专题2.1 不等式的基本性质、区间（考点精讲）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

专题2.1 不等式的基本性质、区间 一、课标要求 1.不等式的基本性质：掌握判断两个数（式）大小的“作差比较法”，了解不等式的基本性质； 2.区间：理解区间的概念； 3.会用区间表示取值范围。 二、知识架构 三、知识清单 1． 不等关系 如果，那么是正数；如果，那么是负数；如果，那么等于0； 梳理　 试用不等式表示下列关系： (1)a大于b　　　a＞b (2)a小于b a<b (3)a不大于b a≤b (4)a不小于b　　a≥b 2．两个实数大小的比较 方法一：①比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了. a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. ②作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论. 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键. ③不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备. 方法二：作商法：若b＞0，则＞1⇔a＞b；＜1⇔a＜b. 若b<0，则>1⇔a＜b；<1⇔a＞b. 3．不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数 4．区间 （1）设，是两个实数，而且, 我们规定： ①满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为； 数轴表示： ②满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为； 数轴表示： ③满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为或． 这里的实数与都叫做相应区间的端点． 数轴表示： （2）实数集可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大” 满足的实数的集合表示为；满足的实数的集合表示为___________； 满足的实数的集合表示为；满足的实数的集合表示为___________． 四、考点精练 考点一：实数比较大小 【例1】设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】设实数，则（   ） A． B． C． D． 【例2】若，，，则m与n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式探究】若，则（　　） A． B． C．无法确定 D． 【例3】已知，若，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 技巧点拨 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． 考点二：用不等式的性质比较大小 【例1】已知实数，满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式探究】如果，下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【例2】如果，，则（   ） A． B． C． D． 【变式探究】已知a和b均为实数，且，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【例3】若，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知下列四个命题： ①若，，则；②若，且，则；③若，，则；④若，则. 其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 技巧点拨 判断不等式的常用方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数等函数的单调性来比较． 考点三：不等式性质的应用 【例1】已知，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2】已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例3】已知，. (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围. 【例4】已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 【例5】（1）已知，求，的范围. （2）已知，，求的取值范围. 【变式探究】已知,,则的取值范围是_______． 技巧点拨 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 考点四：区间 【例1】用区间表示下列集合 （1） （2） （3） （4） 【变式探究】可用以下集合表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知全集，集合，则 （    ） A． B． C． D． 【变式探究】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例3】已知a为常数，集合，，且，则实数a的取值范围是______． 【变式探究】已知全集 ，集合 ，. (1)用区间表示集合与； (2)求及 技巧点拨 对于用区间表示的集合，要清楚的知道所表示的范围，可以在数轴上把表示的范围画出来，这样就可以看的很清楚，不容易出错。 五、真题精练 1．（2026年安徽职教高考真题）若、为非零实数，且，则下列正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．（2025年新疆职教高考真题）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025年辽宁职教高考真题）若，则和0的大小关系是（    ） A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定 4．（2026年河北职教高考真题）实数，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026年浙江职教高考真题）已知实数,则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026年山东职教高考真题）请问下列哪项是错误的？（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果且，那么 7．（2025年甘肃职教高考真题）若，则（   ）． A． B． C． D． 8．（2026年湖南职教高考真题）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026年山东职教高考真题）已知，则不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（2026年云南职教高考真题）已知，则下列正确的是（    ）. A． B． C． D． 第 2 页 共 10 页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 不等式的基本性质、区间 一、课标要求 1.不等式的基本性质：掌握判断两个数（式）大小的“作差比较法”，了解不等式的基本性质； 2.区间：理解区间的概念； 3.会用区间表示取值范围。 二、知识架构 三、知识清单 1． 不等关系 如果，那么是正数；如果，那么是负数；如果，那么等于0； 梳理　 试用不等式表示下列关系： (1)a大于b　　　a＞b (2)a小于b a<b (3)a不大于b a≤b (4)a不小于b　　a≥b 2．两个实数大小的比较 方法一：①比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了. a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. ②作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论. 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键. ③不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备. 方法二：作商法：若b＞0，则＞1⇔a＞b；＜1⇔a＜b. 若b<0，则>1⇔a＜b；<1⇔a＞b. 3．不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数 4．区间 （1）设，是两个实数，而且, 我们规定： ①满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为； 数轴表示： ②满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为； 数轴表示： ③满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为或． 这里的实数与都叫做相应区间的端点． 数轴表示： （2）实数集可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大” 满足的实数的集合表示为；满足的实数的集合表示为___________； 满足的实数的集合表示为；满足的实数的集合表示为___________． 四、考点精练 考点一：实数比较大小 【例1】设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 又，所以， 所以，即， 又，故， 综上，. 故选：B. 【变式探究】设实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 又， ∴． 故选：A． 【例2】若，，，则m与n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，故． 故选：C. 【变式探究】若，则（　　） A． B． C．无法确定 D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，则， 故选：. 【例3】已知，若，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且，， 所以， 所以，即. 故选：B 【变式探究】已知，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为. 所以. 故选：A. 技巧点拨 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． 考点二：用不等式的性质比较大小 【例1】已知实数，满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取，满足，，但，，故A、B、C错误； 因为，所以， 由可得，所以，故D正确. 故选：D 【变式探究】如果，下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，故A不成立， 因为，所以正确，故B成立， 因为，则，， 所以，故C不成立， 因为，，所以，故D不成立， 故选：B. 【例2】如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，满足，， 此时，则，故选项A错误； 因为，，由不等式的性质可知，，故选项B正确； 当时，满足，， 此时，则，故选项C错误； 当时，满足，， 此时，则，故选项D错误. 故选：B. 【变式探究】已知a和b均为实数，且，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项：若，则，不成立； B选项：若，则，不成立； C选项：若，则，不成立． D选项：因为，所以，成立． 故选：D. 【例3】若，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 则，故错误，正确； ，故错误；，故错误， 故选：. 【变式探究】已知下列四个命题： ①若，，则；②若，且，则；③若，，则；④若，则. 其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】命题①满足不等式的传递性，故正确； 命题②，因为，且，所以，即，故正确； 命题③取特值验证：令，，，，则，，故错误； 命题④，因为，所以，所以，故正确. 故选：C. 技巧点拨 判断不等式的常用方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数等函数的单调性来比较． 考点三：不等式性质的应用 【例1】已知，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，根据不等式的基本性质可得. 已知，所以. 又，所以，化简得. 因为，所以的取值范围为. 故选：C. 【变式探究】已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 由不等式的性质可得. 因此，的取值范围是. 故选：C. 【例2】已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 【例3】已知，. (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为，， 两个不等式相加可得，解得， 所以x的取值范围是. （2）因为，， 所以， 所以 ， 所以的取值范围是. （3）已知，， 则设， 则， 所以，解得， 所以， 因为，所以①， 因为，所以②， ①+②得， 所以的取值范围是. 【例4】已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）， （2） （3）由条件， ， 又 【例5】（1）已知，求，的范围. （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1），，. 两式相加，得. ，，. 又，.. （2）设， 即， 于是，解得，. ，，，， . 故的取值范围是. 【变式探究】已知,,则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】设，即， 所以有，所以，即， 又因为， 所以， 所以， 故答案为：. 技巧点拨 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 考点四：区间 【例1】用区间表示下列集合 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） (3) (4) 【变式探究】可用以下集合表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】区间是闭区间，包含端点 2 和 4， 可用集合表示为， 故选：A. 【例2】已知全集，集合，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为全集，集合， 所以， 所以. 故选：B. 【变式探究】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 故. 故选：B. 【例3】已知a为常数，集合，，且，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】已知集合，， 由可得，，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式探究】已知全集 ，集合 ，. (1)用区间表示集合与； (2)求及 【答案】(1)， (2)， 【解析】（1）， 或 . （2）， ， . 技巧点拨 对于用区间表示的集合，要清楚的知道所表示的范围，可以在数轴上把表示的范围画出来，这样就可以看的很清楚，不容易出错。 五、真题精练 1．（2026年安徽职教高考真题）若、为非零实数，且，则下列正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】、为非零实数，且， 当时，满足，但此时，，，故错误； 、为非零实数，且，则，故正确， 故选：. 2．（2025年新疆职教高考真题）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】选项A：已知，且，故，故A正确； 选项B：取，，满足，但，，此时，故B错误； 选项C：已知，则，故C错误； 选项D：当时，，，此时，故D错误. 故选：A. 3．（2025年辽宁职教高考真题）若，则和0的大小关系是（    ） A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定 【答案】C 【解析】已知，在不等式两边同时减去1，可得，即. 故选：C. 4．（2026年河北职教高考真题）实数，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，则，选项ACD正确. 当时，，选项B错误. 故选：B. 5．（2026年浙江职教高考真题）已知实数,则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项，因为，所以， 根据不等式的基本性质可得，故A选项正确. B选项，因为，所以. 根据不等式的基本性质可得，从而，故B选项错误. C选项，因为，所以， 取,，此时，故C选项错误. D选项，因为，所以， 取,，此时，故D选项错误. 故选：A. 6．（2026年山东职教高考真题）请问下列哪项是错误的？（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果且，那么 【答案】B 【解析】如果，，那么，故正确； 如果，当时，，故错误； 如果，那么，即，故正确； 如果且，那么，故正确， 故选：. 7．（2025年甘肃职教高考真题）若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知， 则，即，故A错误，D正确， 由，则，故B错误， 由，则，即，故C错误， 故选：D. 8．（2026年湖南职教高考真题）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合，集合， 则， 故选：. 9．（2026年山东职教高考真题）已知，则不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：因为，可得，又，所以，该选项正确； 选项B：已知，令，得，此时，该选项错误； 选项C：已知，令，得，此时，该选项错误； 选项D：已知，根据不等式的性质可知，该选项错误， 故选：A. 10．（2026年云南职教高考真题）已知，则下列正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 则，故正确；，故错误； ，故错误；，故错误； 故选：. 第 2 页 共 10 页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $