数学全真模拟卷（10）-2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试(原卷版+解析版)

2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（10） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．某组完成任务甲的编号集合为 ，完成任务乙的编号集合为，至少完成一项任务的编号集合是（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．“函数是偶函数”是“对定义域内任意成立”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知幂函数的图像关于轴对称，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 5．现有4支救援队前往3个受灾点执行救援任务．若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法数是（    ） A．24 B．36 C．48 D．56 6．椭圆的一个焦点为，长半轴为5，则短半轴为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．已知函数，若方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_________. 8．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点P的横坐标为2，且，则_________. 9．已知函数，若，，互不相等，且，则实数的取值范围为__________. 10．若直线经过与，斜率为，则_________. 11．若，则 _________. 12．在中，已知，若，则_________. 13．已知数列为等差数列，且，则_________. 14．如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是________. 15．已知直线，直线，若，则_________. 16．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是_________. 17．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 18．有五张写有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽4次，则抽到的最大数与最小数的差小于4的概率是_________. 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）已知复数，. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； (2)若复数为纯虚数，求的虚部. 20．（本小题7分）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的半径是2，圆柱筒的高是2． (1)求这种“浮球”的体积； (2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆每平方厘米需要防水漆0.5，共需多少防水漆？ 21．（本小题8分）已知数列前项和， (1)求； (2)记，求数列前项和. 22．（本小题8分）在中，内角A，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积． (1)求角A的大小； (2)若时，求面积的最大值． 23．（本小题8分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值． 24．（本小题9分）已知的三个顶点的坐标分别为，， (1)求的外接圆的标准方程； (2)求的外接圆被直线截得的弦长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（10） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．某组完成任务甲的编号集合为 ，完成任务乙的编号集合为，至少完成一项任务的编号集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的概念及运算可求解. 【详解】由题可知，至少完成一项任务的编号集合是A与B的并集， 即为：. 故选：D 2．已知不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可知的解为或，将代入方程中即可得解. 【详解】不等式的解集为， 所以的解为或， 将代入方程中得，解得， 故选：. 3．“函数是偶函数”是“对定义域内任意成立”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据偶函数及充要条件的定义判断. 【详解】因为“函数是偶函数”“对定义域内任意成立”， 所以“函数是偶函数”是“对定义域内任意成立”的充要条件. 故选：A. 4．已知幂函数的图像关于轴对称，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质来确定实数的值即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，即，解得或. 又因为幂函数的图像关于轴对称， 即函数为偶函数，所以为偶数，故. 故选：A. 5．现有4支救援队前往3个受灾点执行救援任务．若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法数是（    ） A．24 B．36 C．48 D．56 【答案】B 【分析】先将支救援队分成组，再将分好的组全排列安排到个受灾点. 【详解】从支救援队中选支为一组，其余支各为一组，共有种分法， 将分好的组全排列，安排到个受灾点，共有种排法， 所以不同的安排方法数为（种）. 故选：B. 6．椭圆的一个焦点为，长半轴为5，则短半轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，长半轴，半焦距，计算即可. 【详解】由已知可得：，， ，所以. 故选：A 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．已知函数，若方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】将有四个不同的实数解转化为直线与函数的图象有四个不同的交点，再结合的函数图象确定单调性和值域，再由交点个数即可确定实数的取值范围. 【详解】的图象如图所示，    当时，或， 时，单调递减，时，单调递增， 所以， 此时， 当时，， 此时， 最大值为，且时，单调递增，时，单调递减， 所以， 若方程有四个不同的实数解， 则直线与函数的图象有四个不同的交点， 即与和时同时相交， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 8．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点P的横坐标为2，且，则_________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】由题意可知，该抛物线的准线方程为 ， 因为点P的横坐标为2， 则点P到准线的距离为. 由题意，结合抛物线定义得，解得. 故答案为：2. 9．已知函数，若，，互不相等，且，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】结合函数图象的作图及函数图象的交点、最值求解. 【详解】根据题意，不妨设且， 所以直线与函数有3个交点， 则函数与直线的图象如图所示，    则由图可知， 又由可得，即， 所以，于是. 故答案为：. 10．若直线经过与，斜率为，则_________. 【答案】 【分析】根据直线斜率公式列出关于的方程，然后求解方程得到的值即可. 【详解】因为直线经过与，且斜率为， 则，得，解得. 故答案为：. 11．若，则 _________. 【答案】/ 【分析】根据两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 12．在中，已知，若，则_________. 【答案】 【分析】根据向量夹角的公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为，则. 故答案为：. 13．已知数列为等差数列，且，则_________. 【答案】 【分析】根据等差数列的性质，可得的值，代入所求，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 14．如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是________. 【答案】 【分析】首先根据斜二测画法的步骤还原得到的形状和边长，再根据直观图的信息求解即可 【详解】由斜二测画法，可知是直角三角形，且， 已知，，则， 所以. 故答案为：. 15．已知直线，直线，若，则_________. 【答案】/0.5 【分析】根据直线垂直的条件列出等式求解. 【详解】∵直线，直线，且， ∴，即， 显然，则， 故答案为：. 16．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据函数解析式画出函数图像，令，由图象可得，，进而得到的取值范围． 【详解】由分段函数的图像如图所示：    使的点在直线与直线之间， 又当时，由，解得， 又，所以，则， 所以的取值范围为. 故答案为：. 17．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解. 【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：， 所以函数的定义域是. 故答案为： 18．有五张写有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽4次，则抽到的最大数与最小数的差小于4的概率是_________. 【答案】 【解析】五张不同的卡片，有放回的抽4次，共有种不同的取法，最大数与最小数的差小于4的取法指所选的数字均来自1，2，3，4或者2，3，4，5的情况，再去掉重复的部分——所选的数字均来自2，3，4的情况，再利用概率公式即可求概率. 【详解】有五张写有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽4次， 共有种不同的取法，差值可能为1、2、3、4， 最大数与最小数的差等于4，则4 次抽取中5或1没有抽到，没有抽到1的有 没有抽到5的有 ，5和1都没有抽到的有种，所以抽到的最大数与最小数的差小于4有种， 所以抽到的最大数与最小数的差小于4的概率 故答案为： 【点睛】本题主要考查古典概型求概率，涉及排列组合知识，属于中档题. 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）已知复数，. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； (2)若复数为纯虚数，求的虚部. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可求的虚部. 【详解】（1）， 在复平面内对应的点在第二象限，则 . 所以实数的取值范围为； （2）. 为纯虚数，则且， 所以， 此时，所以的虚部为. 20．（本小题7分）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的半径是2，圆柱筒的高是2． (1)求这种“浮球”的体积； (2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆每平方厘米需要防水漆0.5，共需多少防水漆？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据球体体积公式和圆柱体体积公式求出“浮球”的体积； （2）根据球体表面积公式和圆柱体侧面积公式求出“浮球”的表面积，进而求出个“浮球”涂防水漆所需的量. 【详解】（1） 因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径，圆柱筒的高为， 所以这两个半球的体积之和为， 圆柱的体积， 所以该“浮球”的体积是 （2）根据题意，上下两个半球的表面积， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以“浮球”的表面积为． 所以给100个这种浮球的表面涂一层防水漆需要． 21．（本小题8分）已知数列前项和， (1)求； (2)记，求数列前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列式结合等比数列的通项公式求值即可. （2）根据等差数列的前项和求值即可. 【详解】（1）当时，， 即，，解得， 当时，， 即得， 解得，即得，因， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由已知， 得， 所以， 即. 22．（本小题8分）在中，内角A，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积． (1)求角A的大小； (2)若时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理即可得解； （2）由三角形的面积公式、余弦定理及基本不等式即可得解. 【详解】（1）在中，， 而，即，故， 由余弦定理得，所以. （2）由（1）知，，， 而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 23．（本小题8分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值． 【答案】(1) (2)当养殖密度尾/立方米时，鱼的年生产量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 【分析】（1）根据题意，分与两种情况，得到函数解析式； （2）在（1）的基础上，结合函数单调性得到最值，比较后求出最大值. 【详解】（1）由题意得当时，， 当时，设， 由已知得，解得， 故， 故； （2）设鱼的年生长量为千克/立方米，由（1）可得 ， 当时，单调递增，故； 当时，， 故当时，取得最大值，最大值为， 由于，故当养殖密度尾/立方米时，鱼的年生产量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 24．（本小题9分）已知的三个顶点的坐标分别为，， (1)求的外接圆的标准方程； (2)求的外接圆被直线截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设出圆的标准方程，列出方程组即可得解. （）根据圆的标准方程求出圆心坐标及半径，结合点到直线距离公式及弦长公式即可得解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 将点，，代入得： ，解得， 所以圆的标准方程为. （2）圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $