专题01 实数全章8考点4题型（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

null 第19章知识背诵卡片 1.基本概念：算术平方根，平方根，立方根，无理数，实数. 2.平方根和立方根： 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数. 3.实数： 有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 无限不循环小数又叫作无理数. 有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点一一对应. 有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用.实数混合运算的顺序为：先乘方和开平（立）方，再乘除，最后加减. 4.科学记数法：把一个数表示成（，是整数或小数，是整数）的形式，这种记数方法叫作科学记数法. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 算术平方根 考点二 平方根 考点三 立方根 考点四 有理数与无理数 考点五 实数的概念与数轴 考点六 实数的绝对值、相反数与大小比较 考点七 实数的运算 考点八 科学记数法 05 重难题型突破 题型一 算术平方根与平方根的概念辨析 题型二 立方根与开立方 题型三 无理数的估算与数轴 题型四 新定义运算与实数综合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本章在八年级上册期中测试中以基础题为主，整体难度偏低，但历年考试中，学生失分多源于概念理解偏差，而非复杂难题。实数章节复习的核心要求，是“概念与运算的准确性”。 题型分布：命题常将易混淆的概念辨析设置于填空题；解答题常以实数计算作为开篇基础题，属于全卷基础得分点。 难度分布：本章知识理解难度不大，重在答题的规范性。 高频命题方向：平方根与算术平方根的概念辨析、无理数识别、实数新定义运算。 备考规划：第一步，精读课本定义，回归教材，落实概念辨析；第二步，限时训练，做好本专题重点题型，训练答题准确率，总结错题并举一反三；第三步，针对性突破新定义运算、无理数估算题型。 识记 熟练记忆：平方根、算术平方根、立方根的定义与符号（、）；无理数与实数的分类。 理解 熟练区别：算术平方根的双重非负性；实数与数轴的一一对应； 与 的差别。 应用 熟练刷题：求平方根、算术平方根与立方根；数轴表示与大小比较；估算无理数的整数部分；实数的混合运算与科学记数法。 考点一 算术平方根（19.1） 【教材知识点】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫作的算术平方根.的算术平方根记为""，读作"根号".叫作被开方数. 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为. 重要规律：一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的.即：被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 算术平方根的结果只能是非负数：（）."4的算术平方根是"错误，算术平方根只有一个，是2；是4的平方根. 被开方数必须满足才有意义. 带分数要先化成假分数再开方：，不能写成之类. ，不是：先算平方得正数，再取算术平方根. 考点二 平方根（19.1） 【教材知识点】 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根，也称为二次方根.叫作被开方数. 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 3条结论： 正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根； 0的平方根是0； 负数没有平方根——因为任何一个正数、0或负数的平方都不是负数. 符号表示：正数的两个平方根用""表示，其中""表示的正的平方根（即算术平方根），""表示的负的平方根，读作"负根号". "的平方根"与""不同：问"平方根"要答（正数）；问"算术平方根"只答.如的平方根是，算术平方根是. 、、三个符号的意义要分清：（一个值），（两个值）. 负数平方的平方根：先化简，它的平方根是——审题看清是"化简"还是"再求平方根". 判断题高频陷阱："是9的算术平方根"（×，算术平方根非负）；"的平方根是"（×，负数没有平方根）；"是4的一个平方根"（√）. 一个正数的两个平方根之积等于被开方数的相反数：的两个平方根的积是. 考点三 立方根（19.1） 【教材知识点】 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根，也称为三次方根.叫作被开方数. 求一个数的立方根的运算叫作开立方. 3条结论： 正数的立方根是正数； 0的立方根是0； 负数的立方根是负数. 【注意】任何一个数都有立方根，且只有一个立方根. 符号：数的立方根用""表示. 【重要性质】一般地，（如）. 小数点规律：被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位（被开方数扩大为原来的1000倍，立方根扩大为原来的10倍）. 平方根与立方根对比 被开方数范围 个数 符号 结果符号 平方根 正数两个、0一个、负数没有 正负成对 立方根 任意实数 任何数有且只有一个 与被开方数同号 （教材习题B组第7题题后反思）： 立方根是它本身的数有、、；平方根是它本身的数只有；算术平方根是它本身的数有和（，）. ：先算，再取负数立方根，别把负号提前平方. "的立方根是"正确，但"的平方根是"错误——负数没有平方根. 立方根只有一个，不写. 考点四 有理数与无理数（19.2） 【教材知识点】 有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数.（整数可看成小数点后是0的小数；无限循环小数可化分数） 教材用反证法证明了不是有理数：既不是有限小数，也不是无限循环小数，一定是无限不循环小数.【书本反证法例题需要关注一下，期中试卷也出现过反证法的案例】 无限不循环小数又叫作无理数.如、、等都是无理数，也是无理数. 被开方数越大，对应的算术平方根也越大：如果，那么.利用此结论可估计的大小（，，……）. 常见"伪装成无理数的有理数"：（有限小数）、（分数）、（无限循环小数）、、（开得尽方）. 常见无理数三类：①开不尽方的根式，如、、；②及含的式子；③构造型无限不循环小数，如（位数无限且相邻两个"3"之间依次增加1个"1"）. "无限小数一定是无理数"错误——无限循环小数是有理数；"无理数一定是无限小数"正确. 判断"和、积的属性"：无理数与无理数的和、积不一定是无理数（如，）；有理数与无理数的和一定是无理数（的有理数乘无理数也是无理数）；但有理数乘无理数得. 是无理数，但、都是有理数——别把"的近似值"当成. 考点五 实数的概念与数轴（19.2） 【教材知识点】 有理数和无理数统称为实数. 实数按定义分类： 实数也可以分为正实数、0、负实数. 实数与数轴上的点一一对应：每一个实数（无论有理数、无理数）在数轴上都有唯一确定的对应点；反过来，数轴上任意一点也都对应一个实数. 无理数在数轴上的对应点，可以利用它的近似值（有理数）所对应的点来大致确定，如、. "数轴上的所有点都对应有理数"错误——数轴上的点与实数一一对应，绝大多数点对应无理数. 实数分类别按"定义"和"符号"两种分法分，别 混：正实数正有理数正无理数. 判断一个数属于哪一类，先化简再判断：是有理数，才是无理数. 实数对应的点在原点右侧（因为，结果为正）. 考点六 实数的绝对值、相反数与大小比较（19.2） 【教材知识点】 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数；相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，记作. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数；0的相反数是0；非零实数的相反数是. 分段表示： 大小比较：从数轴上看，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大.负实数小于0；0小于正实数；负实数小于正实数.两个正实数，绝对值大的数较大；两个负实数，绝对值大的数较小. 数轴上点、对应的实数分别是、，则线段的长. 求含无理数的绝对值先判断符号：（因）；（被开方数大的算术平方根大）. 绝对值是的数有两个：，别只写一个. 比较负无理数大小先比绝对值再反号：（因，"绝对值大的反而小"）. 数轴上两点距离直接套：如，结果可以是含根号的式子. 考点七实数的运算（19.2） 【教材知识点】 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样；有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 运算律（、、为实数）：加法交换律；加法结合律；乘法交换律；乘法结合律；乘法对加法的分配律. 实数还可以开方：正数和0可以开平方，任意一个实数可以开立方. 实数混合运算的顺序为：先乘方和开平（立）方，再乘除，最后加减. 涉及无理数的运算，若未指明保留几位小数，通常利用运算法则和运算律化简，结果可能是一个化简了的算式，如、（注意）；需要近似值时，先化简，再用四舍五入法按精确度取值. ：根号内的平方先算完再相加，不能拆成. ：系数相加减、根号部分不变（分配律）. 、——负号在根号内还是外，结果不同. 考点八科学记数法（19.2） 【教材知识点】 把一个数表示成（，是整数或小数，是整数）的形式，这种记数方法叫作科学记数法.当或时，"1"常省略不写，如，. 绝对值较大的数：可直观表示整数位数，如有六个整数位. 绝对值较小的数：可直观表示小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 例：；；；. 单位换算与科学记数法结合：，. 取值范围是：负数表示时符号保留在上，如，不能写成. 指数的规律：较大数整数位数；较小数第一个非零数字前面0的个数（含小数点前那个0）加1. "有几个整数位"→个；"小数点与左起第一个非零数字之间有几个0"→个（）. 单位换算放在科学记数法之前做：，再与相乘得kg. 题型一 算术平方根与平方根的概念辨析 典例1（25-26八年级上·上海·期中）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】二次根式的混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、新定义下的实数运算 【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可． 【详解】解：若是“最美实数”， 则有或， 若，解得， 若，解得， 综上，a的值为或， 故选：D． 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海长宁·期中）填空：的平方根是___________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 2．（25-26八年级上·上海·期中）的平方根是________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 先求得，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）的平方根是___________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查的是平方根，准确把握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，结合平方运算的结果特征，得出正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：． 故答案为：． 题型二 立方根与开立方 典例1（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、加减消元法 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 破题要诀：立方根唯一，符号跟着被开方数走。解方程先化成 的形式，不要在中间步骤上丢符号。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）的立方根是__________． 【答案】-2 【知识点】求一个数的立方根 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 题型三 无理数的估算与数轴 典例1（25-26八年级上·上海·期中）设的整数部分为 a,小数部分为 b.则  = __________________________. 【答案】 【知识点】二次根式的应用、无理数整数部分的有关计算 【分析】根据实数的估算求出a,b，再代入即可求解. 【详解】∵1＜＜2， ∴-2＜-＜-1， ∴2＜＜3 ∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-， ∴== 故填：. 【点睛】此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质. 破题要诀：夹逼法第一步：找到它挨着的两个完全平方数（立方数）。整数部分一确定，小数部分就是「原数减整数部分」。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、无理数 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：由是有理数，则为有理数， A、，又是有理数，x是无理数 所以是无理数，不符合题意； B、， 同理是无理数，不符合题意； C、，又是有理数，x是无理数 所以为无理数，即是无理数，不符合题意； D、，又是有理数， 所以是有理数，即是有理数，符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__． 【答案】33或127/127或33 【知识点】二元一次方程的解、二次根式的应用、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况． 【详解】解：“神奇区间”为， 、为连续正整数， ，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解， 符合条件的，有，，；，，． ，，时，，， ， ， ，，时，，， ， ， 故的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力． 3．（25-26八年级上·上海青浦·期中）如图所示，数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是______ ．    【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查数轴上两点间的距离以及中点的性质，清楚数轴上两点间的距离计算方法是解题关键．首先结合数轴，利用已知条件求出线段的长度，然后根据中点的性质即可求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上表示，的对应点分别为、， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 题型四 新定义运算与实数综合 典例1（25-26八年级上·上海·期中）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 【答案】或或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 破题要诀：新定义题先把定义里的字母换成题中的数，剩下的是纯计算。分类讨论之后，记得回头检验取舍。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a满足，那么的值是________． 【答案】2026 【知识点】二次根式有意义的条件、带有字母的绝对值化简问题 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 2．（25-26八年级上·上海·期中）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）_____． 【答案】 【知识点】分式化简求值、新定义下的实数运算 【分析】此题考查了新定义运算．分子分母同乘以后，把分母化为不含的数后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列实数中是无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得． 【详解】A、是有限小数，属于有理数，此项不符题意； B、，是有理数，此项不符题意； C、是无理数，此项符合题意； D、是分数，属于有理数，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键． 2．（25-26八年级上·上海·期中）64的算术平方根是______． 【答案】8 【知识点】求一个数的算术平方根 【详解】解：的算术平方根是． 3．（25-26八年级上·上海青浦·期中）的平方根是_______． 【答案】±2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 4．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）25的平方根是_____． 【答案】±5 【知识点】求一个数的平方根 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 5．（25-26八年级上·上海·期中）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：=___． 【答案】﹣2 【知识点】求一个数的立方根 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 7．（25-26八年级上·上海崇明·期中）如图，线段AB将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，AB的长度为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上表示的实数是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】实数与数轴 【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项． 【详解】解：点表示的数是：， 故答案选：． 【点评】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键． 8．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【知识点】无理数、实数概念理解、实数的分类 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知a的平方根是±8，则a的立方根是（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解 【分析】根据乘方运算，可得的值，根据开方运算，可得立方根. 【详解】的平方根是， ， . 故选：. 【点睛】本题考查了立方根，先算乘方，再算开方. 2．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·期中）在如图所示的数轴上，两点对应的实数分别是和，点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、二次根式的加减运算 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意求出的长，进而得到的长以及的长，即可确定点C对应的实数． 【详解】解：由题意知， 点到点的距离与点到点的距离相等， ， ， 点所对应的实数是， 故选D． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【知识点】二次根式的混合运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 5．（25-26八年级上·上海·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能截出 【知识点】二次根式的应用、无理数的大小估算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 6．（25-26八年级上·上海虹口·期中）某种颗粒的半径约为米，用科学记数法表示这个数为________米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海金山·期中）在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的直径为0.00000078m，这个数据用科学记数法表示为______m 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数 【详解】解：将0.00000078m用科学记数法表示为m 故答案为：. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 算术平方根 考点二 平方根 考点三 立方根 考点四 有理数与无理数 考点五 实数的概念与数轴 考点六 实数的绝对值、相反数与大小比较 考点七 实数的运算 考点八 科学记数法 05 重难题型突破 题型一 算术平方根与平方根的概念辨析 题型二 立方根与开立方 题型三 无理数的估算与数轴 题型四 新定义运算与实数综合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本章在八年级上册期中测试中以基础题为主，整体难度偏低，但历年考试中，学生失分多源于概念理解偏差，而非复杂难题。实数章节复习的核心要求，是“概念与运算的准确性”。 题型分布：命题常将易混淆的概念辨析设置于填空题；解答题常以实数计算作为开篇基础题，属于全卷基础得分点。 难度分布：本章知识理解难度不大，重在答题的规范性。 高频命题方向：平方根与算术平方根的概念辨析、无理数识别、实数新定义运算。 备考规划：第一步，精读课本定义，回归教材，落实概念辨析；第二步，限时训练，做好本专题重点题型，训练答题准确率，总结错题并举一反三；第三步，针对性突破新定义运算、无理数估算题型。 识记 熟练记忆：平方根、算术平方根、立方根的定义与符号（、）；无理数与实数的分类。 理解 熟练区别：算术平方根的双重非负性；实数与数轴的一一对应； 与 的差别。 应用 熟练刷题：求平方根、算术平方根与立方根；数轴表示与大小比较；估算无理数的整数部分；实数的混合运算与科学记数法。 考点一 算术平方根（19.1） 【教材知识点】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫作的算术平方根.的算术平方根记为""，读作"根号".叫作被开方数. 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为. 重要规律：一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的.即：被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 算术平方根的结果只能是非负数：（）."4的算术平方根是"错误，算术平方根只有一个，是2；是4的平方根. 被开方数必须满足才有意义. 带分数要先化成假分数再开方：，不能写成之类. ，不是：先算平方得正数，再取算术平方根. 考点二 平方根（19.1） 【教材知识点】 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的________，也称为________.叫作被开方数. 求一个数的平方根的运算叫作________. 3条结论： 正数有________个平方根，它们互为________，其中正的平方根就是这个数的算术平方根； 0的平方根是0； ____数没有平方根——因为任何一个正数、0或负数的平方都不是负数. 符号表示：正数的两个平方根用""表示，其中""表示的正的平方根（即算术平方根），""表示的负的平方根，读作"负根号". "的平方根"与""不同：问"平方根"要答（正数）；问"算术平方根"只答.如的平方根是，算术平方根是. 、、三个符号的意义要分清：（一个值），（两个值）. 负数平方的平方根：先化简，它的平方根是——审题看清是"化简"还是"再求平方根". 判断题高频陷阱："是9的算术平方根"（×，算术平方根非负）；"的平方根是"（×，负数没有平方根）；"是4的一个平方根"（√）. 一个正数的两个平方根之积等于被开方数的相反数：的两个平方根的积是. 考点三 立方根（19.1） 【教材知识点】 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的________，也称为________.叫作被开方数. 求一个数的立方根的运算叫作________. 3条结论： 正数的立方根是________数； 0的立方根是________； 负数的立方根是________数. 【注意】任何一个数都有立方根，且只有一个立方根. 符号：数的立方根用""表示. 【重要性质】一般地，（如）. 小数点规律：被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位（被开方数扩大为原来的1000倍，立方根扩大为原来的10倍）. 平方根与立方根对比 被开方数范围 个数 符号 结果符号 平方根 正数两个、0一个、负数没有 正负成对 立方根 任意实数 任何数有且只有一个 与被开方数同号 （教材习题B组第7题题后反思）： 立方根是它本身的数有、、；平方根是它本身的数只有；算术平方根是它本身的数有和（，）. ：先算，再取负数立方根，别把负号提前平方. "的立方根是"正确，但"的平方根是"错误——负数没有平方根. 立方根只有一个，不写. 考点四 有理数与无理数（19.2） 【教材知识点】 有理数必为________小数或________小数；反过来，________小数或________小数必为有理数.（整数可看成小数点后是0的小数；无限循环小数可化分数） 教材用反证法证明了不是有理数：既不是有限小数，也不是无限循环小数，一定是无限不循环小数.【书本反证法例题需要关注一下，期中试卷也出现过反证法的案例】 ________________又叫作无理数.如、、等都是无理数，也是无理数. 被开方数越大，对应的算术平方根也越大：如果，那么.利用此结论可估计的大小（，，……）. 常见"伪装成无理数的有理数"：（有限小数）、（分数）、（无限循环小数）、、（开得尽方）. 常见无理数三类：①开不尽方的根式，如、、；②及含的式子；③构造型无限不循环小数，如（位数无限且相邻两个"3"之间依次增加1个"1"）. "无限小数一定是无理数"错误——无限循环小数是有理数；"无理数一定是无限小数"正确. 判断"和、积的属性"：无理数与无理数的和、积不一定是无理数（如，）；有理数与无理数的和一定是无理数（的有理数乘无理数也是无理数）；但有理数乘无理数得. 是无理数，但、都是有理数——别把"的近似值"当成. 考点五 实数的概念与数轴（19.2） 【教材知识点】 有理数和无理数统称为________. 实数按定义分类： 实数也可以分为正实数、________、负实数. 实数与数轴上的点________对应：每一个实数（无论有理数、无理数）在数轴上都有唯一确定的对应点；反过来，数轴上任意一点也都对应一个实数. 无理数在数轴上的对应点，可以利用它的近似值（有理数）所对应的点来大致确定，如、. "数轴上的所有点都对应有理数"错误——数轴上的点与实数一一对应，绝大多数点对应无理数. 实数分类别按"定义"和"符号"两种分法分，别 混：正实数正有理数正无理数. 判断一个数属于哪一类，先化简再判断：是有理数，才是无理数. 实数对应的点在原点右侧（因为，结果为正）. 考点六 实数的绝对值、相反数与大小比较（19.2） 【教材知识点】 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数；相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的________，叫作这个实数的绝对值，记作. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数；0的相反数是0；非零实数的相反数是. 分段表示： 大小比较：从数轴上看，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数________.负实数小于________；0小于________；负实数________正实数.两个正实数，绝对值大的数较____；两个负实数，绝对值大的数较____. 数轴上点、对应的实数分别是、，则线段的长. 求含无理数的绝对值先判断符号：（因）；（被开方数大的算术平方根大）. 绝对值是的数有两个：，别只写一个. 比较负无理数大小先比绝对值再反号：（因，"绝对值大的反而小"）. 数轴上两点距离直接套：如，结果可以是含根号的式子. 考点七实数的运算（19.2） 【教材知识点】 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样；有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 运算律（、、为实数）：加法交换律；加法结合律；乘法交换律；乘法结合律；乘法对加法的分配律. 实数还可以开方：正数和________可以开平方，任意一个实数可以开立方. 实数混合运算的顺序为：先________和________，再乘除，最后加减. 涉及无理数的运算，若未指明保留几位小数，通常利用运算法则和运算律化简，结果可能是一个化简了的算式，如、（注意）；需要近似值时，先化简，再用四舍五入法按精确度取值. ：根号内的平方先算完再相加，不能拆成. ：系数相加减、根号部分不变（分配律）. 、——负号在根号内还是外，结果不同. 考点八科学记数法（19.2） 【教材知识点】 把一个数表示成________（，是整数或小数，是整数）的形式，这种记数方法叫作科学记数法.当或时，"1"常省略不写，如，. 绝对值较大的数：可直观表示整数位数，如有六个整数位. 绝对值较小的数：可直观表示小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 例：；；；. 单位换算与科学记数法结合：，. 取值范围是：负数表示时符号保留在上，如，不能写成. 指数的规律：较大数整数位数；较小数第一个非零数字前面0的个数（含小数点前那个0）加1. "有几个整数位"→个；"小数点与左起第一个非零数字之间有几个0"→个（）. 单位换算放在科学记数法之前做：，再与相乘得kg. 题型一 算术平方根与平方根的概念辨析 典例1（25-26八年级上·上海·期中）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海长宁·期中）填空：的平方根是___________． 2．（25-26八年级上·上海·期中）的平方根是________． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）的平方根是___________． 题型二 立方根与开立方 典例1（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 破题要诀：立方根唯一，符号跟着被开方数走。解方程先化成 的形式，不要在中间步骤上丢符号。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）的立方根是__________． 题型三 无理数的估算与数轴 典例1（25-26八年级上·上海·期中）设的整数部分为 a,小数部分为 b.则  = __________________________. 破题要诀：夹逼法第一步：找到它挨着的两个完全平方数（立方数）。整数部分一确定，小数部分就是「原数减整数部分」。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__． 3．（25-26八年级上·上海青浦·期中）如图所示，数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是______ ．    题型四 新定义运算与实数综合 典例1（25-26八年级上·上海·期中）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 破题要诀：新定义题先把定义里的字母换成题中的数，剩下的是纯计算。分类讨论之后，记得回头检验取舍。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a满足，那么的值是________． 2．（25-26八年级上·上海·期中）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）_____． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列实数中是无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）64的算术平方根是______． 3．（25-26八年级上·上海青浦·期中）的平方根是_______． 4．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）25的平方根是_____． 5．（25-26八年级上·上海·期中）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：=___． 7．（25-26八年级上·上海崇明·期中）如图，线段AB将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，AB的长度为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上表示的实数是（    ） A． B． C． D．1 8．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知a的平方根是±8，则a的立方根是（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 2．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 3．（25-26八年级上·上海·期中）在如图所示的数轴上，两点对应的实数分别是和，点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 5．（25-26八年级上·上海·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 6．（25-26八年级上·上海虹口·期中）某种颗粒的半径约为米，用科学记数法表示这个数为________米． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 8．（25-26八年级上·上海金山·期中）在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的直径为0.00000078m，这个数据用科学记数法表示为______m 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $