专题2 不等式（讲义）-2027版江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题2 不等式 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 基本不等式 指数不等式 2026-10 2026-16（2） 单选 解答 8 基本不等式 对数不等式 2025-10 2025-16（2） 单选 解答 8 基本不等式 指数不等式 2024-10 2024-16（2） 单选 解答 8 基本不等式 对数不等式 一元二次不等式 2023-10 2023-16 单选 解答 12 指数不等式 2022-16（2） 解答 4 命题轨迹透视： 不等式连续五年在江苏省考试中考查1-2题，为每年必考题目。主要考查基本不等式第10题，考查4分。指数不等式或者对数不等式，主要在解答题16题的第二问考查，并且每年的题序固定，分值4分。 【考点1：不等式】 1.（2026江苏省职教高考数学真题）若实数满足，其中，，则的最小值是（　　） A. B. 4 C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先化简指数等式，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，可得. 令，， 代入得 ，整理得， ∴. 当且仅当时，即时取等号， 因此的最小值是. 故选：C. 2.（25-26高三下·江苏盐城·三模）若，，，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合基本不等式求最值，即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值为4. 故选：C. 3．（25-26高三下·江苏·三模）已知指数函数在区间上的最大值与最小值的和为6. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合指数函数的单调性列出方程即可得解. （）根据题意结合对数函数的单调性列出不等式组即可得解. 【详解】（1）指数函数在区间上为单调函数， 且在区间上的最大值与最小值的和为6， 则，解得或， 又因为且，所以. （2）由（1）知，不等式， 函数的底数，则函数在上为增函数， 所以，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 4.（2024江苏省职教高考数学真题）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的最大值是（ ） A. 9 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到，由此得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因不等式恒成立，只需， ，因此，故实数的最大值为. 故选：C. 5.（2025江苏省职教高考数学真题）已知直线经过点． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入直线方程求实数的值； （2）利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【小问1详解】 因为直线经过点， 将点代入直线方程中， 可得，即， 解得． 【小问2详解】 由（1）知， 则可化为． 因为对数函数在上单调递增， 当时， 有，解得． 综上可知，不等式的解集为． （一）两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 （二）不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔ b<a　 ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒ a>c　 ⇒ 可加性 a>b⇔ a＋c>b＋c　 ⇔ 可乘性 a>b,c>0⇒ ac>b c 注意c 的符号 a>b,c<0⇒ ac<b c 同向可加性 a>b,c>d⇒ a＋c>b＋d　 ⇒ 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ ac>b d　 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒ an>bn　 (n∈N，n≥1) a，b同 为正数 可开方性 a>b>0⇒> (n∈N，n≥2) a，b同为正数 （三）一元二次不等式 (1) 一元二次不等式的解法 1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 大于　零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． 2．计算相应的 判别式　. 3．当 Δ≥0　时，求出相应的一元二次方程的根． 4．利用二次函数的图象与x轴的 交点　确定一元二次不等式的解集． (2) 三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有 两相异　实 根x1，x2 (x1<x2) 有 两相等　 实根x1＝x2 ＝－ 没有　 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或　 x<x1}　 {x|x∈R　 且x≠x1}　 R　 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|　 x1<x<x2}　 ∅　 ∅　 （四）绝对值不等式 |ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. （五）分式不等式 分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ （6） 基本不等式 则 1．不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 2．若圆关于直线（，）对称，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，当时，y取得最小值b，则等于（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 4．若，且，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最小值64 5．若两个正数，满足，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．4 6．已知样本数据的平均数是4，且，则有（    ） A．最大值4 B．最大值3 C．最小值4 D．最小值3 7．若实数满足，其中，，则的最小值是（　　） A． B．4 C． D．16 8．已知对一切实数恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．若函数的定义域为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 10．对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A． B． C． D． 11．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 13．绝对值不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 14．已知的解集是，则实数a，b的值是（   ） A． B． C． D． 15．若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知一元二次不等式的解集为，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 17．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 18．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 19．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 20．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 21．已知，则的范围是（   ） A． B． C． D． 22．若，，，则的最小值为（   ） A．9 B．6 C．8 D．4 23．若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．已知实数a满足不等式． (1)求实数a的取值范围； (2)若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围． 25．已知关于的不等式对于恒成立. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 26．设实数a满足不等式．求： (1)实数a的取值范围； (2)函数的定义域． 答案解析 1．C 【分析】利用含有绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】，即或，解得：或， 所以不等式的解集是或； 故选：C. 2．D 【分析】根据对称性以及基本不等式求解即可. 【详解】 圆配方得，所以可得圆心为. 因为圆关于直线对称，则在直线上，代入得，整理得. 则， 当且仅当时等号成立， 因此的最小值为. 故选：D. 3．B 【分析】先将函数变形为，再利用均值不等式求解即可. 【详解】， 因为，所以， 所以由均值不等式得， 当且仅当，即， 所以，即取等号， 所以，故. 故选：B. 4．D 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意，， 由基本不等式： 当且仅当 ，即时取等号. 故有最小值 64，无最大值. 故选：D. 5．D 【分析】根据基本不等式的解法即可求解. 【详解】因为，则等价于, 所以, 因为，所以的最小值是. 故选：D. 6．A 【分析】先根据平均数求出的值，再利用基本不等式求出的最大值，最后结合对数运算性质及对数函数的单调性得出的最大值. 【详解】已知样本数据，，，，的平均数是， 可得：，化简得：， 因为，，所以， 可得：，当且仅当时，等号成立， 因为函数在上单调递增， 所以， 即有最大值. 故选：A. 7．C 【分析】先化简指数等式，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，可得. 令，， 代入得，整理得， ∴. 当且仅当时，即时取等号， 因此的最小值是. 故选：C. 8．D 【分析】对分和两种情况讨论即可求得答案. 当时，，成立. 当时，需满足， 所以. 综上，. 故选：D. 9．D 【分析】根据对数函数的真数，对任意恒成立的条件，分情况讨论即可. 【详解】由题意得对任意恒成立． 当时，恒成立，满足题意． 当时，由得． 综上的取值范围为． 故选：D 10．C 【分析】根据运算法则得到恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案. 由已知得对任意实数恒成立， 所以，解得. 故选：C. 11．D 【分析】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围. 当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 12．C 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】， 所以不等式的解集是. 故选：C. 13．D 【分析】分类讨论去绝对值，建立不等式组，进而求解参数即可. 由题意得或， 解得或，故的解集是. 故选：D 14．D 【分析】解不等式，求出不等式的解集，根据对应关系得到关于，的方程组，解出即可． 【详解】， ， 又不等式的解集是， 则，解得：， 故选：D． 15．D 【分析】不等式转化为对任意实数x均成立，当时，显然成立；当时，根据一元二次不等式、二次函数和一元二次方程间的关系，可得且，解不等式可求解. 【详解】由题可知，不等式对任意实数x均成立， ①当，即时，不等式的左边恒成立； ②当，即时，则， 即，解得. 综上所述，实数m的取值范围是. 故选：D 16．C 【分析】根据一元二次方程与一元二次不等式之间的关系求解即可. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 则方程的解为. 故选：C. 17．C 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 原不等式可化为，而，故， 图象开口向下， 故原不等式的解集为 故选：C 18．C 【分析】根据不等式的解集解出之间的关系，进而化简不等式，从而求出它的解集. 由题意知，是一元二次方程的两个实数根，且， 所以，解得， 所以， 所以不等式的解集为：， 故选：C. 19．B 【分析】先化简分式不等式的，再根据一元二次不等式的基本解法求解. 【详解】不等式可化为， 即，不等式等价于， 解得或，即解集为， 故选：B. 20．D 【分析】解分式不等式即可. 由可得且， 解得或， 即不等式的解集为或. 故选：D. 21．C 【分析】利用不等式的基本性质，先求得的取值范围，再结合的范围及的条件求出的取值范围. 【详解】由已知，根据不等式的基本性质可得. 已知，所以. 又，所以，化简得. 因为，所以的取值范围为. 故选：C. 22．A 【分析】根据题意结合基本不等式公式即可得解. 【详解】由得， 则， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 23．A 【分析】由题意得出恒成立，根据基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则对于任意的，恒成立， 即， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故选：A. 24．(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的单调性求解； （2）根据指数函数的单调性及二次不等式恒成立的解法求解. 【详解】（1）已知指数函数在上是单调递减函数， 已知，可得， 则，解得， 即实数a的取值范围为. （2）由（1）可知，所以， 那么指数函数在上是单调递增函数， 因为不等式对任意恒成立， 可得对任意恒成立，即对任意恒成立， 所以，即， 可得，解得， 即实数m的取值范围为. 25．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立的解法求解； （2）根据对数函数的单调性求解. 【详解】（1）由题意得，， 即，则， 所以. （2）不等式可化为：， 所以：， 所以不等式的解集为. 26．(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式可求解； （2）由偶次根式的被开方数为非负数，列出不等式，再根据对数函数的性质转化为不等式组可求解. 【详解】（1）由已知可得：， 所以，即，解得， ∴所求的取值范围为； （2）要使函数有意义，则满足，即. 因为，所以， 解得，所以或， 故不等式的解集为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $