专题4 逻辑代数基础与函数化简（课件）-山东省（春季高考）电子技术类《数字电子技术基础及应用》考纲讲练测

考纲讲练测 AI职教 zhijiao.xkw.com 专题4逻辑代数基础与函数化简 山东省春季高考电子技术类《数字电子技术基础及应用》 面可营用：本卡用大出东有海●高专角于组发速字有于鱼本点址典有传用食这)，产角有金有●●高专 大写女多舍于进“失式禁业西家转制方复●专益想与室线可有。生书速销持立虚用 #三大宝地学文种，想意儿文地人好地专发这加果，进量样年步想转意三专玉道速业这过速址 小值适量■世丝修一位售一样”密中心组号与信立量.胜为准直富意量实过量度点. AI职教 zhijiao.xkw.com 考点解读 1·理解最小项表达式的含义，能根据真值表写出 最小项表达式。 2.掌握逻辑代数的基本定律和规则。 3.了解逻辑函数的代数化简法。 4.了解三变量逻辑函数的卡诺图表示法。 5.能用卡诺图化简三变量逻辑函数。 AI职教 zhijiao.xkw.com vO- 思维导图 (1)最小项的定义与编号 1 最小项与最小项表达式 (2)最小项的性质 (3)由真值表写最小项表达式 (1)基本定律 2逻辑代数基本定律与规则 逻辑代数基础 (2)基本规则 与函数化简 3代数化简法 (1)代数化简的四种公式类型 (1)三变量卡诺图的画法 4卡诺图化简法 (2)卡诺图的相邻性 (3)卡诺图化简步骤 AI职教 zhijiao.xkw.com 鼠 知识梳理 1最小项与最小项表达式 (1)最小项的定义与编号 ①最小项：如果一个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现， 且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。 ②变量数为n时，最小项共有2n个。3个变量A、B、C可组成8个最小项：ABC、A BC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC。 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 ③编号规则：把最小项中的原变量记为1、反变量记为0，按变量顺序排成一个二进制数，与这个 二进制数相对应的十进制数就是该最小项的编号m。例如ABC对应011，十进制为3，记作 西变量最小项与编号对照如下表： 编号 最小项 对应取值ABC 编号 最小项 对应取值ABC o ABC 000 m4 ABC 100 mi ABC 001 ms ABC 101 m2 ABC 010 m6 ABC 110 3 ABC 011 m7 ABC 111 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 (2)最小项的性质 ①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，其余取值下均为0。 ②任意两个不同最小项的乘积必为0。 ③全部最小项之和必为1。 (3)由真值表写最小项表达式 ①最小项表达式（标准与或表达式）：任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，记作 F=∑m(…)。 ②由真值表求最小项表达式的步骤：在真值表中找出输出℉=1的各行，把每行输入写成一个乘积项 (取值为1的变量用原变量、取值为0的变量加非号)，再把各乘积项相加。 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 示例：若真值表中F=1的行对应输入000、001、101、111，则F=ABC+A BC+ABC+ABC=∑m(0,1,5,7)。对应的真值表如下： A B C F 对应最小项 0 0 0 1 mo 0 0 1 1 m 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 ms 1 1 0 0 1 1 1 1 m7 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 ③由一般与或式展开成最小项表达式：利用公式A+A=1和A(B+C)=AB+AC给缺变量的乘积项配项， 缺哪个变量就乘（该变量+该变量的反）。 例：把L=AB+BC+AC展开成最小项表达式，过程如下： 第一步配项（给每个乘积项补上缺失的变量）：L=AB(C+C)+BC(A+A)+AC(B+B); 第二步展开：L=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC; 第三步合并重复项：L=ABC+ABC+ABC+ABC; 第四步写成最小项之和：L=m1+ms+m6+m7∑m(1,5,6,7)。 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 2 逻辑代数基本定律与规则 (1)基本定律 ①逻辑代数的基本定律可由真值表或公式推导证明，是化简与变换逻辑函数的依据，常用定律如下表所示： 名称 公式 说明 0、1律 A+0=A,A·1=A;A+1=1,A·0=0 常量与变量间的关系 互补律 A+A=1,A·A=0 常量与变量间的关系 交换律 A+B=B+A,AB-BA 与普通代数相似的定律 结合律 (A+B)+C=A+(B+C):(AB)C=A(BC) 与普通代数相似的定律 分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C) 与普通代数相似的定律 重叠律 A+A=A,A·A=A 与普通代数相似的定律 反演律 AB-A+B:A+B-AB 特殊定律 非非律 A=A 特殊定律 吸收律 A+AB=A:A(A+B)=A:A+AB=A+B 化简时常用的导出定律 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 ②反演律（德·摩根定理）是化简与变换中最常用的一条定律：“与”的非等于“非”的或， “或”的非等于“非”的与。 ③吸收律中A+AB=A+B常称消去法公式（消去多余因子A);AB+AC+BC=AB+AC常称消冗余公 式（去掉冗余项BC)。 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 (2)基本规则 ①反演规则（求反函数）：将原函数F中的“·”换“+”、“+”换“·”，0换1、1 换0，原变量换反变量、反变量换原变量，所得即为反函数F。变换时须保持原式运算的优先顺序 (先括号、再非、再与、最后或)。 例：F=A(B+C),则F=A+BC。 ②对偶规则：将F中的“·”换“+”、“+”换“·”，0换1、1换0，所得式为F 的对偶式FD。若两式相等，其对偶式也相等（可用来由一式推出另一式）。 ③反演规则与对偶规则的区别：反演规则要把原变量与反变量互换，得到的是反函数F；对偶规则 不改变原、反变量，得到的是对偶式FD。 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 3代数化简法 (1)代数化简的四种公式类型 ①吸收法：利用A+AB=A,把多余的乘积项AB吸收掉。 ②合并法：利用AB+AB=B,把仅有某变量不同的两项合并，消去该变量。 ③消去法：利用A+AB=A+B,消去多余因子一A。 ④消冗余法（配项）：利用AB+AC+BC=AB+AC,其中BC为冗余项可去掉(BC已被AB、AC覆 盖)。 ⑤代数化简无固定步骤，需熟记公式并灵活配项；化简结果是否“最简”不惟一，但项数、因子数应 最少。 例：F=A+AB+ABC=A+B+ABC=A+B+C(依次用吸收、消去、再吸收)。 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 4卡诺图化简法 (1)三变量卡诺图的画法 ①卡诺图：把最小项按“循环码（格雷码）”排列成方格图，使任意相邻两格只有一个变量不同。 ②三变量卡诺图：列变量为AB(按00、01、11、10格雷码排列)，行变量为C(分0行、1行)；共 23=8格，每格对应一个最小项mm。 ③三变量卡诺图标号(AB为列、C为行，列按格雷码00→01→11→10排列)：第一行C0为mo、m2、 m6、m4;第二行C-1为m、m3、m7、m5(末两列11、10交换，保证相邻方格仅一个变量不同)。 三变量卡诺图如下表所示（左上角用对角线分隔：右上为列变量AB,左下为行变量C): AB 00 10 C 01 11 0 o 2 6 m4 1 m1 3 m7 ms AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 (2)卡诺图的相邻性 ①几何相邻：左右、上下紧挨的格。 ②卷绕相邻（对边相邻）：最左列与最右列视为相邻；最上行与最下行视为相邻。 ③上下相邻（同一列、C相反）：mo与m1、m2与m3、m6与m7、m4与m5;左右相邻 (同一行、AB只差一位)：m与m2、2与m6、m6与m4,以及卷绕的m4与mo（C-1 行同理)。相邻两格合并可消去一个取值相反的变量。 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 (3)卡诺图化简步骤 ①把逻辑函数化为最小项之和，在对应最小项格内填1，其余填0（或空）。 ②按2”(2、4、8…)个1圈组：圈尽量大、圈数尽量少、每个1至少被圈一次；圈内只能 含2的幂次个1。 ③每个圈消去圈内取值相反的变量，保留取值不变的变量，写出该圈的乘积项并相加，即得最简与或 式。 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 例：F(A,B,C)=∑m(0,1,4,5):mom1消 去C得AB,m4m5消去C得 AB,合并F=AB+AB=B。其卡诺图与圈 AB 组如下图所示（列00与列10卷绕相 00 01 11 10 邻，合为一组)： 0 0 0 0 0 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 三种化简工具对比见下表： 化简方法 主要依据 优点 局限 代数化简法 基本定律与规则 无需画图、适合简单式 技巧性强、结果是否最简难判 卡诺图化简法 相邻格消变量 直观、不易错、最简确定 变量多(>4)时图过大 (列表/Quine) 覆盖与合并 适合多变量程序化 手算繁琐 AI职教 zhijiao.xkw.com 知识梳理 考点总结：基本定律中以反演律（德·摩根定理）和反演规则最易考；反演规则求反函数时务必“先 括号、再非、再与、最后或”保序。代数化简四类公式：吸收A+AB=A、合并AB+AB=B、消去 A+AB=A+B、消冗余AB+AC+BC=AB+AC。三变量卡诺图按格雷码排列，相邻含“卷绕相邻”，圈2n 个1、圈大圈少，每个圈消去圈内相反的变量；F=∑m(0,1,4,5)→B。 AI职教 zhijiao.xkw.com 背诵环节 1什么是最小项？3个变量共有几个最小项？最小项的编号规则是什么？ 【答案】最小项是包含函数全部变量的乘积项，其中每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出 现一次；3个变量共有2=8个最小项。编号规则：原变量记1、反变量记0，按变量顺序排 成二进制数，其十进制值即编号mi(如ABC→011→m3)。 2逻辑代数有哪些基本定律？写出反演律（德·摩根定理）。 【答案】基本定律：交换律、结合律、分配律、0-1律、互补律、重叠律、吸收律、反演律。反演 律：AB=A+B;A+BFA·B。 AI职教 zhijiao.xkw.com 背诵环节 3反演规则的内容是什么？求反函数时要注意什么？ 【答案】反演规则：将原函数中的“·”换“+”、“+”换“·”，0换1、1换0，原变量 换反变量、反变量换原变量，即得反函数。注意须保持原式运算优先顺序（先括号、再非、再与、 最后或)，不可随意颠倒括号。 4代数化简有哪四种公式类型？各举一式。 【答案】①吸收：A+AB=A;②合并：AB+AB=B,③消去：A+AB=A+B;④消冗余： AB+AC+BC=AB+AC。 AI职教 zhijiao.xkw.com 背诵环节 5三变量卡诺图是怎样排列的？什么是“相邻性”？ 【答案】列变量AB按00、01、11、10（格雷码）排列，行变量C分0、1两行，共8 格对应m,。相邻性：几何相邻与“卷绕相邻”（左右、上下对边相邻)，相邻两格只差一个变 量。三变量卡诺图如下表： AB 00 01 11 10 C 0 mo m2 me m4 1 my 3 7 ms AI职教 zhijiao.xkw.com 背诵环节 6用卡诺图化简的步骤是什么？圈组有什么要求？ 【答案】步骤：①化为最小项之和并填1；②按2n个1圈组；③海圈消去相反的变量、保留不 变变量，乘积项相加得最简式。要求：圈尽量大、圈数尽量少、每个1至少被圈一次，圈内只能含 2、4、8…个1。 AI职教 zhijiao.xkw.com 县 常考题 选择题 1.在逻辑运算中，1+1等于()。 A.2 B.10 C.1 D.0 【答案】C。 【解析】本题考查十进制运算、二进制运算、逻辑运算的区别：在逻辑（或）运算中1+1=1，既不是算术加法的 2,也不是二进制加法的10。 2.逻辑函数L=AB+BC+AC的多余项为( )。 A.AB B.BC C.AC D.无多余项 【答案】A。 【解析】L=AB(C+C)+BC+AC=ABC+ABC+BC+AC=BC+AC,化简后不含AB,故AB为多余项（消冗余公式 AB+BC+AC=BC+AC的直接应用)。 AI职教 zhijiao.xkw.com 县 常考题 选择题 3.不属于逻辑函数L=AC+BC+AB 的最小项的是()。 A.ABC B.ABC C.ABC D.ABC 【答案】D。 【解析】配项展开：LAC(BB)BC(A+A)+AB(C+C)=ABC+ABC+ABC+ABC,即L的最小项为一ABC、ABC、ABC、ABC四项： 选项币ABC不在其中，故选D。 4.下列命题，用逻辑分析正确的是( )。 A.若A+B=A+C,则B=C B.若AB=AC,则B=C C.若A+B=A+C,且AB=AC,则B=C D.以上答案都正确 【答案】C。 【解析】仅由A+B=A+C:当A=1时对任意B、C均成立，推不出B=C;仅由AB=AC:当A=0时恒成立，也推不出B=C。两 式同时成立时，A=1时由AB=AC、A=O时由A+B=A+C,均得B-C,故选C。 AI职教 zhijiao.xkw.com 常考题 选择题 5. 与函数式Y=EF+ED相等的表达式为()。 A.Y=EF+D B.Y=EF+ED+FCD C.Y=E+FD D.Y=EF+D 【答案】B。 【解析】消冗余公式：EF+ED的冗余项为FD,凡含于D的乘积项并入后函数值不变。选项B中FCD含于D,故 Y=EF+ED+FCD=EF+ED,与Y相等，选B:A与D改变了与项（去掉了非号或挪动了非号），C混淆了运算关系。 6. 逻辑代数ABC+ABC+ABC 的最简与非表达式是( )d A.AB+BC B.AB+AC C.AB·AC D. AB·AC 【答案】D。 【解析】对最简结果LAB+AC连续取反两次（函数值不变），中间一步用反演律把括号展开：ABAC,即一 把AB与AC之积整体再取反一次，与选项D一致；选项C只有一层取反，是“与或”式的非，不等于L,故 D。 AI职教 zhijiao.xkw.com 高考真题 单项选择题 1.(2017年高考)逻辑式A+AB 可化简为()。 A.AB B.A+B C.2A D.A 【答案】 D。 【解析】吸收律A+AB=A(1+B)=A,故化简结果为A。注意逻辑运算中无系数概念，C错误。 2.(2019年高考)属于三变量逻辑函数最小项的是( )。 A.AAB B.AB+AC C.ABCD D.ABC 【答案】 D。 【解析】最小项要求个变量各以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次。A项中A重复且缺C；B项是 两项之和，不是乘积项；C项是四个变量；D项ABC三个变量各出现一次，是三变量最小项。 AI职教 zhijiao.xkw.com 高考真题 单项选择题 3.(2019年高考)下列逻辑表达式正确的是（)。 A.AB+AB=A+B B.X+Y=X+Y C.E+EG=E+G D.D+DE=D+E 【答案】D。 【解析】A:AB+AB=A(B+B)=A≠A+B;B:“或”的非不等于“非”的或，应为X年YX·Y;C:E+EG=E(吸 收律)；D:消去法D+DE=(D+D)(D+E)=D+E，,正确。 4. (2020年高考)将逻辑函数Y=AB+AB+AB 化简为最简式是()。 A.Y=AB B.Y=AB C.Y=B D.Y=A+B 【答案】C。 【解析】Y=AB+AB+AB=AB+AB=(A+A)B=B(重叠律合并后用合并公式)，故最简式Y=B,选C。 AI职教 zhijiao.xkw.com 高考真题 单项选择题 5.(模拟)用消去法化简Y=A+AB,结果为()。 A.A B.A+B C.AB D.AB 【答案】 B。 【解析】A+AB=(A+A)(A+B)=1·(A+B)=A+B,消去多余因子一A。 AI职教 zhijiao.xkw.com 高考真题 单项选择题 6.（模拟)用卡诺图化简F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7),最简与或式为()。其卡诺图如下： A.F=A B.F=B C.F=C D.F=1 AB 00 01 11 10 0 0 0 1 0 0 【答案】B。 【解析】m2(010)、me(011)、m6(110)、m,(111)中B始终为1，A、C取值任意变化，合并消去A、C保 留B,故F=B。 AI职教 zhijiao.xkw.com 高考真题 单项选择题 7.(模拟)根据反演律，AB 等于( )。 A.AB B.A+B C.AB D.A+B 【答案】 B。 【解析】反演律（德·摩根定理）：AB=A+B,A+B=A·B；“与”的非等于“非”的或，故选B。 8. (模拟)三变量卡诺图中，m1(001)与m3(011)相邻，两者合并后可消去变量( )。 A.消去A B.消去B C.消去C D.消去A和C 【答案】B。 【解析】m,(001)与me(011)仅B由0变1，A、C保持不变，合并消去B,乘积项为 AC。 A职教 zhijiao.xkw.com 课堂练习 单项选择题 1.(单项选择题)逻辑代数与普通代数的主要区别是()。 A. 变量只有0、1两种取值，且0、1表示逻辑状态而非数量大小 B.运算规则完 全相同 C答案能进行加法运算 D.不能对表达式进行化简 【解析】逻辑代数的变量是逻辑变量，只允许取0、1两个值，表示的是两种对立的逻辑状态，并不表示数量的 大小；其基本运算是与、或、非，并可用基本定律和卡诺图进行化简。 2.(单项选择题)用逻辑代数分析，下列逻辑函数等式正确的是()。 A.A+B=A+AB B.AB+C=(A+B)(A+C) C.A+0=0 D.A+A=A 【答案】D。 【解析】A:A+AB=A≠A+B:B:(A+B)(A+C)=A+BC≠AB+C;C:A+O=A;D:重叠律A+A=A,正确。 A职教 zhijiao.xkw.com 课堂练习 单项选择题 3.(单项选择题)下列逻辑运算正确的是( A.1+1=10 B.A·0=A C.A+A=0 D.A+1=1 【答案】D。 【解析】0-1律：A+1=1;A:1+1=1(逻辑加)；B:A·0=0;C:A+A=1(互补律)。 4.(单项选择题)三变量卡诺图的列变量BC按()顺序排列。 A.00、01、11、10(格雷码) B.00、01、10、11 C.0、1、2、3 答集章顺序 【解析】卡诺图要求相邻两格只差一个变量，故行（列）变量按格雷码（循环码）排列：00、01、11、10。 AI职教 zhijiao.xkw.com 课堂练习 单项选择题 5.(单项选择题)卡诺图化简时，若一个圈包含4个相邻的1，则一次可消去()个 变量。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B。 【解析】圈2”个1可消去n个变量：4=22，故消去2个变量。 6.(单项选择题)逻辑函数表达式AB+AB+AB 化简后的最简式为()。 A.AB B.AB+AB C.AB D.A+B 【答案】 D。 【解析】AB+AB=A(合并法：AB+B)=A),A+AB=(A+A)(A+B)=A+B(消去法)，故最简式为AB。注意 与一AB+AB+AB=AB区分，两者结果不同。 AI职教 zhijiao.xkw.com 课堂练习 单项选择题 7.(单项选择题)对偶规则中，将原式变换为对偶式时，不进行下列哪一项变换？( A. “·”与“+”互换 B.0与1互换 C.原变量与反变量互换 D.以上都 道智案】C。 【解析】对偶规则只做“·” 回“+”、0回1，不改变原变量与反变量；“原反互换”是反演规则（求反函数） 的变换。 8. (单项选择题)AB+AC+BC 可化简为( A.AB+BC B.AB+AC C.AC+BC D.AB+C 【答案】B。 【解析】消冗余公式AB+AC+BC=AB+AC,BC为冗余项（被AB与AC覆盖），故F=AB+AC。 AI职教 zhijiao.xkw.com 课堂练习 单项选择题 9.(单项选择题)属于三变量逻辑函数最小项的是()。 A.AAB B.AB CD C.ABAC D.ABC 【答案】 D。 【解析】ABC恰含A、B、C三个变量各一次。A中A出现两次；B含四个变量；C中A出现两次 (A与A),均不是最小项。 10. (单项选择题)逻辑函数 L=A C+BC+AB 的多余项为( A.AC B. BC C.AB D. 无多余项 【答案】B。 【解析】由消冗余公式：BC的取值或者属于一AC(A=O时为最不项 ABC),或者属于AB(A=1时为最 小项ABC),即BC被其余两项覆盖，可丢：L=AC+BC+AB=AC+AB,故多余项为BC,选B。 AI职教 zhijiao.xkw.com 课堂练习 简答题 11.(简答题)化简下列逻辑函数：(1)L=AB+AC+BC;(2)L=AB+AC+BC;(3) L=AB+BCD+AC+BC. 【答案】(1)L=AB+C;(2)L=AB+AC;(3)L=AB+C。 【解析】(1)AC+BC=C(A+B)=C·AB,故L=AB+CAB=AB+C(消去)；(2)直接用消冗余公式 AB+AC+BC=AB+AC;(3)BCD成立必有C=1,而AC+BC-C(AB)己覆盖C项，故BCD为冗余项可去掉， 化归为(1)式，L=AB+C。 AI职教 zhijiao.xkw.com 课堂练习 简答题 12.(简答题)三变量逻辑函数 L=A+BC+ABC+AC。试：(1)将逻辑函数化简成最简式： (2)找出其全部最小项；(3)画出其卡诺图。 【答案】(1)L=A+BC(AC被吸收，ABC含于BC);(2)最小项为 ABC、ABC、ABC、 ABC、ABC,即L=∑m(3,4,5,6,7);(3)卡诺图如下表所示（填1的方格为mg、m4、m5、 m6、m7）: AB 00 01 11 10 0 0 0 1 1 0 【解析】 A+AC=A(吸收)；BC+ABC-BC(ABC被BC覆盖)；故L=A+BC。展开最小项验证：A对应m4m, BC对应m3、m7,合计{3,4,5,6,7}。 AI职教 zhijiao.xkw.com 课堂小结 本专题核心考点与结论如下： ①【基本定律与规则】牢记交换律、结合律、分配律、0-1律、互补律、重叠律、吸收律、反演律 (德·摩根定理AB=A+B、A+B=A·B)。两规则：反演规则求反函数(·口+、O回1、原 巴反)，对偶规则求对偶式(·巴+、0回1)。 ②【代数化简法】四类常用公式：吸收A+AB=A、合并AB+AB=B、消去A+AB=A+B、消冗余 AB+AC+BC=AB+AC。化简无定法，须熟记公式、灵活配项。 ③【卡诺图化简法】三变量卡诺图按格雷码排列(AB列00→01→11→10、C行0/1，含卷绕 相邻)。步骤：填1→按2”圈组（圈大圈少、每1必圈）→每圈消去相反变量得最简与或式。 例：F=∑m(0,1,4,5)→B,F=∑m(2,3,6,7)→B。 ◆本节必记：德·摩根定理是两律基础；卡诺图“圈大、圈少、不漏1”，圈组必为2”个相邻格。 A职教 zhijiao.xkw.com ◆◆ 感谢观看