专题4 逻辑代数基础与函数化简（讲义）-山东省（春季高考）电子技术类《数字电子技术基础及应用》考纲讲练测

编写说明：本专辑为山东省（春季高考）电子技术类《数字电子技术基础及应用考纲讲练测》，严格依据山东省春季高考考试大纲（专业课）电子技术类考试范围及要求编写，精准对标考纲，兼顾考点覆盖与实战应用。每套讲练测提供讲义、课件、练习三大配套教学文件，贯穿九大核心环节：考点解读、思维导图、知识梳理、背诵环节、常考题、高考真题、课堂练习、课堂小结及课后测验，形成“讲-练-测-评”闭环式教学与复习逻辑，助力考生夯实基础、突破重难点。 山东省电子技术类 《数字电子技术基础及应用考纲讲练测》 专题4 逻辑代数基础与函数化简 讲义 [考点解读] 1．理解最小项表达式的含义，能根据真值表写出最小项表达式。 2．掌握逻辑代数的基本定律和规则。 3．了解逻辑函数的代数化简法。 4．了解三变量逻辑函数的卡诺图表示法。 5．能用卡诺图化简三变量逻辑函数。 [思维导图] [知识梳理] 1 最小项与最小项表达式 （1）最小项的定义与编号 ① 最小项：如果一个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。 ② 变量数为 n 时，最小项共有 2ⁿ 个。3 个变量 A、B、C 可组成 8 个最小项：  、 C、B、BC、A 、AC、AB、ABC。 ③ 编号规则：把最小项中的原变量记为 1、反变量记为 0，按变量顺序排成一个二进制数，与这个二进制数相对应的十进制数就是该最小项的编号 mᵢ。例如 BC 对应 011，十进制为 3，记作 m₃。 三变量最小项与编号对照如下表： 编号 最小项 对应取值 A B C 编号 最小项 对应取值 A B C m₀    0 0 0 m₄ A  1 0 0 m₁  C 0 0 1 m₅ AC 1 0 1 m₂ B 0 1 0 m₆ AB 1 1 0 m₃ BC 0 1 1 m₇ ABC 1 1 1 （2）最小项的性质 ① 任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为 1，其余取值下均为 0。 ② 任意两个不同最小项的乘积必为 0。 ③ 全部最小项之和必为 1。 （3）由真值表写最小项表达式 ① 最小项表达式（标准与或表达式）：任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，记作 F=∑m(…)。 ② 由真值表求最小项表达式的步骤：在真值表中找出输出 F=1 的各行，把每行输入写成一个乘积项（取值为 1 的变量用原变量、取值为 0 的变量加非号），再把各乘积项相加。 示例：若真值表中 F=1 的行对应输入 000、001、101、111，则 F=  + C+AC+ABC=∑m(0,1,5,7)。对应的真值表如下： A B C F 对应最小项 0 0 0 1 m₀ 0 0 1 1 m₁ 0 1 0 0 — 0 1 1 0 — 1 0 0 0 — 1 0 1 1 m₅ 1 1 0 0 — 1 1 1 1 m₇ ③ 由一般与或式展开成最小项表达式：利用公式 A+=1 和 A(B+C)=AB+AC 给缺变量的乘积项配项，缺哪个变量就乘（该变量+该变量的反）。 例：把 L=AB+C+AC 展开成最小项表达式，过程如下： 第一步 配项（给每个乘积项补上缺失的变量）：L=AB(C+)+C(A+)+AC(B+)； 第二步 展开：L=ABC+AB+AC+ C+ABC+AC； 第三步 合并重复项：L= C+AC+AB+ABC； 第四步 写成最小项之和：L=m₁+m₅+m₆+m₇=∑m(1,5,6,7)。 2 逻辑代数基本定律与规则 （1）基本定律 ① 逻辑代数的基本定律可由真值表或公式推导证明，是化简与变换逻辑函数的依据，常用定律如下表所示： 名称 公式 说明 0、1 律 A+0=A，A·1=A；A+1=1，A·0=0 常量与变量间的关系 互补律 A+=1，A·=0 常量与变量间的关系 交换律 A+B=B+A，AB=BA 与普通代数相似的定律 结合律 (A+B)+C=A+(B+C)；(AB)C=A(BC) 与普通代数相似的定律 分配律 A(B+C)=AB+AC；A+BC=(A+B)(A+C) 与普通代数相似的定律 重叠律 A+A=A，A·A=A 与普通代数相似的定律 反演律 =；= 特殊定律 非非律 =A 特殊定律 吸收律 A+AB=A；A(A+B)=A；A+B=A+B 化简时常用的导出定律 ② 反演律（德·摩根定理）是化简与变换中最常用的一条定律：“与”的非等于“非”的或，“或”的非等于“非”的与。 ③ 吸收律中 A+B=A+B 常称消去法公式（消去多余因子 ）；AB+C+BC=AB+C 常称消冗余公式（去掉冗余项 BC）。 （2）基本规则 ① 反演规则（求反函数）：将原函数 F 中的“·”换“+”、“+”换“·”，0 换 1、1 换 0，原变量换反变量、反变量换原变量，所得即为反函数 。变换时须保持原式运算的优先顺序（先括号、再非、再与、最后或）。 例：F=A(B+C)，则 。 ② 对偶规则：将 F 中的“·”换“+”、“+”换“·”，0 换 1、1 换 0，所得式为 F 的对偶式 Fᴰ。若两式相等，其对偶式也相等（可用来由一式推出另一式）。 ③ 反演规则与对偶规则的区别：反演规则要把原变量与反变量互换，得到的是反函数 ；对偶规则不改变原、反变量，得到的是对偶式 Fᴰ。 3 代数化简法 （1）代数化简的四种公式类型 ① 吸收法：利用 A+AB=A，把多余的乘积项 AB 吸收掉。 ② 合并法：利用 AB+B=B，把仅有某变量不同的两项合并，消去该变量。 ③ 消去法：利用 A+B=A+B，消去多余因子 。 ④ 消冗余法（配项）：利用 AB+C+BC=AB+C，其中 BC 为冗余项可去掉（BC 已被 AB、C 覆盖）。 ⑤ 代数化简无固定步骤，需熟记公式并灵活配项；化简结果是否“最简”不惟一，但项数、因子数应最少。 例：F=A+B+ C = A+B+ C = A+B+C（依次用吸收、消去、再吸收）。 4 卡诺图化简法 （1）三变量卡诺图的画法 ① 卡诺图：把最小项按“循环码（格雷码）”排列成方格图，使任意相邻两格只有一个变量不同。 ② 三变量卡诺图：列变量为 AB（按 00、01、11、10 格雷码排列），行变量为 C（分 0 行、1 行）；共 2³=8 格，每格对应一个最小项 m₀~m₇。 ③ 三变量卡诺图标号（AB 为列、C 为行，列按格雷码 00→01→11→10 排列）：第一行 C=0 为 m₀、m₂、m₆、m₄；第二行 C=1 为 m₁、m₃、m₇、m₅（末两列 11、10 交换，保证相邻方格仅一个变量不同）。 三变量卡诺图如下表所示（左上角用对角线分隔：右上为列变量 AB，左下为行变量 C）： AB C 00 01 11 10 0 m₀ m₂ m₆ m₄ 1 m₁ m₃ m₇ m₅ （2）卡诺图的相邻性 ① 几何相邻：左右、上下紧挨的格。 ② 卷绕相邻（对边相邻）：最左列与最右列视为相邻；最上行与最下行视为相邻。 ③ 上下相邻（同一列、C 相反）：m₀ 与 m₁、m₂ 与 m₃、m₆ 与 m₇、m₄ 与 m₅；左右相邻（同一行、AB 只差一位）：m₀ 与 m₂、m₂ 与 m₆、m₆ 与 m₄，以及卷绕的 m₄ 与 m₀（C=1 行同理）。相邻两格合并可消去一个取值相反的变量。 （3）卡诺图化简步骤 ① 把逻辑函数化为最小项之和，在对应最小项格内填 1，其余填 0（或空）。 ② 按 2ⁿ（2、4、8…）个 1 圈组：圈尽量大、圈数尽量少、每个 1 至少被圈一次；圈内只能含 2 的幂次个 1。 ③ 每个圈消去圈内取值相反的变量，保留取值不变的变量，写出该圈的乘积项并相加，即得最简与或式。 例：F(A,B,C)=∑m(0,1,4,5)：m₀m₁ 消去 C 得  ，m₄m₅ 消去 C 得 A，合并 F= +A=。其卡诺图与圈组如下图所示（列 00 与列 10 卷绕相邻，合为一组）： 三种化简工具对比见下表： 化简方法 主要依据 优点 局限 代数化简法 基本定律与规则 无需画图、适合简单式 技巧性强、结果是否最简难判 卡诺图化简法 相邻格消变量 直观、不易错、最简确定 变量多（>4）时图过大 （列表/Quine） 覆盖与合并 适合多变量程序化 手算繁琐 考点总结：基本定律中以反演律（德·摩根定理）和反演规则最易考；反演规则求反函数时务必“先括号、再非、再与、最后或”保序。代数化简四类公式：吸收 A+AB=A、合并 AB+B=B、消去 A+B=A+B、消冗余 AB+C+BC=AB+C。三变量卡诺图按格雷码排列，相邻含“卷绕相邻”，圈 2ⁿ 个1、圈大圈少，每个圈消去圈内相反的变量；F=∑m(0,1,4,5)→。 [背诵环节] 1 什么是最小项？3 个变量共有几个最小项？最小项的编号规则是什么？ 【答案】 最小项是包含函数全部变量的乘积项，其中每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次；3 个变量共有 2³=8 个最小项。编号规则：原变量记 1、反变量记 0，按变量顺序排成二进制数，其十进制值即编号 mᵢ（如 BC→011→m₃）。 2 逻辑代数有哪些基本定律？写出反演律（德·摩根定理）。 【答案】 基本定律：交换律、结合律、分配律、0-1律、互补律、重叠律、吸收律、反演律。反演律：=+；=·。 3 反演规则的内容是什么？求反函数时要注意什么？ 【答案】 反演规则：将原函数中的“·”换“+”、“+”换“·”，0换1、1换0，原变量换反变量、反变量换原变量，即得反函数。注意须保持原式运算优先顺序（先括号、再非、再与、最后或），不可随意颠倒括号。 4 代数化简有哪四种公式类型？各举一式。 【答案】 ①吸收：A+AB=A；②合并：AB+B=B；③消去：A+B=A+B；④消冗余：AB+C+BC=AB+C。 5 三变量卡诺图是怎样排列的？什么是“相邻性”？ 【答案】 列变量 AB 按 00、01、11、10（格雷码）排列，行变量 C 分 0、1 两行，共 8 格对应 m₀~m₇。相邻性：几何相邻与“卷绕相邻”（左右、上下对边相邻），相邻两格只差一个变量。三变量卡诺图如下表： AB C 00 01 11 10 0 m₀ m₂ m₆ m₄ 1 m₁ m₃ m₇ m₅ 6 用卡诺图化简的步骤是什么？圈组有什么要求？ 【答案】 步骤：①化为最小项之和并填1；②按 2ⁿ 个1圈组；③每圈消去相反的变量、保留不变变量，乘积项相加得最简式。要求：圈尽量大、圈数尽量少、每个1至少被圈一次，圈内只能含 2、4、8… 个1。 [常考题] 1. 在逻辑运算中，1+1 等于（　　）。 A. 2　　B. 10　　C. 1　　D. 0 【答案】 C。 【解析】 本题考查十进制运算、二进制运算、逻辑运算的区别：在逻辑（或）运算中 1+1=1，既不是算术加法的 2，也不是二进制加法的 10。 2. 逻辑函数 L=AB+B+AC 的多余项为（　　）。 A. AB　　B. B    C. AC　　D. 无多余项 【答案】 A。 【解析】 L=AB(C+)+B+AC=ABC+AB+B+AC=B+AC，化简后不含 AB，故 AB 为多余项（消冗余公式 AB+B+AC=B+AC 的直接应用）。 3. 不属于逻辑函数 L= 的最小项的是（　　）。 A.     B.     C. ABC　　D.  【答案】 D。 【解析】 配项展开：L= (B+)+B(A+)+AB(C+)=  +B+AB+ABC，即 L 的最小项为   、B、AB、ABC 四项；选项中  C 不在其中，故选 D。 4. 下列命题，用逻辑分析正确的是（　　）。 A. 若 A+B=A+C，则 B=C　　B. 若 AB=AC，则 B=C　　C. 若 A+B=A+C，且 AB=AC，则 B=C　　D. 以上答案都正确 【答案】 C。 【解析】 仅由 A+B=A+C：当 A=1 时对任意 B、C 均成立，推不出 B=C；仅由 AB=AC：当 A=0 时恒成立，也推不出 B=C。两式同时成立时，A=1 时由 AB=AC、A=0 时由 A+B=A+C，均得 B=C，故选 C。 5. 与函数式 Y=EF+D 相等的表达式为（　　）。 A. Y=EF+D　　B. Y=EF+    C. Y=E+FD　　D. Y=E 【答案】 B。 【解析】 消冗余公式：EF+D 的冗余项为 FD，凡含于 FD 的乘积项并入后函数值不变。选项 B 中 FCD 含于 FD，故 Y=EF+D+FCD=EF+D，与 Y 相等，选 B；A 与 D 改变了与项（去掉了非号或挪动了非号），C 混淆了运算关系。 6. 逻辑代数  的最简与非表达式是（　　）。 A. AB+BC　　B. AB+A    C.     D.  【答案】 D。 【解析】 对最简结果 L=AB+AC 连续取反两次（函数值不变），中间一步用反演律把括号展开：L=，即把  与  之积整体再取反一次，与选项 D 一致；选项 C 只有一层取反，是“与或”式的非，不等于 L，故选 D。 [高考真题] 1.（2017 年高考）逻辑式 A+AB 可化简为（　　）。 A. AB　　B. A+B　　C. 2A　　D. A 【答案】 D。 【解析】 吸收律 A+AB=A(1+B)=A，故化简结果为 A。注意逻辑运算中无系数概念，C 错误。 2.（2019 年高考）属于三变量逻辑函数最小项的是（　　）。 A. AAB　　B. AB+AC　　C. ABCD　　D. BC 【答案】 D。 【解析】 最小项要求 n 个变量各以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次。A 项中 A 重复且缺 C；B 项是两项之和，不是乘积项；C 项是四个变量；D 项 BC 三个变量各出现一次，是三变量最小项。 3.（2019 年高考）下列逻辑表达式正确的是（　　）。 A. AB+A=A+B　　B.     C. E+EG=E+G　　D. D+E=D+E 【答案】 D。 【解析】 A：AB+A=A(B+)=A≠A+B；B：“或”的非不等于“非”的或，应为 =·；C：E+EG=E（吸收律）；D：消去法 D+E=(D+)(D+E)=D+E，正确。 4.（2020 年高考）将逻辑函数 Y=AB+AB+B 化简为最简式是（　　）。 A. Y=    B. Y=AB　　C. Y=B　　D. Y= 【答案】 C。 【解析】 Y=AB+AB+B=AB+B=(A+)B=B（重叠律合并后用合并公式），故最简式 Y=B，选 C。 5.（模拟）用消去法化简 Y=A+B，结果为（　　）。 A. A　　B. A+B　　C. AB　　D. B 【答案】 B。 【解析】 A+B=(A+)(A+B)=1·(A+B)=A+B，消去多余因子 。 6.（模拟）用卡诺图化简 F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7)，最简与或式为（　　）。其卡诺图如下： AB C 00 01 11 10 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 A. F=A　　B. F=B　　C. F=C　　D. F=1 【答案】 B。 【解析】 m₂(010)、m₃(011)、m₆(110)、m₇(111) 中 B 始终为 1，A、C 取值任意变化，合并消去 A、C 保留 B，故 F=B。 7.（模拟）根据反演律， 等于（　　）。 A.     B.     C. AB　　D. A+B 【答案】 B。 【解析】 反演律（德·摩根定理）：=+，=·；“与”的非等于“非”的或，故选 B。 8.（模拟）三变量卡诺图中，m₁(001) 与 m₃(011) 相邻，两者合并后可消去变量（　　）。 A. 消去 A　　B. 消去 B　　C. 消去 C　　D. 消去 A 和 C 【答案】 B。 【解析】 m₁(001) 与 m₃(011) 仅 B 由 0 变 1，A、C 保持不变，合并消去 B，乘积项为 C。 [课堂练习] 1.（单项选择题）逻辑代数与普通代数的主要区别是（　　）。 A. 变量只有 0、1 两种取值，且 0、1 表示逻辑状态而非数量大小　　B. 运算规则完全相同　　C. 只能进行加法运算　　D. 不能对表达式进行化简 【答案】 A。 【解析】 逻辑代数的变量是逻辑变量，只允许取 0、1 两个值，表示的是两种对立的逻辑状态，并不表示数量的大小；其基本运算是与、或、非，并可用基本定律和卡诺图进行化简。 2.（单项选择题）用逻辑代数分析，下列逻辑函数等式正确的是（　　）。 A. A+B=A+AB　　B. AB+C=(A+B)(A+C)　　C. A+0=0　　D. A+A=A 【答案】 D。 【解析】 A：A+AB=A≠A+B；B：(A+B)(A+C)=A+BC≠AB+C；C：A+0=A；D：重叠律 A+A=A，正确。 3.（单项选择题）下列逻辑运算正确的是（　　）。 A. 1+1=10　　B. A·0=A　　C. A+=0　　D. A+1=1 【答案】 D。 【解析】 0-1 律：A+1=1；A：1+1=1（逻辑加）；B：A·0=0；C：A+=1（互补律）。 4.（单项选择题）三变量卡诺图的列变量 BC 按（　　）顺序排列。 A. 00、01、11、10（格雷码）　　B. 00、01、10、11　　C. 0、1、2、3　　D. 任意顺序 【答案】 A。 