吉林省长春市高三数学一轮复习作业（利用导数解决函数零点问题）

利用导数解决函数零点问题 命题分析 导数与函数的零点问题是高考中的热点问题，同时也是高三数学复习中的难点和重点，这类问题综合考察导数与函数的知识，综合考查等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法，综合考查考生的逻辑思维能力， 导数与函数的零点问题，主要题型分为零点个数的判断与证明、已知零点个数求参数、零点个数的证明、零点的分布以及和极值点相关的问题，解决这类问题的方法主要是数形结合和分类讨论。 高考真题考点分布 基础知识类——三次函数的零点问题 教材例题习题选用 1【人教B版选择性必修三P102 习题6-2B 第4题】 已知函数的图像与直线有3个不同的交点，求c的取值范围． 【分析】利用导数求出的极大值和极小值，再通过数形结合即可求出c的取值范围. 【详解】解： 令，得或 令，得 在上单调递增，在上单调递减，在单调递增 在处取得极大值 在处取得极小值 要使的图象与有三个不同的交点，则 c的取值范围为 2.【人教B版选择性必修三P114 复习题 C组第4题】 已知函数，若存在唯一的零点，且，求a的取值范围． 【分析】分三种情况，当时，利用导数确定函数的单调性，根据函数的单调性及极值列出不等式即可求解. 【详解】当时，，函数有两个零点，不符合题意，可知； ， 当时，，函数在上单调增，且，所以有一个零点不合题意， 当时，当或时，，当时，， 所以在上单调减，在上单调增，在上单调减， 所以要想满足条件，等价结果为，解得， 所以的取值范围是 3.【人教B版选择性必修三P114 复习题 C组第1题】 设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件. 试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程； （Ⅱ）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数. 【详解】试题解析：（Ⅰ）由，得． 因为，，所以曲线在点处的切线方程为． （Ⅱ）当时，， 所以．令，得，解得或． 与在区间上的情况如下： 所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点． （Ⅲ）当时，，， 此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点． 当时，只有一个零点，记作．当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递增． 所以不可能有三个不同零点． 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．故是有三个不同零点的必要条件． 当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件． 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件． 【名师点睛】1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2.求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值． 3.方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． 高考真题选用 1．【2022·新高考Ⅰ卷】（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【详解】由题，，令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 2．【2023·全国乙卷】函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或，且当时，， 当，，故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 3．【2024·全国新课标Ⅱ卷】（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【详解】 A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得，即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 变式训练 变式1.（多选）已知函数，则（    ） A．的极小值为2 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 改编意图：贴近教材和高考热点问题，从学生较为熟悉的三次函数入手，运用导数与函数零点问题，结合函数的切线、极值、最值、对称性的综合应用，难度属于中等题，但综合性较强，主要考察学生数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养。 【详解】，，令，解得：或， 时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增；的极小值为：， 的极大值为：，有两个零点，的极小值为0，故A错误、B错误； 对C，若点是曲线的对称中心，则有， 将函数代入上式验证得：，故C正确； 对于D，，解得：，当时，， 切线方程为：，即，故D正确. 故选：. 变式2.（多选）定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．函数有三个零点 C．过可以作两条直线与图像相切 D．若函数在区间上有最大值，则 改编意图：在变式一的基础上，该题增加了一定难度，且增加新定义，解答的关键是要理解导数的新定义，并由此解决问题，对于学生理解问题、分析问题的能力提出了更高的要求。 【详解】对于A中，由，可得，则， 因为点是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知， 且，解得，所以A正确； 对于B中，由，可知，则，令，可得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，则函数图象如图所示，由图象可知，函数只有一个零点，所以 B错误； 对于C中，因为，所以点恰好在的图象上， 画出函数的切线，如图所示， 由图象可知过点可作函数的两条切线，所以C正确；   对于D中，若在区间上有最大值，由上图可知，最大值只能是，所以且，解得，所以D正确. 故选：ACD. 能力拓展类——含有指数型、对数型的零点问题 教材例题习题选用 1．【人教B版选择性必修三P102 习题6-2B 第6题】 已知函数与的图象有且只有一个公共点，求k的取值范围 ． 【分析】构造函数，对分类讨论，研究函数的单调性，极值情况，以确定与轴的交点情况. 【详解】令，由题意知只需有唯一零点， （1）当时，，单调递增，且，符合题意； （2）当时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，，此时有唯一零点，符合题意. ②当时，利用， 取，则有，又，， ∴，使得，使得，不符合题意， ③当时，，，， ∴，使得，使得，不符合题意， 故答案为：. 2.【人教A版选择性必修二P95 例7】给定函数 （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数 【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）由函数的单调性、极值即可作出图象. （3）利用数形结合法即可求解. 【详解】（1）由，定义域为 ，令，即，令，即， 令，即，所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，为极小值点，所以函数的极小值为. （2）函数的大致图象，如图所示： （3）方程解的个数等价于于的交点个数. 作出与的图象，由图可知当时，方程的解为个；当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个； 3．【人教A版选择性必修二P104 17】作函数的大致图象． 【分析】首先利用导数说明函数的单调性，求出几个关键点的函数值，即可得到函数的大致图象； 【详解】解：，定义域为则，所以当或时，当或时，即函数在和上单调递增，在和单调递减，当时，，，，所以，又，，所以函数的大致图象如下所示： 高考真题选用 1.【2022·全国甲卷）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 【详解】（1）[方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得当单调递减当单调递增，若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得：令，则即 令，则故在区间上是增函数 故，即所以的取值范围为 （2）由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设要证,即证 因为,即证又因为,故只需证即证即证 下面证明时， 设，则 设所以,而所以,所以所以在单调递增 即,所以令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. 变式训练 变式1.已知函数. (1)时，证明：时，； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求a的取值范围. 改编意图：本题贴近高考解答题的难度，综合性较强，重点运用了数形结合和分类讨论的思想，考察导数的知识比较全面，是对知识的深度学习，探索知识间的内在联系，对学生的数学思维要求较高。 【详解】（1）由知，易知其R上单调递减，所以时，有，得证； （2）易知，显然时，，此时函数在R上单调递减；若，则时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增； 综上：时，在R上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增； （3）由上可知时，在R上单调递减，不存在两个零点， 所以，即，令 要满足题意需，易知在上单调递增，且 所以，取，则， 取，则， 令，则时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，即，即， 则在及上分别有两个零点，显然符合题意，故 创新设计类——牛顿法——用导数方法求方程的近似解（选做） 教材例题习题选用 1．【人教A版选择性必修二P82 探索与发现】——《牛顿法——用导数方法求方程的近似解》 2.【人教B版选择性必修三P114 复习题 C组第6题】 研究一元二次方程的求解问题，这是经典的求黄金分割的方程式．令，对抛物线，持续实施下面“牛顿切线法”的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； ... ... 由此能得到一个数列．回答下列问题： (1)求的值； (2)设，求的解析式； (3)用“二分法”求方程的近似解，给出前四步结果．比较“牛顿切线法”和“二分法”的求解速度． 【分析】（1）根据定义，求出在处的切线即可得到答案； （2）根据牛顿切线法定义，，代入即可得到的解析式； （3）根据二分法的步骤计算即可. 【详解】（1）由于，所以，切线方程为， 令，得，所以 （2）在点处的切线方程为， 因为该切线交x轴于点，则，所以. （3）易知在上单减，在上单增， 且，因此该抛物线有两个零点，又，， 所以第一个零点，第二个零点对第一个零点使用二分法计算得到 ，，故；，，故； ，，故；，，故；于是，同理对第二个零点也使用此方法. ，，故； ，，故；，，故；，，故； 于是.类比牛顿切线法，第一次运算得近似解为， 第二次运算得近似解为，第三次运算得近似解为，第四次运算得近似解为，相比较而言，要达到相同精度，牛顿切线法的操作步骤比二分法要少些，即牛顿切线法的速度是快于二分法的. 变式训练 变式1.牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点． (1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）； (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； (3)若，若关于的函数y=h(x)-a的两个零点分别为，证明：． 改编意图：《牛顿法——用导数方法求方程的近似解》在人教A版中以阅读形式出现，在人教B版中以复习题形式出现，一方面增加学生对数学文化的了解，一方面体现了导数在研究函数性质的综合应用，结合切线与零点问题，加强学生阅读能力，分析能力，提升综合素质。 【详解】（1）， 当时，，在点处的切线方程为，与轴的交点横坐标为， 所以，，在点处的切线方程为，与轴的交点为， 所以方程的二次近似值为． （2）由题可知，，，， 所以在处的切线为，即； 设，则，显然单调递减，令，解得， 所以当时，，则在单调递增，当时，，则在单调递减，所以，所以，即． （3）由，得，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，也是的最大值点，即， 又时，，时，，所以当方程有两个根时，必满足； 曲线过点和点的割线方程为， 下面证明，设， 则，所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，；在上单调递减，， 所以当时，，即（当且仅当或时取等号）， 由于，所以，解得；① 下面证明当时，， 设，因为， 所以当时，（当且仅当时取等号）， 由于所以，解得，② ①②，得． 【点睛】关键点睛：第三问的难点在于辅助构造出两个函数不等式，这样再利用函数单调性，得到相关不等式，然后进行估计的范围 设计说明： 通过比较人教A版与人教B版教材发现，人教A教材更注重概念的生成和理解，例题习题相对基础，人教B教材中的相应习题综合性更强，与高考难度更贴合，所以试题设计以课本原题和高考真题为命题方向，适当进行变式和提升。作业设计注重分层设计，满足学生个体差异，同时作业设计具有一定的开放性，指导学生自主阅读教材中的探索与发现，提高学生的自主学习能力，创新精神和实践能力。 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用导数解决函数零点问题 命题分析 导数与函数的零点问题是高考中的热点问题，同时也是高三数学复习中的难点和重点，这类问题综合考察导数与函数的知识，综合考查等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法，综合考查考生的逻辑思维能力， 导数与函数的零点问题，主要题型分为零点个数的判断与证明、已知零点个数求参数、零点个数的证明、零点的分布以及和极值点相关的问题，解决这类问题的方法主要是数形结合和分类讨论。 高考真题考点分布 基础知识类——三次函数的零点问题 教材例题习题选用 1【人教B版选择性必修三P102 习题6-2B 第4题】 已知函数的图像与直线有3个不同的交点，求c的取值范围． 2.【人教B版选择性必修三P114 复习题 C组第4题】 已知函数，若存在唯一的零点，且，求a的取值范围． 3.【人教B版选择性必修三P114 复习题 C组第1题】 设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件. 高考真题选用 1．【2022·新高考Ⅰ卷】（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 2．【2023·全国乙卷】函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．【2024·全国新课标Ⅱ卷】（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 变式训练 变式1.（多选）已知函数，则（    ） A．的极小值为2 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 变式2.（多选）定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．函数有三个零点 C．过可以作两条直线与图像相切 D．若函数在区间上有最大值，则 能力拓展类——含有指数型、对数型的零点问题 教材例题习题选用 1．【人教B版选择性必修三P102 习题6-2B 第6题】 已知函数与的图象有且只有一个公共点，求k的取值范围 ． 2.【人教A版选择性必修二P95 例7】给定函数 （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数 3．【人教A版选择性必修二P104 17】作函数的大致图象． 高考真题选用 1.【2022·全国甲卷）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 变式训练 变式1.已知函数. (1)时，证明：时，； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求a的取值范围. 创新设计类——牛顿法——用导数方法求方程的近似解（选做） 教材例题习题选用 1．【人教A版选择性必修二P82 探索与发现】——《牛顿法——用导数方法求方程的近似解》 2.【人教B版选择性必修三P114 复习题 C组第6题】 研究一元二次方程的求解问题，这是经典的求黄金分割的方程式．令，对抛物线，持续实施下面“牛顿切线法”的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； ... ... 由此能得到一个数列．回答下列问题： (1)求的值； (2)设，求的解析式； (3)用“二分法”求方程的近似解，给出前四步结果．比较“牛顿切线法”和“二分法”的求解速度． 变式训练 变式1.牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点． (1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）； (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； (3)若，若关于的函数y=h(x)-a的两个零点分别为，证明：． 设计说明： 通过比较人教A版与人教B版教材发现，人教A教材更注重概念的生成和理解，例题习题相对基础，人教B教材中的相应习题综合性更强，与高考难度更贴合，所以试题设计以课本原题和高考真题为命题方向，适当进行变式和提升。作业设计注重分层设计，满足学生个体差异，同时作业设计具有一定的开放性，指导学生自主阅读教材中的探索与发现，提高学生的自主学习能力，创新精神和实践能力。 学科网（北京）股份有限公司 $