例谈高中物理几个重要结论的微积分解释-2027届高考物理一轮复习

例谈高中物理几个重要结论的微积分解释 大多数物理规律的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程。而“应用数学知识解决物理问题”是要求高中学生所具备的能力，也是高考中所要求的“五种能力”之中很重要的一种。在现行的普通高中数学课程中，有关于对函数求导和微积分知识的学习和应用，这在一定程度上拓展了学生的能力，实际上也是新课改为理科中的一些难点解释而开设的章节。 我们力争使重要规律或结论“有理有据”，下面对高中物理中的七个典型难点问题利用高中数学的微积分知识来给出解释： 一．航天器变轨过程中机械能变化问题： 一质量为m的航天器在距离地心r1的圆轨道上做匀速圆周运动，收到地面控制台变轨信号后，逐渐开始变轨，最后稳定在距离地心r2的圆轨道上做匀速圆周运动，已知地球质量为M，万有引力常量为G，变轨后势能增加量为： 根据万有引力提供向心力，有关系： 所以轨道半径为r的航天器的动能 容易得到变轨后动能减少量为： 对比易得： 机械能变化量 即：航天器由低轨道变轨为高轨道环绕地球运动时，势能增加量是动能减少量的2倍，总机械能增加。 二．正弦式交变电流表达式的微分推导： 中学阶段我们研究的是正弦式交变电流，基本模型是一个由若干匝金属线圈绕制而成的线框处于某匀强磁场中，在线框绕中心轴转动过程中切割磁感线而产生感应电动势，进而产生交变电流。我们从磁通量开始研究，依据法拉第电磁感应定律推导：设线框通过中性面开始计时，则磁通量表达式为。 由法拉第电磁感应定律(即对φ求导)：感应电动势大小为，如果线圈有N匝，相当于有N节小电池串联在一起，每节电动势为e，所以该交变电流电动势为 。 三．转动金属棒电磁感应问题： 长为l的金属棒在磁感应强度为B的匀强磁场中垂直磁感线方向转动，角速度为ω，则该金属棒产生的感应电动势为： 若围绕棒所在直线上的任一点转动，由以上积分式容易看出结果相同。 四．弹簧弹性势能问题： 设弹簧劲度系数为k，伸长量由x1增加为x2,则根据弹性势能增加量等于克服弹簧弹力做功，得： 又因为： 故弹簧弹性势能表达式为 反之，如果缩短，亦可证明其表达式，只是要注意式中两个x都是矢量，在此不再赘述。 五．动能及动能定理的积分解释 一个质量为m的物体受力而运动加快，我们探究其所受合力做功问题： 求其定积分： 这就是动能定理，我们很自然地看出：表示物体因运动而具有的能量的物理量--动能的表达式为。 六．简谐运动中的微分理解： 例如：某简谐运动位移表达式为，其规律符合正弦函数规律，其速度即对位移求导，速度，易见速度变化情况符合余弦函数规律。 七．速度位移公式 位移、速度、加速度、时间是运动学中的四个关键物理量，在匀变速直线运动中，它们的关系其实用微积分表达最准确，也便于学生真正对这几个物理量的深层次理解。 1.积分应用：在匀速直线运动中，我们熟知位移x=vt,但对于匀变速直线运动，速度v是变量，所以以上公式不适用，我们可以通过数学上所学定积分形式来计算， 2.微分应用：位移、速度、加速度、时间分别用x、v、a、t来表示，则可以写成： 即速度、加速度分别是位移、速度对时间的导数， 简记为 x’=v v’=a 利用中学数学的微积分知识不难证明此关系式： 在物理教学中，教师可以大胆尝试，创新教法，利用简单微积分知识解释和解决一些物理学问题，既锻炼了学生的思维能力，又可以使一些复杂问题变成可推导可理解的知识内容。在航天器变轨过程中机械能变化问题解决后，就把原来的定性分析、背诵结论转变为定量分析、理解性应用。在本文探讨弹簧弹性势能 表达式后，也就不让学生再进行定性认识模糊记忆了，从实践效果看让学生定量记忆比定性记忆更简洁，而且方便于选择题中的选项分析。这样我们利用初步微积分实现了物理规律或重要结论的整合，使之成为一个系统，对于学生理解物理公式以及认识自然规律非常有利，而且还开阔了学生的视野，拓展了学生的逻辑推理能力。 学科网（北京）股份有限公司 $