【解析】 卡诺图要求相邻两格只差一个变量，故行（列）变量按格雷码（循环码）排列：00、01、11、10。 5.（单项选择题）卡诺图化简时，若一个圈包含 4 个相邻的 1，则一次可消去（　　）个变量。 A. 1 个　　B. 2 个　　C. 3 个　　D. 4 个 【答案】 B。 【解析】 圈 2ⁿ 个 1 可消去 n 个变量；4=2²，故消去 2 个变量。 6.（单项选择题）逻辑函数表达式  化简后的最简式为（　　）。 A. AB　　B.     C.     D.  【答案】 D。 【解析】  +B=（合并法：(+B)=），+AB=(+A)(+B)=+B（消去法），故最简式为 +B。注意与 B+A+AB=A+B 区分，两者结果不同。 7.（单项选择题）对偶规则中，将原式变换为对偶式时，不进行下列哪一项变换？（　　） A. “·”与“+”互换　　B. 0 与 1 互换　　C. 原变量与反变量互换　　D. 以上都进行 【答案】 C。 【解析】 对偶规则只做“·”↔“+”、0↔1，不改变原变量与反变量；“原反互换”是反演规则（求反函数）的变换。 8.（单项选择题） 可化简为（　　）。 A. AB+BC　　B.     C.     D. AB+C 【答案】 B。 【解析】 消冗余公式 AB+C+BC=AB+C，BC 为冗余项（被 AB 与 C 覆盖），故 F=AB+C。 9.（单项选择题）属于三变量逻辑函数最小项的是（　　）。 A. AA    B. A    C.     D.  【答案】 D。 【解析】  C 恰含 A、B、C 三个变量各一次。A 中 A 出现两次；B 含四个变量；C 中 A 出现两次（ 与 A），均不是最小项。 10.（单项选择题）逻辑函数 L= 的多余项为（　　）。 A.     B.     C. AB　　D. 无多余项 【答案】 B。 【解析】 由消冗余公式：B 的取值或者属于  （A=0 时为最小项 B），或者属于 AB（A=1 时为最小项 AB），即 B 被其余两项覆盖，可去掉：L= +B+AB= +AB，故多余项为 B，选 B。 11.（简答题）化简下列逻辑函数：（1）；（2）；（3）。 【答案】 （1）L=AB+C；（2）L=AB+C；（3）L=AB+C。 【解析】 （1）C+C=C(+)=C·，故 L=AB+C=AB+C（消去）；（2）直接用消冗余公式 AB+C+BC=AB+C；（3）BC 成立必有 C=1，而 C+C=C(+) 已覆盖 C 项，故 BC 为冗余项可去掉，化归为（1）式，L=AB+C。 12.（简答题）三变量逻辑函数 。试：（1）将逻辑函数化简成最简式；（2）找出其全部最小项；（3）画出其卡诺图。 【答案】 （1）L=A+BC（AC 被吸收，BC 含于 BC）；（2）最小项为 BC、A 、AC、AB、ABC，即 L=∑m(3,4,5,6,7)；（3）卡诺图如下表所示（填 1 的方格为 m₃、m₄、m₅、m₆、m₇）： AB C 00 01 11 10 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 【解析】 A+AC=A（吸收）；BC+BC=BC（BC 被 BC 覆盖）；故 L=A+BC。展开最小项验证：A 对应 m₄~m₇，BC 对应 m₃、m₇，合计 {3,4,5,6,7}。 [课堂小结] 本专题核心考点与结论如下： ①【基本定律与规则】牢记交换律、结合律、分配律、0-1律、互补律、重叠律、吸收律、反演律（德·摩根定理 =+、=·）。两规则：反演规则求反函数（·↔+、0↔1、原↔反），对偶规则求对偶式（·↔+、0↔1）。 ②【代数化简法】四类常用公式：吸收 A+AB=A、合并 AB+B=B、消去 A+B=A+B、消冗余 AB+C+BC=AB+C。化简无定法，须熟记公式、灵活配项。 ③【卡诺图化简法】三变量卡诺图按格雷码排列（AB 列 00→01→11→10、C 行 0/1，含卷绕相邻）。步骤：填 1→按 2ⁿ 圈组（圈大圈少、每 1 必圈）→每圈消去相反变量得最简与或式。例：F=Σm(0,1,4,5)→，F=Σm(2,3,6,7)→B。 ◆ 本节必记：德·摩根定理是两律基础；卡诺图“圈大、圈少、不漏 1”，圈组必为 2ⁿ 个相邻格。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $