数学全真模拟卷（7）-2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试(原卷版+解析版)

2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（7） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．不等式的解集是（　 ） A． B． C． D． 2．如图是由个相同的小正方体组成的一个几何体的三视图，则的值为（　 ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间（时刻恰好倒满）的函数图象大致是（　 ）    A．   B．   C．   D．   4．已知函数 ，若，则（　 ） A． B．或 C．或 D．或 5．已知，，则“”是“向量与共线”的（　 ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．4名中职生选报三个单位实习，每人选报一个单位，则不同的选报种类有（　 ） A．64 B．81 C．24 D．12 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．已知集合，，且，则________． 8．计算：_________． 9．已知函数，则函数的定义域为__________． 10．已知函数，若，则________． 11．角终边过点，则________． 12．已知等式，求a的取值范围为__________． 13．三角形中，则外接圆半径为__________. 14．若，，且，则________. 15．等差数列中,，则 __________. 16．已知等比数列中，与是方程的两个实数根，则_________． 17．边长为的正方形斜二测直观图面积为__________. 18．一只虫子从树下爬往树梢，每遇到分叉时，它会随机地选择一根树枝继续往上爬，如图中仅有一处树梢上有食物，则该虫子一次性恰能吃得到食物的概率为___________. 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）如图所示，在复平面内，复数和对应的点分别是A和B． (1)求； (2)已知是关于x的方程的根，求实数a的值． 20．（本小题7分）如图，一个AI降噪耳机充电仓的防尘保护筒（有底无盖，用于保护充电仓），它的筒高为，底面半径为.  (1)求这个保护筒的容积； (2)现有生产这种保护筒的环保PC塑料板材共，请问最多可以制作这种保护筒多少个？（假设板材无浪费） 21．（本小题8分）设数列的首项为4，且． (1)求，； (2)求的前项和． 22．（本小题8分）在中，已知三个内角的对边分别为，且． (1)求内角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 23．（本小题8分）已知为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，直线，的斜率分别为，，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过的直线交于另一点，且由点，，，组成的以为一边的四边形的面积为，求的方程． 24．（本小题9分）如图，甲、乙两船分别沿箭头方向从、两地同时出发，已知海里，甲、乙两船的速度分别为16海里/小时和12海里/小时.    (1)记t小时后乙到达位置，把距离表示成时间的函数； (2)记t小时后甲，乙两船距离为，求最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（7） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．不等式的解集是（　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式， 解得， 所以解集为， 故选：. 2．如图是由个相同的小正方体组成的一个几何体的三视图，则的值为（　 ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由三视图得出每列、每行、每层的个数，据此可得结果． 【详解】根据主视图及左视图可知，该几何体共有2行3列2层， 再结合俯视图可得，底层共4个小正方体，第二层有1个小正方体， 所以该几何体共有5个小正方体组成，即的值为5. 故选：B 3．某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间（时刻恰好倒满）的函数图象大致是（　 ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢后，可得正确的选项. 【详解】依题意可知，下面的圆台下粗上细， 单位时间倒入体积相同的水，刚开始注水，底部横截面积大，越往上截面变小，高度上升越来越快， 故图像高度的增长速度越来越快； 又因为上面的圆台下细上粗， 过了中间位置后，容器截面开始变大，高度上升变慢 ，因此高度上升越来越慢； 水倒满之后，高度不再变化，图像变成水平线段. 故图像是先越来越陡，过中点后越来越平缓，最后水平，选项C符合题意. 故选：C. 4．已知函数 ，若，则（　 ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据分段函数的概念和性质，再利用指数式与对数式互化求解即可. 【详解】根据题意可先分两类情况讨论， 当时，此时，即令，得 ，满足题意； 当时，此时，即令，得 ， 因为，所以， 综上所述，或. 故选：C. 5．已知，，则“”是“向量与共线”的（　 ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量点积公式结合充分必要条件的判定即可解得. 【详解】由向量与共线可知两向量夹角为或， 若两向量夹角为零，则； 若两向量夹角为，则. 所以向量与共线可推出或，必要性不成立； 若，则可知两向量夹角的余弦值， 又知，则，此时两向量反向共线，充分性成立， 所以“”是“向量与共线”的充分而不必要条件. 故选：A. 6．4名中职生选报三个单位实习，每人选报一个单位，则不同的选报种类有（　 ） A．64 B．81 C．24 D．12 【答案】B 【分析】根据分步计数原理即可得解. 【详解】4名中职生选报三个单位实习，每人选报一个单位， 每名学生有3个单位可选，4名学生的选报方式有种， 故选：. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．已知集合，，且，则________． 【答案】7 【分析】根据集合之间的包含关系求解即可. 【详解】因为集合，，且， 则，进而. 故答案为：7. 8．计算：_________． 【答案】9 【分析】利用指数幂的运算性质计算. 【详解】，， ，， 所以. 故答案为：. 9．已知函数，则函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】根据对数、偶次根式、分母的有意义约束条件列不等式求解. 【详解】要使函数有意义，需满足且，解得， 则函数的定义域为. 故答案为：. 10．已知函数，若，则________． 【答案】或 【分析】分类讨论和，结合分段函数解析式即可得解. 【详解】函数，若， 当时，则，解得； 当时，则，解得或（舍）， 所以或， 故答案为：或. 11．角终边过点，则________． 【答案】/ 【分析】根据余弦函数的定义即可得解. 【详解】角终边过点， 则. 故答案为：. 12．已知等式，求a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据题意结合辅助角公式及正弦型函数的性质即可得解. 【详解】， 即，所以， 解得， 所以a的取值范围为， 故答案为：. 13．三角形中，则外接圆半径为__________. 【答案】4 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】设外接圆半径为，三角形中， 则，解得. 故答案为：. 14．若，，且，则________. 【答案】6 【分析】利用平面向量内积公式列式计算即可. 【详解】向量内积计算公式为. 代入坐标可得， 解得. 故答案为：6. 15．等差数列中,，则 __________. 【答案】400 【分析】根据等差数列的求和公式可求解. 【详解】由题可得： . 故答案为： 16．已知等比数列中，与是方程的两个实数根，则_________． 【答案】 【分析】利用韦达定理求出的值，再结合等比数列的性质得到的值. 【详解】因为与是方程的两个实数根，所以， 在等比数列中，， 故答案为：15. 17．边长为的正方形斜二测直观图面积为__________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法原图与直观图的面积关系即可求解. 【详解】因为正方形的边长为，所以正方形的面积为， 所以边长为的正方形斜二测直观图面积为. 故答案为：. 18．一只虫子从树下爬往树梢，每遇到分叉时，它会随机地选择一根树枝继续往上爬，如图中仅有一处树梢上有食物，则该虫子一次性恰能吃得到食物的概率为___________. 【答案】 【分析】根据分步乘法概率原理即可求解. 【详解】虫子到第一个分叉：有2条分支可选， 只有其中一条走向下一级分叉，另一条没有食物， 选到正确分支概率为， 到达第二个分叉：这里有3条分支， 只有1条树梢有食物，选到有食物树枝概率为， 所以该虫子一次性恰能吃得到食物的概率为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）如图所示，在复平面内，复数和对应的点分别是A和B． (1)求； (2)已知是关于x的方程的根，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的几何意义，先写出点的坐标，再求复数和，即可求解； （2）将复数，代入方程，利用复数相等，即可求解. 【详解】（1）由图可知，，所以复数，， 所以； （2）由题意可知， 整理为：， ，解得： 20．（本小题7分）如图，一个AI降噪耳机充电仓的防尘保护筒（有底无盖，用于保护充电仓），它的筒高为，底面半径为.    (1)求这个保护筒的容积； (2)现有生产这种保护筒的环保PC塑料板材共，请问最多可以制作这种保护筒多少个？（假设板材无浪费） 【答案】(1) (2)176个 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求解即可； （2）根据无盖的圆柱的表面积公式求出一个保护筒所需面积，再结合所有的塑料板材的面积求解即可. 【详解】（1）如图所示，筒高为，底面半径为， 保护筒的容积为， （2）筒高为，底面半径为，有底无盖， 一个保护筒要用的塑料板的面积为， 由， 故最多可以做176个这样的保护筒. 21．（本小题8分）设数列的首项为4，且． (1)求，； (2)求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）问直接将的取值代入递推公式依次计算即可； （2）先通过构造等比数列求的通项公式，再用分组求和法计算前项和. 【详解】（1）由题知的首项为，且， 当时，； 当时，； 当时，. （2）由，得，且， 因此是首项为3，公比为的等比数列， 则，即， 故的前项和 22．（本小题8分）在中，已知三个内角的对边分别为，且． (1)求内角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得的大小； （2）由余弦定理可得结果. 【详解】（1）解：∵，由正弦定理得，∴， ∵，∴； （2）∵的面积为，∴，∴， 由余弦定理得， ∴，∴的周长为． 23．（本小题8分）已知为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，直线，的斜率分别为，，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过的直线交于另一点，且由点，，，组成的以为一边的四边形的面积为，求的方程． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由题意表示出来，，列出方程组求解即可； （2）根据点Q的位置进行分类讨论：将四边形的面积转化为两个小三角形面积之和，求出点Q的坐标，再求直线方程即可. （1）由题可知，，. ∵点在椭圆上，且， ，解得，， 故椭圆的标准方程为. （2）设点， ①若点在轴下方，则，如图1所示， 则. 因为点，，，组成的四边形的面积为， 所以，解得， 代入椭圆方程得，故点， 所以直线的方程为或. ②若点在轴上方，则，，如图2所示， 设点到直线的距离为，则，则，解得. 易知直线的方程为，由，得或. 联立得（舍去）或（舍去） 联立得 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或或. 24．（本小题9分）如图，甲、乙两船分别沿箭头方向从、两地同时出发，已知海里，甲、乙两船的速度分别为16海里/小时和12海里/小时.    (1)记t小时后乙到达位置，把距离表示成时间的函数； (2)记t小时后甲，乙两船距离为，求最小值. 【答案】(1) (2)8海里 【分析】（1）以乙船到达点的时间为界，分段表示的距离，构建分段函数. （2）用勾股定理建立距离函数，转化为二次函数，求其最小值即可. 【详解】（1）乙船从点以12海里/小时的速度向点航行，海里， 到达点的时间为小时， 当时，乙船位于之间，距离为剩余路程：； 当时，乙船已过点，距离为超出路程：， 函数. （2）甲船从点以16海里/小时的速度向下航行， 小时后航行距离为海里；乙船与点的距离为，且两船航线垂直， 当时， . 当时，最小值为8； 当时， . 因为， 所以最小值在处，计算得海里，比8海里大， 所以，当时，距离最小，最小值是8海里. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $