专题2.2 一元二次不等式（考点精讲）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

专题2.2 一元二次不等式 一、课标要求 1. 一元二次不等式：了解一元二次不等式的概念； 2. 了解二次函数、 一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系； 3. 掌握一元二次不等式的解法； 4. 不等式的应用：初步掌握从实际问题中抽象出一元二次不等式模型解决简单实际应用问题。 二、知识架构 三、知识清单 1．一元二次不等式概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)． 2．一元二次不等式解法 （1）使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． （2）若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． （3）一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系 将一元二次不等式变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，再将ax2＋bx＋c替换成二次函数y=ax2＋bx＋c，再讨论a的取值范围确定一元二次不等式取值范围。 ①若a>0 二次函数 （）的图象 y=ax2＋bx＋c y=ax2＋bx＋c y=ax2＋bx＋c 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0（a>0） 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 二次函数的解集 二次函数的解集 ②若a<0 二次函数 （a<0）的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0（a<0） 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 二次函数 的解集 二次函数 的解集 总结：方程和不等式或是函数的特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当y=0时,函数就转化为方程,当或时就转化为一元二次不等式. 3．一元二次不等式模型解决简单实际应用问题 一元二次不等式应用题的关注点 (1)常见模型:二次函数模型. (2)解题流程:解题时要审清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”. 4.一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法 (1)在R上恒成立问题 恒成立⇔ 恒成立⇔ (2)在给定区间上的恒成立问题 ①时,在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔在x=α,x=β时的函数值同时小于0. ②时,在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔在x=α,x=β时的函数值同时大于0. 5.解决一元二次不等式给解求参数问题的关注点 (1)由一元二次不等式中不等号的方向及其解集可以逆推二次函数的开口； (2)一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根,也是函数与轴交点的横坐标. 四、考点精练 考点一：解一元二次不等式 【例1】不等式 的解集是（    ） A． B． C． D．或 【变式探究】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例2】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【例3】解不等式，并把解集在数轴上的表示出来. 【变式探究】不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   考点二：一元二次不等式参数问题 【例1】一元二次方程有两个不相等的实数解的条件是（   ）. A． B． C． D． 【变式探究】若关于的方程没有实数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】若关于的不等式的解集为，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若不等式的解集为空集，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【例3】关于的一元二次方程无实数根，求的取值范围． 【变式探究】已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4】如果不等式无解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式探究】已知不等式的解集为空集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 技巧点拨 解一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 考点三：一元二次不等式恒成立问题 【例1】不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式探究】若二次函数>0在x∈R上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【变式探究】若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【例3】关于的不等式对一切实数都恒成立，求实数的取值范围. 【变式探究】若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 技巧点拨 一、对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 二、不等式中恒成立问题 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． (2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立． 对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方； 对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)． 考点四：一元二次不等式实际应用问题 【例1】一个摩托车制造厂引进一条流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与产生的利润y（元）满足关系式，若这家工厂希望每天用这条流水线创造不低于8000元的利润，那么该流水线每天至少需要生产多少辆摩托车？ 【变式探究】如今，智慧农业深入民心，通过科学种植可以大幅提高农产品的产量．实践证明，果树栽培过程中栽种密度过大，果树之间的透气性就会受到影响，不能保证有足够的光照度，水果的产量和品质都会受到影响，通过数据分析，在某果园内种植面积不变的情况下，如果按照种植50棵果树计算，平均每棵树可以产果600个，如果种植密度增加，每多种一棵树，平均每棵树就会减少结果5个．如果要使水果总产量不少于33000个，应该如何安排种植数目？ 【例2】商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ 【变式探究】2025年国庆假期即将来临，某海边景区的酒店有80间海景房，若每间房每天的住宿费为500元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元，则人住的房间数会相应减少间． (1)该酒店每间海景房每天住宿费为多少元时每天的收入不少于60000元？ (2)若该海景酒店每天的固定消耗成本为30000元，每间入住的房间消耗成本为200元，问每间海景房每天住宿费为多少元时利润最大？最大为多少元？ 技巧点拨 数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时 (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系； (3)用不等式表示不等关系.思维要严密、规范. 五、真题精练 1．（2026年重庆职教高考真题）若关于 的方程 没有实数根，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026年四川职教高考真题）不等式的解集为（）. A． B． C． D． 3．（2026年广西职教高考真题）不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2026年西藏职教高考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2025年甘肃职教高考真题）不等式的解集为（   ）． A．R B． C． D． 6．（2025年山东职教高考真题）已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（2026年浙江职教高考真题）已知一元二次方程的两根为，，求不等式的解集为______. 8．（2026年陕西职教高考真题）关于的一元二次方程无实数根，求的取值范围． 9．（（2025年山东职教高考真题））不等式的解集是______. 10．（2026年河南职教高考真题）不等式 的解集是____ 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元二次不等式 一、课标要求 1. 一元二次不等式：了解一元二次不等式的概念； 2. 了解二次函数、 一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系； 3. 掌握一元二次不等式的解法； 4. 不等式的应用：初步掌握从实际问题中抽象出一元二次不等式模型解决简单实际应用问题。 二、知识架构 三、知识清单 1．一元二次不等式概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)． 2．一元二次不等式解法 （1）使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． （2）若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． （3）一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系 将一元二次不等式变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，再将ax2＋bx＋c替换成二次函数y=ax2＋bx＋c，再讨论a的取值范围确定一元二次不等式取值范围。 ①若a>0 二次函数 （）的图象 y=ax2＋bx＋c y=ax2＋bx＋c y=ax2＋bx＋c 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0（a>0） 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 二次函数的解集 二次函数的解集 ②若a<0 二次函数 （a<0）的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0（a<0） 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 二次函数 的解集 二次函数 的解集 总结：方程和不等式或是函数的特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当y=0时,函数就转化为方程,当或时就转化为一元二次不等式. 3．一元二次不等式模型解决简单实际应用问题 一元二次不等式应用题的关注点 (1)常见模型:二次函数模型. (2)解题流程:解题时要审清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”. 4.一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法 (1)在R上恒成立问题 恒成立⇔ 恒成立⇔ (2)在给定区间上的恒成立问题 ①时,在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔在x=α,x=β时的函数值同时小于0. ②时,在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔在x=α,x=β时的函数值同时大于0. 5.解决一元二次不等式给解求参数问题的关注点 (1)由一元二次不等式中不等号的方向及其解集可以逆推二次函数的开口； (2)一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根,也是函数与轴交点的横坐标. 四、考点精练 考点一：解一元二次不等式 【例1】不等式 的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】不等式可化为. 因式分解得，解得. 因此解集为. 故选：C. 【变式探究】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式， 解得， 所以解集为， 故选：. 【例2】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：C. 【变式探究】不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】不等式，解得或， 所以解集为或. 故选：. 【例3】解不等式，并把解集在数轴上的表示出来. 【答案】，数轴表示见解析 【解析】因为，即， 所以，解得， 即不等式的解集为. 数轴表示如下：    【变式探究】不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】不等式，解得或， 解集为或， 用数轴表示为 ， 故选：. 考点二：一元二次不等式参数问题 【例1】一元二次方程有两个不相等的实数解的条件是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】一元二次方程有两个不相等的实数解， ，解得或， 此时， 故选：. 【变式探究】若关于的方程没有实数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为关于的方程没有实数解， 所以，即，可化为： ，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【例2】若关于的不等式的解集为，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知 ，即， 解得，选项中只有符合. 故选：C 【变式探究】若不等式的解集为空集，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】因为不等式的解集为空集， 所以，解得. 故选：A. 【例3】关于的一元二次方程无实数根，求的取值范围． 【答案】. 【解析】无实数根， ，解得， 的取值范围为. 【变式探究】已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知关于的不等式， 当时，不等式可化为，恒成立，满足条件， 当时，需满足：且， 即且，整理得且，解得， 综上可知. 故选：C. 【例4】如果不等式无解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式无解， 则，解得， 故选：C. 【变式探究】已知不等式的解集为空集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 技巧点拨 解一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 考点三：一元二次不等式恒成立问题 【例1】不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式对一切实数都成立， ， ， 的取值范围是． 故选：C． 【变式探究】若二次函数>0在x∈R上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为二次函数>0在x∈R上恒成立，所以问题等价于无实数根， 则，解得， 故选：A. 【例2】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，不等式可化为，不符合题意，所以舍去； 当时，由题得且， 即且，解得， 综上：， 故选：C. 【变式探究】若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】不等式对一切恒成立， 当时，不等式变为，恒成立，符合题意； 当时，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【例3】关于的不等式对一切实数都恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】当，即时，原式化为， 对一切实数都恒成立，故， 当，即时， 由对一切实数都恒成立，可得 即，解得， 综上所述，实数的取值范围. 【变式探究】若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】不等式对一切实数都成立， 当时，此时，恒成立； 当时，则， 解得， 综上所述，实数的取值范围是， 故选：. 技巧点拨 一、对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 二、不等式中恒成立问题 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． (2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立． 对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方； 对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)． 考点四：一元二次不等式实际应用问题 【例1】一个摩托车制造厂引进一条流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与产生的利润y（元）满足关系式，若这家工厂希望每天用这条流水线创造不低于8000元的利润，那么该流水线每天至少需要生产多少辆摩托车？ 【答案】该流水线每天至少需要生产辆摩托车 【解析】由题意，得， 化简得， 即， 解得（舍去）或， 故该流水线每天至少需要生产辆摩托车. 【变式探究】如今，智慧农业深入民心，通过科学种植可以大幅提高农产品的产量．实践证明，果树栽培过程中栽种密度过大，果树之间的透气性就会受到影响，不能保证有足够的光照度，水果的产量和品质都会受到影响，通过数据分析，在某果园内种植面积不变的情况下，如果按照种植50棵果树计算，平均每棵树可以产果600个，如果种植密度增加，每多种一棵树，平均每棵树就会减少结果5个．如果要使水果总产量不少于33000个，应该如何安排种植数目？ 【答案】应种植60到110棵果树. 【解析】设增加棵果树，则增加果树后每棵产量为个. 依题意若要使水果产量不少于33000个，只需满足式子，即； 解得. 答：种植60到110棵果树即可使水果总产量不少于33000个. 【例2】商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ 【答案】， 【解析】若提价后商品的售价为x元，由于要赚取利润，故， 则销售量减少件，故每天可销售， 同样由于要赚取利润，故，则， 综上：， 因此，每天的利润为元，， 则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式，. 【变式探究】2025年国庆假期即将来临，某海边景区的酒店有80间海景房，若每间房每天的住宿费为500元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元，则人住的房间数会相应减少间． (1)该酒店每间海景房每天住宿费为多少元时每天的收入不少于60000元？ (2)若该海景酒店每天的固定消耗成本为30000元，每间入住的房间消耗成本为200元，问每间海景房每天住宿费为多少元时利润最大？最大为多少元？ 【答案】(1)每天住宿费在元之间时每天的收入不少于60000元 (2)每天住宿费为1350元时利润最大，最大为22900元 【解析】（1）由题意得， 化简得，即，，解得， 当时，；当时，， 所以该酒店每间海景房每天住宿费在元之间时每天的收入不少于60000元． （2）设海景酒店每天的利润为元， 则， 化简得，， 所以当时，， 即每间海景房每天住宿费为1350元时利润最大，最大为22900元． 技巧点拨 数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时 (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系； (3)用不等式表示不等关系.思维要严密、规范. 五、真题精练 1．（2026年重庆职教高考真题）若关于 的方程 没有实数根，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 没有实数根， 则，即， 解得， 所以实数 的取值范围为， 故选：C. 2．（2026年四川职教高考真题）不等式的解集为（）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式，可得， 故该不等式的解集为. 故选：C. 3．（2026年广西职教高考真题）不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式 解得， 所以不等式 的解集为. 故选：B. 4．（2026年西藏职教高考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式可化为，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 5．（2025年甘肃职教高考真题）不等式的解集为（   ）． A．R B． C． D． 【答案】B 【解析】， 解得或， 故不等式的解集为. 故选：B. 6．（2025年山东职教高考真题）已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为方程的两个根是和5， 所以不等式可变形为， 又因为，所以， 解得：， 所以不等式的解集为， 故选：A. 7．（2026年浙江职教高考真题）已知一元二次方程的两根为，，求不等式的解集为______. 【答案】 【解析】因为一元二次方程的两根为，， 又函数的图像为开口向上的抛物线， 与轴的交点坐标为， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．（2026年陕西职教高考真题）关于的一元二次方程无实数根，求的取值范围． 【答案】. 【解析】无实数根， ，解得， 的取值范围为. 9．（（2025年山东职教高考真题））不等式的解集是______. 【答案】 【解析】不等式的二次项系数为， 对应的方程的解为，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 10．（2026年河南职教高考真题）不等式 的解集是____ 【答案】 【解析】不等式，等价于，即， 解得，则解集为. 故答案为：. 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $