数学全真模拟卷（1）-2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试(原卷版+解析版)

2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（1） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．某中职校“校园超市”分两次进货，第一次进货的品种构成集合A＝{圆珠笔，水笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，第二次进货的品种构成集合B＝{水笔，铅笔，火腿肠，方便面}，那么集合A与B之间的关系用文氏图可表示为（     ） A． B． C． D． 2．一元二次不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．若，，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．校运动会男子米决赛开始，运动员小杰的速度从零开始逐渐增大，跑到米时速度达到最大值9米/秒，随后速度逐渐减小，跑到米终点时的速度为8米/秒.下面大致能反映小杰这米跑步过程的速度（米/秒）随路程（米）变化趋势的图只可能是（    ） A． B． C． D． 5．国庆中秋期间，小王一家5人，排成一排拍合家欢纪念照，小王必须站在正中间，这样的合家欢照片一共可拍（    ）张 A．18 B．24 C．36 D．48 6．函数的图像如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 解答题前注明分值 7．函数的定义域为____________． 8．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若其终边经过点，且，则实数___________． 9．已知是偶函数，则实数____________． 10．如果直线经过点，则的倾斜角____________． 11．若椭圆经过抛物线的焦点，则椭圆的焦距为____________． 12．已知等差数列中，首项，公差，，，成等比数列，则此等比数列的公比___________. 13．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是____________． 14．设向量，，且，则实数____________． 15．某凉亭的顶棚可以看成如图所示的正四棱锥的侧面．已知的底面边长为4米，高为1.5米，那么该正四棱锥的侧面积为__________平方米． 16．在中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若三边满足，则角___________. 17．直线与两坐标轴所围成的三角形面积为_____________. 18．从集合和中各取出3个不同的元素组成一个密码，那么密码中的数字与字母恰好相间（例如：）的概率为____________（用最简分数表示）． 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）已知复数（，i是虚数单位），． (1)求； (2)若z是关于x的方程的一个根，求p与q的值． 20．（本小题7分）如图所示是一个边长为4的正方体被截去一个角后剩余部分的几何体，分别是与的中点． (1)在所给几何体的下列视图上添上必要的实线或虚线； (2)求所给几何体的体积V． 21．（本小题8分）已知等差数列中，. (1)设公差，求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求. 22．（本小题8分）中，角的对边为、、，若，为钝角． (1)求角； (2)若，，求边长． 23．（本小题8分）某手机专卖店销售某种品牌的手机，记第n天（）的日销售量为（单位：台），函数的图像中的点分别分布在两条直线段上（如图），该两条直线段的交点的横坐标记为．已知当时，函数．    (1)求m的值及该店前m天手机的销售总量； (2)经验表明，当该店手机销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，即认为开始旺销．试问该店手机销售到第几天时才可被认为开始旺销？ 24．（本小题9分）如图所示，某电子监控安装在点，监控范围为半径的一个圆. (1)试写出这个圆的一般式方程； (2)有人在经过点，斜率为的直线上活动，试问监控能否发现？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（1） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．某中职校“校园超市”分两次进货，第一次进货的品种构成集合A＝{圆珠笔，水笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，第二次进货的品种构成集合B＝{水笔，铅笔，火腿肠，方便面}，那么集合A与B之间的关系用文氏图可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用文氏图来表示集合之间的关系即可得解. 【详解】集合中除了“水笔，方便面”是相同元素，其它元素都不相同， 所以集合不是包含关系，故选项错误， 集合有相同的元素，故选项错误，选项正确， 故选：. 2．一元二次不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 不等式的解为， 所以不等式的解集为. 故选：B. 3．若，，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充要条件的概念和不等式的基本性质，即可求解. 【详解】对于AB，因为，所以， 故，故A正确，B错误， 对于C，取，则，但不成立，故C错误， 对于D，因为，，则恒成立，故D错误. 故选：A. 4．校运动会男子米决赛开始，运动员小杰的速度从零开始逐渐增大，跑到米时速度达到最大值9米/秒，随后速度逐渐减小，跑到米终点时的速度为8米/秒.下面大致能反映小杰这米跑步过程的速度（米/秒）随路程（米）变化趋势的图只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性与经过的点识别函数图像即可. 【详解】由题意可知，图像经过点和点. 且在上单调递减， 综上所述，只有B符合. 故选：B. 5．国庆中秋期间，小王一家5人，排成一排拍合家欢纪念照，小王必须站在正中间，这样的合家欢照片一共可拍（    ）张 A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】理解题意，结合全排列进行计算即可. 【详解】小王站中间时，剩下4名家庭成员进行排列， 总共有种排法. 故选：B. 6．函数的图像如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图像，找出时的范围即可. 【详解】由函数的图像可知， 当或时，； 当时，；当时，；当时，， 则不等式的解集为. 故选：D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 解答题前注明分值 7．函数的定义域为____________． 【答案】 【分析】根据题意，结合根式有意义的条件，及指数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数， 所以，即， 解得， 即函数的定义域为. 故答案为：. 8．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若其终边经过点，且，则实数___________． 【答案】 【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得， . 则， 解得. 故答案为： ． 9．已知是偶函数，则实数____________． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义列出等式即可解得. 【详解】由题，为偶函数， 则， 故，解得. 故答案为： 10．如果直线经过点，则的倾斜角____________． 【答案】 【分析】将点代入直线方程中求出值，将直线方程化为斜截式求出斜率，代入斜率的定义即可得解. 【详解】直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 所以斜率，即，因为，所以. 故答案为：. 11．若椭圆经过抛物线的焦点，则椭圆的焦距为____________． 【答案】 【分析】根据抛物线的方程可得其焦点坐标为，将该焦点坐标代入到椭圆方程可求得的值，进而可得椭圆的标准方程，焦距即可得解. 【详解】由抛物线，可知其焦点在轴，， 所以其焦点坐标为， 又因为椭圆经过抛物线的焦点， 所以，解得：， 所以椭圆的方程为， 即，所以， 所以焦距， 故答案为：. 12．已知等差数列中，首项，公差，，，成等比数列，则此等比数列的公比___________. 【答案】3 【分析】根据等差数列和等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意可知， ，， 又因为，，成等比数列， 则， 化简得， 故公比， 故答案为：3 13．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可求解. 【详解】因为偶函数的图象关于轴对称，函数在上是减函数， 所以函数在上是增函数. 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 当时，因为，函数在上是增函数 所以； 当时，因为，函数在上是减函数 所以. 故使得的的取值范围是. 故答案为：. 14．设向量，，且，则实数____________． 【答案】 【分析】根据向量垂直内积为零，即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 故答案为： 15．某凉亭的顶棚可以看成如图所示的正四棱锥的侧面．已知的底面边长为4米，高为1.5米，那么该正四棱锥的侧面积为__________平方米． 【答案】20 【分析】根据正四棱锥的侧面积公式即可求解. 【详解】由题意得，底面边长为米，高为米. 则正四棱锥的斜高为：（米）. 所以正四棱锥的侧面积为：（平方米）. 故答案为：20. 16．在中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若三边满足，则角___________. 【答案】60°/ 【分析】利用余弦定理表示出，将已知等式变形代入求出的值，即可确定角的度数. 【详解】因为在中，， 即，所有由余弦定理得： ， 则. 故答案为：A. 17．直线与两坐标轴所围成的三角形面积为_____________. 【答案】6 【分析】求出直线的横纵截距，再由三角形的面积公式得解. 【详解】当时，，当时，， 则直线与两坐标轴所围成的三角形面积为. 故答案为：6. 18．从集合和中各取出3个不同的元素组成一个密码，那么密码中的数字与字母恰好相间（例如：）的概率为____________（用最简分数表示）． 【答案】/ 【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数的计算分析求解即可. 【详解】因为集合和中各取出3个不同的元素组成一个密码， 所以该试验包含的基本事件总数为， 又要求密码中的数字与字母恰好相间， 即可先把三个字母先排好，再根据插空法将数字排进去， 所以满足条件的基本事件个数为， 所以其概率, 故答案为：. 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）已知复数（，i是虚数单位），． (1)求； (2)若z是关于x的方程的一个根，求p与q的值． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】（1）根据复数相等求得a和b的值，再根据复数模公式即可求解； （2）解法一：由是关于x的方程的一个根，所以是此方程的另一个复数根，根据根与系数关系即可求解. 解法二：将复数代入方程，结合复数相等的概念即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 解得，所以， 故． （2）解法一：由（1）可知， 因为是方程的一个根， 所以也是方程的根， 故，． 解法二：把代入方程为： ， 即，即， 所以，解得， 所以，. 20．（本小题7分）如图所示是一个边长为4的正方体被截去一个角后剩余部分的几何体，分别是与的中点． (1)在所给几何体的下列视图上添上必要的实线或虚线； (2)求所给几何体的体积V． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据三视图的定义，结合题意，即可求解； （2）根据题意，该几何体的体积等于正方体的体积减去截去的三棱锥的体积，结合正方体的体积公式和三棱锥的体积公式，即可求解． 【详解】（1）主视图、左视图如下图所示： （2）由题意可知，截去的几何体是一个三棱锥， 故截取的三棱锥的体积， 又正方体的棱长为4， 所以正方体的体积为， 所以几何体的体积． 21．（本小题8分）已知等差数列中，. (1)设公差，求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由等差数列的通项公式计算即可求解. （2）代入等差数列的前n项和公式计算即可. 【详解】（1）由已知，得， 所以，， 即. （2）由已知，即， 得，即， 得方程组， 解方程组，得， 即得， 所以. 22．（本小题8分）中，角的对边为、、，若，为钝角． (1)求角； (2)若，，求边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边角关系转化为角度关系，结合角为钝角的条件即可确定角； （2）先根据已知条件确定角的具体度数，再利用余弦定理求解边长即可. 【详解】（1）由正弦定理可知， 又因为， 所以， 所以，所以或， 又因为在中，为钝角，所以. （2）由，代入，可得： ， 所以或，又因为为钝角， 所以，由（1）知， 所以， 由余弦定理可知， 又因为 ， 所以 ， 所以. 23．（本小题8分）某手机专卖店销售某种品牌的手机，记第n天（）的日销售量为（单位：台），函数的图像中的点分别分布在两条直线段上（如图），该两条直线段的交点的横坐标记为．已知当时，函数．    (1)求m的值及该店前m天手机的销售总量； (2)经验表明，当该店手机销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，即认为开始旺销．试问该店手机销售到第几天时才可被认为开始旺销？ 【答案】(1)，220台 (2)第18天 【分析】（1）根据两条一次函数的交点易得答案; （2）根据销售总数达到或超过台列出不等式易得答案. 【详解】（1）当时，设， 由图示可得,即, 解方程组，得, 所以当,时, 由解得，即为， 于是前8天的手机销售总量为， 答：该店前8天销售手机的总量为220台． （2）由题意得， 化简得， 解不等式，得，（舍去）， 因为当时，函数单调递增， 所以该店手机销售到第18天时，才可被认为开始旺销． 24．（本小题9分）如图所示，某电子监控安装在点，监控范围为半径的一个圆. (1)试写出这个圆的一般式方程； (2)有人在经过点，斜率为的直线上活动，试问监控能否发现？为什么？ 【答案】(1). (2)直线l与圆相离，监控不能发现. 【分析】（）根据圆心和半径，求得圆的额标准方程，再化为一般方程即可. （）求出直线1的方程，判断直线与圆的位置关系即可得出结论. 【详解】（1）依题意，圆心为，半径为2， 则圆的标准方程为，化为一般式为. （2）过点，斜率为的直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 即直线l与圆相离，则监控不能发现. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $