数学全真模拟卷（9）-2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试(原卷版+解析版)

2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（9） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．设集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．在张奖券中，有2张一等奖，张二等奖，张三等奖，某人从中任意摸出一张，那么他中三等奖的概率是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知关于的方程的两根为和，则的解集是（    ） A． B． C． D． 6．设，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．已知集合，，且有两个元素，则_________. 8．设函数（）为奇函数，，，则_________. 9．已知函数，则_________． 10．已知是定义在上的奇函数，若对任意的，都有，则满足不等式的实数a的取值范围是__________. 11．若，，则_________. 12．已知，则=_________. 13．若的值域为且，则_________. 14．若向量，则 _________. 15．底面周长为、高为的直棱柱，侧面积为_________. 16．设双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，点，当的周长最小时，_________. 17．制鞋厂A流水线生产皮鞋240双，其中12双鞋底不耐磨；B流水线生产皮鞋160双，其中8双鞋面易开胶.现从两条流水线的产品中随机抽取一双，抽到有质量问题皮鞋的概率是_________. 18．随着我国数字经济的蓬勃发展，互联网支付以其高效便捷的优势越来越受到人们的喜爱，为保障交易资金安全，需设置支付密码．现有共26个大写字母，共26个小写字母，共10个数字，若要设置4位支付密码，要求包括1个大写字母、1个小写字母和2个不能重复的数字，请问能设置________种不同的密码？（用数字作答） 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）已知复数（）． (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值. 20．（本小题7分）已知球的一个截面的半径是3，球心与该球截面的距离是4，求 (1)球的表面积； (2)球的体积． 21．（本小题8分）在如图三角形数阵中，第行有个数，表示第行第个数，例如，表示第4行第3个数．该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，． (1)求及； (2)记，求． 22．（本小题8分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为 .在甲出发 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留 后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为，经测量得 ，，为钝角.      (1)求缆车线路AB的长： (2)问乙出发多少 后，乙在缆车上与甲的距离最短. 23．（本小题8分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：长轴是短轴的倍，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与圆：相切，切点在第一象限，与椭圆相交于、两点．求证：以为直径的圆过原点． 24．（本小题9分）某花园由一面墙和，，三段篱笆围成，篱笆总长为16米，如图所示，其中四边形是矩形，是半圆弧，为半圆的圆心，设米，米. (1)求关于的函数关系； (2)当为何值时，矩形的面积最大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（9） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．设集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】依据集合相等的定义求解 的值. 【详解】已知集合，集合，且， 则，解得：， 此时，符合题意. 故选：A. 2．在张奖券中，有2张一等奖，张二等奖，张三等奖，某人从中任意摸出一张，那么他中三等奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概念即可解得. 【详解】总共有1000张奖券，其中20张三等奖， 所以任意摸一张为三等奖的概率为. 故选：C 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次根式的被开方数大于等于0 ，对数的真数大于0 ，解不等式组即可求出所求． 【详解】要使函数有意义，则有， 即，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义来判断即可. 【详解】解：由于 可得即 反之, 由推不出,例有，但 是的充分不必要条件. 故选：A 5．已知关于的方程的两根为和，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系求解. 【详解】已知关于的方程的两根为和， 则和是不等式的解集的端点， 又因为，所以不等式的解集为， 故选：A. 6．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数和幂函数的单调性，即可求解. 【详解】因为指数函数在定义域R上单调递减， 所以，即， 因为幂函数在上单调递增， 所以，即， 即. 故选：C. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．已知集合，，且有两个元素，则_________. 【答案】或 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】集合，， 集合已有公共元素，要使有两个元素， 则或， 故答案为：或. 8．设函数（）为奇函数，，，则_________. 【答案】/ 【分析】根据题意，结合奇函数的定义求得的值，结合函数的递推关系即可求得的值，继而求解. 【详解】因为函数（）为奇函数，，所以， 因为，所以， 即，所以， 解得， 所以. 故答案为：. 9．已知函数，则_________． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式即可得解. 【详解】函数， ，则. 故答案为：. 10．已知是定义在上的奇函数，若对任意的，都有，则满足不等式的实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用单调性的定义，证得在上递减，结合奇函数的性质化简不等式为，由单调性可得，解不等式可得实数a的取值范围. 【详解】设且， 则， ， . , 即. 所以在上递减， 又是奇函数， 所以原不等式可化为 ， 故， 解得或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 11．若，，则_________. 【答案】3 【分析】根据对数的运算法则即可得解. 【详解】，， 则， 故答案为：. 12．已知，则=_________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式与同角三角函数的基本关系，将所求式化简为仅含的表达式，代入已知值计算即可. 【详解】， ， 由题意，可知，，， 所以. 故答案为：. 13．若的值域为且，则_________. 【答案】2 【分析】利用正弦函数取值范围建立方程组求解参数即可. 【详解】因为，的取值范围是. 当时，取得最大值8. 当时，取得最小值. 联立方程组， ， 解得. 计算. 故答案为：2. 14．若向量，则 _________. 【答案】2 【分析】根据向量内积的坐标表示结合题意即可求解. 【详解】因为向量，所以. 故答案为：2. 15．底面周长为、高为的直棱柱，侧面积为_________. 【答案】 【分析】根据直棱柱侧面积的计算公式即可求解. 【详解】因为直棱柱的底面周长为、高为， 所以该直棱柱的侧面积为. 故答案为：. 16．设双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，点，当的周长最小时，_________. 【答案】 【分析】根据双曲线方程得到即两焦点坐标，通过双曲线定义将求周长最小值转换为求的最小值， 再根据两点之间线段最短得到，即可求解. 【详解】由双曲线方程，得，，， 故右焦点，设左焦点为. 根据双曲线定义，左支上的点满足，即. 的周长，其中为定值， 因此周长最小即最小. 根据两点之间线段最短，当三点共线时，最小， 即， 此时. 故答案为：. 17．制鞋厂A流水线生产皮鞋240双，其中12双鞋底不耐磨；B流水线生产皮鞋160双，其中8双鞋面易开胶.现从两条流水线的产品中随机抽取一双，抽到有质量问题皮鞋的概率是_________. 【答案】0.05/ 【分析】根据题意结合古典概型公式即可得解. 【详解】A流水线生产皮鞋240双，其中12双鞋底不耐磨；B流水线生产皮鞋160双，其中8双鞋面易开胶.， 有质量问题皮鞋总数为双，皮鞋总数为双， 随机抽取一双，抽到有质量问题皮鞋概率为， 故答案为：. 18．随着我国数字经济的蓬勃发展，互联网支付以其高效便捷的优势越来越受到人们的喜爱，为保障交易资金安全，需设置支付密码．现有共26个大写字母，共26个小写字母，共10个数字，若要设置4位支付密码，要求包括1个大写字母、1个小写字母和2个不能重复的数字，请问能设置________种不同的密码？（用数字作答） 【答案】 【分析】利用排列数与组合数公式及分步乘法计数原理求解. 【详解】从26个大写字母中选1个大写字母有种， 从26个小写字母中选1个小写字母有种， 从10个数字中选2个不能重复的数字有种， 将选中的数字和字母全排列，则共有. 故答案为： 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）已知复数（）． (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据复数为实数的条件，即虚部为零求解即可； （2）根据复数为纯虚数的条件，即实部为零，虚部不为零求解即可. 【详解】（1）是实数时，虚部，解得或； （2）是纯虚数时，， 由可得或， 由可得且， ∴. 20．（本小题7分）已知球的一个截面的半径是3，球心与该球截面的距离是4，求 (1)球的表面积； (2)球的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】根据数形结合结合圆以及球的有关知识解答，先根据题意可求出球的半径，即可求出球的表面积和体积． 【详解】（1）根据题意如图所示， 因为截面小圆半径为3，球心到截面的距离为4， 所以，， 所以在中，由勾股定理可知， 所以球的半径， 根据球表面积计算公式可知， 所以球的表面积为． （2）球的半径， 根据球体积计算公式可知， 所以球的体积为． 21．（本小题8分）在如图三角形数阵中，第行有个数，表示第行第个数，例如，表示第4行第3个数．该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，． (1)求及； (2)记，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意用表示,并代入式子即可得解. （2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出,再利用错位相减即可得解. 【详解】（1）由题意得，. . . ∵. ∴,即． 又,∴. ∴. ∴. （2）. 当时,. 又,． ,符合. ∴. . ①. ②. 由①-②得. . . . ∴． 22．（本小题8分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为 .在甲出发 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留 后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为，经测量得 ，，为钝角.      (1)求缆车线路AB的长： (2)问乙出发多少 后，乙在缆车上与甲的距离最短. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理求解即可. （2）根据三角形的性质以及两角和的正弦公式、余弦定理、三角函数的平方关系求解即可. 【详解】（1）在 中，根据 ，，    由正弦定理得： ，得 所以缆车线路AB的长为 （2）在中，根据三角形内角和为 . 由三角函数的平方关系，则 . 由两角和的正弦公式,所以. 所以. 假设乙出发t分钟时，甲，乙两游客距离为d，此时，甲行走了 ，乙距离A处 ，   由余弦定理得 ， 又在AB段的时间 ，即 ， 故 时，乙在缆车上与甲的距离最短. 23．（本小题8分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：长轴是短轴的倍，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与圆：相切，切点在第一象限，与椭圆相交于、两点．求证：以为直径的圆过原点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合长轴与短轴的关系，求得，将已知点代入椭圆方程，即可求的椭圆的标准方程； （2）根据题意，设出切点坐标，结合圆的方程，表示出切线的方程，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理，及向量垂直的坐标表示，即可证明结论成立. 【详解】（1）因为椭圆：长轴是短轴的倍， 所以，即， 又点在椭圆上，所以， 所以，解得， 所以， 所以椭圆的方程为； （2）由题意，设切点坐标为，且， 所以切线l的方程为，且， 所以，消元化简得， 设，则， 所以， 所以. 即，所以. 故以为直径的圆过原点. 24．（本小题9分）某花园由一面墙和，，三段篱笆围成，篱笆总长为16米，如图所示，其中四边形是矩形，是半圆弧，为半圆的圆心，设米，米. (1)求关于的函数关系； (2)当为何值时，矩形的面积最大. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由题可知篱笆总长由三条直线和一个半圆弧构成，即由圆和矩形的周长公式可求出关于的关系，并注意函数的实际定义域. （2）方法一：求得关于的表达式后利用不等式即得; 方法二：求得关于的表达式后利用二元函数的图像和性质可得. 【详解】解：（1）由题意可得， 半圆弧的周长， 已知， 又， 所以， 则关于的表达式为. （2）方法一：矩形的面积，所以 所以当，即时， 矩形的面积最大面积为. 方法二：由上可知，， 当时，矩形的最大面积为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $