数学全真模拟卷（4）-2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试(原卷版+解析版)

2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（4） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．方程有唯一实根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．一条双曲线的顶点为，一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙三位同学去养老院进行志愿服务，结束后三位同学与王奶奶站成一排合影，若甲同学与王奶奶站在一起，则不同的站法种数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．某广告公司要为客户设计一块周长为8米的矩形广告牌，则广告牌的最大面积为 . 8．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度I为 . 9．若，且，则，，的大小关系为 . 10．若双曲线的离心率为，则 . 11．设直线与直线，分别交于点，，且线段的中点坐标为，则的斜率为 . 12．已知等比数列满足，则数列的公比 . 13．若函数，则__________. 14．学校举办一项活动，某班需要从4名男生、3名女生中随机选出3人参加，则选出的同学中至少有2名女生的概率是_________. 15．抛物线的焦点为，则其标准方程为 ________. 16．已知是奇函数，且，若，则__________． 17．已知三棱柱的三视图如图所示，若其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的体积是__________. 18．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）已知实系数一元二次方程的一个根为，且首项系数为2. (1)写出另一个根； (2)求该方程. 20．（本小题7分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图完全一样. (1)求该几何体的侧面面积（结果保留）； (2)求该几何体的体积（结果保留）. 21．（本小题8分）历史上伟大的数学家之一朱世杰曾著《四元玉鉴》，其“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.其大意为“官府陆续派人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.” (1)设每天派出的人数组成数列，求该数列的通项公式； (2)求该问题中的人全部派遣到位共需要的天数. 22．（本小题8分）在中，设角A，B，C对应的边为a，b，c，且，，，求： (1)sinC的值； (2)的面积. 23．（本小题8分）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，． (1)求证：函数恒有成立； (2)求当时，的解析式； (3)计算的值． 24．（本小题9分）已知抛物线上的一点到准线的距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)若过该抛物线焦点的一条直线交抛物线于两点，设线段与的长分别是，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学 全真模拟卷（4） 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】由题意，. 故选：D. 2．方程有唯一实根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程配方，求出方程有唯一的实根，结合题意即可选出正确答案. 【详解】方程，配方得， 方程有唯一实根， 所以， 得， 故选：D 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．一条双曲线的顶点为，一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用渐近线，求出，再算即可求出离心率. 【详解】顶点，所以，焦点在轴，渐近线为. 已知渐近线为，，. ， 所以离心率. 故选：C 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将不等式的左边配方，根据任意实数的平方为非负数可得结果. 【详解】不等式可化为， 对任意实数，都有， 所以的解集为. 故选：A 6．甲、乙、丙三位同学去养老院进行志愿服务，结束后三位同学与王奶奶站成一排合影，若甲同学与王奶奶站在一起，则不同的站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合排列的应用即可得解. 【详解】将甲同学与王奶奶作为一个整体，与其他两位同学排列，排列数是， 再将甲同学与王奶奶排列，排列数是， 所以不同的站法种数为， 故选：. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．某广告公司要为客户设计一块周长为8米的矩形广告牌，则广告牌的最大面积为 . 【答案】4平方米 【分析】先根据条件建立面积的函数关系式，再根据二次函数的性质求出面积的最大值. 【详解】设矩形广告牌的长为米， 因为矩形周长为米，所以宽为米， 由且，得， 广告牌面积， 所以当时，有最大值，最大值为（平方米）. 8．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度I为 . 【答案】 【分析】将代入函数解析式中即可得解. 【详解】电流强度随时间变化的关系式是， 当时，. 9．若，且，则，，的大小关系为 . 【答案】 【分析】根据题意将化为对数的形式，利用对数函数的性质与换底公式即可得解. 【详解】因为，则， ，， ， 因为函数，底数，所以均在为增函数， 则，， ， 又因为， 因为，所以，，即， 所以，即，故， 综上所述，. 10．若双曲线的离心率为，则 . 【答案】3 【分析】根据题意结合离心率公式求出值，代入即可得解. 【详解】双曲线，则， 因为离心率为，则，解得， ，解得. 11．设直线与直线，分别交于点，，且线段的中点坐标为，则的斜率为 . 【答案】 【分析】根据题意设出的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，代入两点间斜率公式即可得解. 【详解】直线与直线，分别交于点，， 设， 因为线段的中点坐标为， 则，解得， 所以， 则直线的斜率为. 12．已知等比数列满足，则数列的公比 . 【答案】3 【分析】根据等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】已知等比数列，公比为， 则，可得， 可得. 13．若函数，则__________. 【答案】3 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数， 所以，， 故答案为：. 14．学校举办一项活动，某班需要从4名男生、3名女生中随机选出3人参加，则选出的同学中至少有2名女生的概率是_________. 【答案】 【分析】利用组合数公式及古典概型的概率公式计算即可. 【详解】从名男生和名女生共人中随机选出人，总情况数为， 至少有名女生包含两种情况：名女生名男生和名女生， 名女生名男生的情况数为， 选名女生的情况数为， 所以至少有名女生的总情况数为， 则选出的同学中至少有名女生的概率为. 故答案为：. 15．抛物线的焦点为，则其标准方程为 ________. 【答案】 【分析】焦点在轴正半轴的抛物线标准形式，焦点坐标，求出代入即可. 【详解】由，得，，抛物线方程. 故答案为： 16．已知是奇函数，且，若，则__________． 【答案】11 【分析】利用奇函数的定义求得，进而可得的值. 【详解】已知，可得， 因为，所以，可得， 因为是奇函数，所以， 由，可得，解得， 所以. 故答案为：11. 17．已知三棱柱的三视图如图所示，若其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的体积是__________. 【答案】 【分析】由三视图得出该三棱柱为正三棱柱，再由面积公式计算即可. 【详解】如图，由三视图可知，该三棱柱为正三棱柱， 该正三棱柱的高为1，底面正三角形的高为， 所以底面正三角形的边长为， 所以该三棱柱的体积. 故答案为：. 18．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 若函数有意义，则，解得， 所以定义域为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共6题，满分46分） 19．（本小题6分）已知实系数一元二次方程的一个根为，且首项系数为2. (1)写出另一个根； (2)求该方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实系数一元二次方程的虚根为共轭复数这一性质求解即可. （2）利用韦达定理来求解方程即可. 【详解】（1）已知方程的一个根为， 所以它的共轭复数就是方程的另一个根. （2）由已知设该方程为， 两根分别为，， 则有， 由，，可得，解得， 再由， 可得，，可得，解得， 所以该一元二次方程为. 20．（本小题7分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图完全一样. (1)求该几何体的侧面面积（结果保留）； (2)求该几何体的体积（结果保留）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由该几何体的三视图判断得几何体为圆柱体，再利用圆柱的侧面积公式即可得解； （2）结合（1）中结论，利用圆柱的体积公式即可得解. 【详解】（1）由三视图知该几何体是底面直径为6，高为8的圆柱体， 所以该几何体的侧面积为. （2）该几何体的体积为. 21．（本小题8分）历史上伟大的数学家之一朱世杰曾著《四元玉鉴》，其“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.其大意为“官府陆续派人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.” (1)设每天派出的人数组成数列，求该数列的通项公式； (2)求该问题中的人全部派遣到位共需要的天数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求值即可. （2）根据等差数列的前项和公式列方程求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 数列是首项为的等差数列， ∴. （2）设需要天才能派出人， 则， 即， 解得或（舍去） 所以人全部派遣到位共需要天. 22．（本小题8分）在中，设角A，B，C对应的边为a，b，c，且，，，求： (1)sinC的值； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式与和差公式即可得解； （2）利用正弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1），， ， 又， 则 . （2）因为，，， 由正弦定理得， 所以. 23．（本小题8分）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，． (1)求证：函数恒有成立； (2)求当时，的解析式； (3)计算的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)0 【分析】(1)通过奇函数的定义即可求解； (2)由奇函数的性质即可求出当，的解析式； (3)由函数的周期性即可求解. 【详解】（1）， ； 即； （2）当时，， 是定义在上的奇函数， 时，， 时，， ，； （3），，， 是周期为4的周期函数， 即． 24．（本小题9分）已知抛物线上的一点到准线的距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)若过该抛物线焦点的一条直线交抛物线于两点，设线段与的长分别是，求的值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（）根据题意结合抛物线的定义即可得解. （）根据抛物线方程求出焦点坐标及准线方程，设出直线方程，联立方程组即可得解. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 由抛物线上点到准线的距离为1，结合抛物线的定义得， 解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）得，抛物线的焦点为，准线方程为， 显然直线的斜率存在，设为，则直线的方程为， 设， 联立消去得， 显然， 则，而， 因此. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $