积、商、幂法则及换底公式完成简单运算和比较。 3．能在同伴交流与纠错中说明法则的适用条件，检查真数运算类型和换底分母，提升数学运算与逻辑推理素养。 细胞分裂与求指数 提出问题：某个细胞每分裂一次数量加倍,经过多少次分裂，细胞的总数为4 096个？ 【答案】12次。 【解析】设分裂次数为，则，所以。这里已知底数与幂的值而求指数，引出对数的概念。 教师归纳：求分裂次数，就是从幂的值反求指数；用对数可以表示这种数量关系。 对数的概念与互化 端点回顾：时，表示为；无穷不是可取得的端点。 一、对数的概念与指数式、对数式互化 定义：一般地，若，则称幂指数是以为底的对数。 记作，其中称为底数，称为真数。指数式与对数式表达同一关系，底数不变。 对数的性质与恒等式 性质：；0和负数没有对数。 恒等式：；由定义还可得到。 例1：由定义求值 例1：求。 【答案】。 【解析】，由对数定义分别得到四个结果。 常用对数与自然对数 通常把底是10的对数称为常用对数，；以无理数为底的对数称为自然对数，，其中。 例2：对数记号与求值 例2：求值：（1）；（2）；（3）。 【答案】。 【解析】，因此常用对数与自然对数的值分别为2、−2、1。 强化记忆：合书说出底数、真数的条件，并指出互化时底数、指数和幂值的位置。 基础练习：指对互化 基础练习1：把改为对数式。 【答案】。 【解析】底数5不变，指数3写为对数值，幂值125写为真数。 基础练习2：把改为指数式。 【答案】。 【解析】底数3不变，4为指数，81为幂值。 从指数运算到对数运算 二、积、商、幂的对数运算 先明确条件：。 设，则。 积、商及幂对应指数相加、相减与相乘，由此得到对数运算法则。 积、商、幂的对数法则 积：，即正因数积的对数等于各因数对数的和。 商：，即两个正数商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。 幂：，即正数幂的对数等于幂的指数乘幂的底的对数。 思考与归纳：积、商、幂 思考与归纳：如何用表示？ 【答案】。 【解析】设，则；于是，按定义得到三条法则。 例3：运算法则应用 例3：计算：。 【答案】；19。 【解析】；。 强化记忆：分别说出真数为积、商、幂时采用的运算法则，并检查真数必须为正数。 基础练习：积与商 基础练习3：计算。 【答案】5。 【解析】。 基础练习4：计算。 【答案】3。 【解析】。 用常用对数求值 三、换底公式及简单应用 问题：已知，不借助计算器求的值（精确到0.001）。 【答案】约1.465。 【解析】设，则。两边取常用对数，得，即，所以。 换底公式与分子分母 换底公式：，其中。 观察分式：真数的对数写在分子，原底数的对数写在分母；新底数必须相同。分母不为0。 换底的倒数关系 倒数关系：，其中。 说明：将新底数取为，由换底公式得到。 换底求值与条件检查 练习：求。 【答案】3；−2。 【解析】；。 强化记忆：指着公式说出新底数、原底数和真数的位置，并检查两个底数的条件。 基础练习：换底 基础练习5：用常用对数表示，并写出分母。 【答案】；分母是。 【解析】真数11在分子，原底数7在分母，。 基础练习6：计算。 【答案】。 【解析】换成以3为底：。 背诵：定义、互化与条件 两人互查：一人合书复述，一人对照笔记检查，随后交换；重点检查条件与符号位置。 复述对数定义，写出指数式与对数式的关系，并说明底数、真数的条件。 【答案】。 【解析】两种写法描述同一关系，底数不变，幂值对应真数，指数对应对数值。 背诵：积、商、幂的法则 说出积、商、幂的对数运算法则及条件。 【答案】。底数为正且不等于1，真数为正数。 【解析】积对应加，商对应减，幂的指数移作系数；不能将真数的和差套用这些法则。 背诵：换底公式 写出换底公式，说明分子、分母的位置及条件。 【答案】。两个底数为正且不等于1，真数为正数。 【解析】分子保留真数，分母使用原底数，分子分母采用相同的新底数。 辨析：真数的商与差 先独立判断，再与同伴说明理由；教师用真数的积商与和差作对照。 知识检测：指出下列式子的错误，并说明原因：。 【答案】错误。 【解析】右边；左边为。商的对数等于对数之差，真数之差不能套用商的法则。 教师归纳：使用法则前先看真数的运算类型，再检查底数和真数的条件；出现和差时不能机械拆开。 课堂练习：比较与互化 课堂练习1：比较的大小。 【答案】。 【解析】，所以前者大。 课堂练习2：把改写成指数式。 【答案】。 【解析】对数式中的底数5不变，对数值2成为指数，真数25成为幂值。 课堂练习：积商运算 课堂练习3：计算：。 【答案】3。 【解析】。 课堂练习4：计算：。 【答案】3。 【解析】。 课堂练习：换底求值 课堂练习5：用换底公式求的值。 【答案】。 【解析】换成以2为底：。 课堂小结 1．对数是已知底数与幂值求指数的表示：；底数为正且不等于1，真数为正数。 2．；常用对数与自然对数分别记作与。 3．真数为积、商、幂时，分别使用对数相加、相减和指数作系数的法则；真数必须为正，和差不能机械拆开。 4．底数不同时先换底：；检查条件与分母，再求值或比较大小，互换底数与真数可得相应的倒数关系。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $