数学全真模拟卷（5）-2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试(原卷版+解析版)

2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（5） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，分别代表了杭州的三大世界遗产．这三个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则集合M的非空真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．不等式的解集是，则等于（    ） A．2 B． C．3 D． 4．函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（    ） A． B． C． D． 6．赵强家和学校相距，他周末从学校回家，先乘20分钟公交，然后在公交站台等同学5分钟，再步行回家用了10分钟．假设公交车和步行的速度都是匀速，以表示赵强离家的路程，x（分）表示他回家的时间，下列所示的四个图像中，最符合他回家所经过路程与时间关系的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．函数定义域为________．（写出区间形式） 8．抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是______. 9．角终边过点，若，则_______. 10．已知函数（，且）的图像恒过定点P，则点P的坐标是______． 11．已知直线与直线垂直，则实数的值为_______． 12．记为等比数列的前项和，若，则_______． 13．若函数是定义在上的偶函数，满足对任意的，都有，且，则不等式的解集为____________． 14．已知, ,,则___________. 15．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为_________． 16．一只袋中已知有3个黑球，2个白球，第一次摸出1个球，然后放回去，再摸第二次，则两次摸球都是白球的概率为________． 17．若中，，，，则的值是_________． 18．已知函数则________． 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）已知复数，，其中x，． (1)若，求x，y的值和． (2)若与是共轭复数，求x，y的值． 20．（本小题7分）一个正五棱锥的5个侧面全等，每个侧面三角形的底为，高为. (1)求一个侧面的面积； (2)求该棱锥的侧面积. 21．（本小题8分）已知函数，若对于等差数列，有.求： (1)实数的值； (2)数列的前项和. 22．（本小题8分）已知函数的部分图像如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，求的值. 23．（本小题8分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3200元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时（租金增减为50元的整数倍），未租出的车将会增加一辆．租出的车辆每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ (2)设租金为元/辆，用表示租赁公司的月收益（单位：元）． 24．（本小题9分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为3，且与直线相切． (1)求圆C的方程； (2)设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA、PB，切点为A、B．求证：经过A、P、C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（5） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，分别代表了杭州的三大世界遗产．这三个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则集合M的非空真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】由集合中元素的个数与非空真子集的个数之间的关系即可求解. 【详解】由题意集合M有三个元素（集合元素间互异性，要去重），所以集合M的非空真子集的个数为. 故选：D. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先求出的解，再由充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】由即，解得， 由可以推出，故充分性成立； 由不能得到， 即由不能得到，故必要性不成立； 所以设，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．不等式的解集是，则等于（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值不等式的性质求解即可. 【详解】不等式等价于或， 即或. 又因为解集是，所以. 解得，进而. 故选：B. 4．函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分析可得函数在R上单调递减，结合函数的奇偶性可以将转化为，解可得a的范围，即可得答案． 【详解】由题意可知，， 因为在R上为奇函数，所以， 所以， 又因为函数为减函数， 所以， 得， 故选：C 5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出“甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可. 【详解】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：种； 每个地区至少安排1名专家的安排方法有：种； 由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：. 故选：B. 6．赵强家和学校相距，他周末从学校回家，先乘20分钟公交，然后在公交站台等同学5分钟，再步行回家用了10分钟．假设公交车和步行的速度都是匀速，以表示赵强离家的路程，x（分）表示他回家的时间，下列所示的四个图像中，最符合他回家所经过路程与时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将从学校回家分成个阶段，利用函数图像的意义即可得解. 【详解】赵强家和学校相距，他周末从学校回家，总过程分个阶段： 乘公交：公交车匀速行驶，离家的路程会匀速减少，图像是下降的直线，故错误； 等同学：原地等待，路程不变，图像是水平的直线，故错误； 步行回家：步行匀速，离家的路程匀速减少，图像是下降的直线，最终与轴相交，故正确， 故选：. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．函数定义域为________．（写出区间形式） 【答案】 【分析】根据分式的分母不为零且二次根式的被开方数大于等于零求解即可. 【详解】∵函数为， ∴，解得， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 8．抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是______. 【答案】8 【分析】利用抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，先根据已知条件求出的值，进而得到焦点到准线的距离即可. 【详解】由条件可知，，所以，解得：， 所以焦点到准线的距离为. 故答案为： 9．角终边过点，若，则_______. 【答案】1 【分析】根据任意角的正切函数的定义即可得解. 【详解】角终边过点，若， 则，解得， 故答案为：. 10．已知函数（，且）的图像恒过定点P，则点P的坐标是______． 【答案】 【分析】根据对数型函数的图像及性质，令，可得，代入求出的值即可. 【详解】根据题意，令，可得， 代入可得， 所以函数图像恒过定点， 故答案为： 11．已知直线与直线垂直，则实数的值为_______． 【答案】0或2 【分析】根据两直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即，解得或， 故答案为：0或2. 12．记为等比数列的前项和，若，则_______． 【答案】 【分析】根据等比数列的求和公式可求解. 【详解】设等比数列的公比为， ①当时，则，方程组无解； ②当时，由题可得 ，解得， 所以. 故答案为： 13．若函数是定义在上的偶函数，满足对任意的，都有，且，则不等式的解集为____________． 【答案】 【分析】根据已知条件确定函数的单调性，结合偶函数的性质解不等式. 【详解】已知对任意的，都有， 不妨设，则，得，即在上单调递减. 因为是定义在上的偶函数，所以， 可知的图象关于轴对称，所以在上单调递增， 已知，由偶函数的性质可得， 所以，当时，；当时，；当时，, 不等式等价于或， 所以或，解得或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 14．已知, ,,则___________. 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的定义即可求解. 【详解】解:因为, 所以 因为,, 所以 又向量夹角的范围为 所以 故答案为: 15．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为_________． 【答案】 【分析】根据圆锥的体积求母线,再求圆锥的侧面积. 【详解】由题意得,母线为,高为, 因为, 所以, 所以圆锥的侧面积为. 故答案为:. 16．一只袋中已知有3个黑球，2个白球，第一次摸出1个球，然后放回去，再摸第二次，则两次摸球都是白球的概率为________． 【答案】 【分析】分别计算两次摸球的总的结果数和两次摸球都是白球的结果数，然后根据古典概型计算即可. 【详解】由题可知：由于是有放回摸球，每次摸球的可能性有5种， 所以两次摸球的总的结果数为，两次摸球都是白球的结果数为， 两次摸球都是白球的概率为. 故答案为： 17．若中，，，，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】已知，，， 根据正弦定理可得：. 故答案为：. 18．已知函数则________． 【答案】2e 【分析】根据自变量取值范围代值入不同解析式求函数值即可. 【详解】因为函数， 所以， 则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）已知复数，，其中x，． (1)若，求x，y的值和． (2)若与是共轭复数，求x，y的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据复数相等列方程，求出，再根据复数的模求解即可. （2）根据共轭复数的概念列方程求解即可. 【详解】（1），，解得. ，. （2）与是共轭复数，，解得. 20．（本小题7分）一个正五棱锥的5个侧面全等，每个侧面三角形的底为，高为. (1)求一个侧面的面积； (2)求该棱锥的侧面积. 【答案】(1) (2) 【分析】根据棱锥的侧面积公式即可得解. 【详解】（1）一个正五棱锥的5个侧面全等，每个侧面三角形的底为，高为， 所以一个侧面的面积为. （2）正五棱锥的一个侧面的面积为， 所以该棱锥的侧面积为. 21．（本小题8分）已知函数，若对于等差数列，有.求： (1)实数的值； (2)数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质求解； （2）根据等差数列的通项公式及求和公式求解. 【详解】（1）， ， ， 因为数列为等差数列， 所以，即， 解得. （2）因为， 所以等差数列的公差， ， 因此，数列的前项和. 22．（本小题8分）已知函数的部分图像如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图像以及正弦型函数的最值、周期求解即可. （2）根据（1）以及，求出角，再根据正弦、余弦定理求解即可. 【详解】（1）由图像可知，， ，即，所以， 所以， 代入点得，即， 所以，，即，， 又，所以， 所以； （2）因为，所以，即， 可得或，， 即或，， 又，所以， 因为，由正弦定理得， 即，又，由余弦定理得， 整理得，解得. 23．（本小题8分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3200元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时（租金增减为50元的整数倍），未租出的车将会增加一辆．租出的车辆每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ (2)设租金为元/辆，用表示租赁公司的月收益（单位：元）． 【答案】(1)92辆 (2) 【分析】（1）根据题意得月租金增加和未租出车辆的关系求解. （2）根据题意列出解析式即可. 【详解】（1）由题意可得，月租金增加（元）； 所以未租出车辆为辆； 因此当每辆车月租金定为3600元时，能租出辆车． （2）； 整理得：． 24．（本小题9分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为3，且与直线相切． (1)求圆C的方程； (2)设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA、PB，切点为A、B．求证：经过A、P、C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，， 【分析】（）因为圆心在轴正半轴上,故设圆心为,,且半径为,又与直线相切,故圆心到直线的距离等于半径,从而求出圆的方程. （）设的坐标，根据切线性质，可得经过、、的三点的圆，即以为直径的圆，求得圆得方程，运用曲线系恒过定点得方法整理，解方程可得到所有定点. 【详解】（1）圆的圆心在轴正半轴上，半径为, 设圆的方程为，又圆与直线相切， ，得或（不符合题意舍去）， 圆的方程为； （2）是直线上的点，可设， 过点作圆C的切线、，切点为、，， 过、、三点的圆就是以为直径的圆， 又，则圆心为，半径为， 圆的方程为， ，化为， 令，解得或， 定点为，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $