四 节能减排——用字母表示数和数量关系 第7周（拔尖学案）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年五年级上册数学（青岛版·新教材）

第7周 教材思考题 运用抓不变量法解决盈亏问题 P典例精析 举一反三 (教材母题)《九章算术》中有这样一道 1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著， 题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不 成书于公元一世纪左右。此专著中有这 样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十 足四。问人数、物价各几何？”意思是几个人 五；人出七，不足三。问人数、羊价几何？ 合买一个物品，每人出8元，就多3元；每人 这道题的意思是今有若干人共买一头羊。 出7元，就少4元。有多少人一起买？物品 若每人出5文钱，则还差45文钱；若每人 的价格是多少？你会解决这个问题吗？ 出7文钱，则仍然还差3文钱。求买羊的 [解析]本题中，物品的价格是不变的，根据 人数和这头羊的价格。 题意可以找出题目中的等量关系是8×买物 品的人数一3=7×买物品的人数十4。买物 品的人数可以用任意一个字母表示，然后根 据等量关系运用等式的基本性质求出人数； 最后根据人数求出物品的价格。 [答案]用x表示买物品的人数。 8.x-3=7x+4 2.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载 8x-3-7x=7x+4-7x 了“绳索量竿”问题：一条竿子一条索，索 x-3=4 比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿 x-3+3=4+3 子短一托。问索和竿子各几何？译文：现 有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳 x=7 索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去 8x-3=8×7-3=53 量竿，就比竿短5尺。绳索和竿分别长 答：有7人一起买，物品的价格是53元。 几尺？ 点评：生活中经常会有把一些物品平均分成一定 的份数，不能正好分完的情况。如果物品有剩 余，就叫作盈；如果物品不够分，就叫作亏。数学 上把研究盈和亏算法的应用题叫作盈亏问题。 用等式的基本性质解答盈亏问题的关键是抓住 题中的不变量，确定等量关系。 13 综合拓展题 运用等式的基本性质解决同样多问题 。典例精析 举一反三 讲台上的粉笔盒里有同样数量的白色 1.小白兔和小灰兔种了相同数量的白菜，它 粉笔和彩色粉笔，每次奇奇从中取出4支白 们相约同一天开始收白菜，小白兔每天收 色粉笔时，乐乐从中取出7支彩色粉笔。当 8棵白菜，小灰兔每天收12棵白菜，当小 粉笔盒里没有彩色粉笔时，白色粉笔还有 灰兔种的白菜收完时，小白兔还剩40棵 白菜没收。小灰兔收了几天？它们分别 15支，奇奇一共取了几次粉笔？粉笔盒里 种了多少棵白菜？ 白色粉笔和彩色粉笔原来各有多少支？ [解析]由题意知，白色粉笔和彩色粉笔原 来的支数是相等的，根据这一信息，找出题 目中的等量关系，即7×取的次数=4×取的 次数十15。可以用x表示他们取的次数，已 知每次彩色粉笔被取走7支，正好取完，则 2.妈妈买来两袋面粉，第一袋重20千克，如 彩色粉笔原来有7x支；白色粉笔被取了 果从第一袋取出2.5千克放人第二袋，那 4x支，还剩下15支，则白色粉笔原来有 么两袋面粉同样重。第二袋面粉原来重 (4x十15)支，列出含有字母的等式为7x= 多少千克？ 4x十15，然后运用等式的基本性质求得 答案。 [答案]用x表示取的次数。 7x=4x+15 7x-4x=4x+15-4x 3.x=15 3.学校美术小组的学生数量是书法小组的 3x÷3=15÷3 3倍。如果从美术小组调8名学生到书 x=5 法小组，那么两个小组的学生数量相同。 美术小组和书法小组原来各有多少名 7x=7X5=35 学生？ 答：奇奇一共取了5次粉笔，粉笔盒里白色 粉笔和彩色粉笔原来各有35支。 点评：解决“同样多”的问题时，要先抓住“同样 多”找等量关系，一般要结合其中一个或两个数 量的变化情况，找准合适的等量关系，列出等式， 运用等式的基本性质解答。 14(2)0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999=(1 0.1)+(1-0.01)+(1-0.001)+(1-0.0001)+ (1-0.00001)=5-(0.1+0.01+0.001+ 0.0001+0.00001)=5-0.11111=4.88889 2.(36.4+36.6+36.8+·+38.4)-(36.5+ 36.7+36.9+…+38.3)=36.4+36.6+ 36.8++38.4-36.5-36.7-36.9-…-38.3= 36.4+(36.6-36.5)+(36.8-36.7)+…+(38.4 38.3)=36.4+0.1×10=36.4+1=37.4 四节能减排一) 用字母表示 数和数量关系 第6周 教材思考题运用推理法和归纳法解决 用字母表示规律问题 1.规律：第一行的数是连续的自然数，第二行的数 是第一行对应的数的4倍，第三行的数比第一行对 应的数的平方少14nn2-1 2.(1)2m-1 (2)202-192+182-17+162-152+…+22 1=20+19+18+17+16+15+14+13+12+ 11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=(20+ 1)×10=21×10=210 思维创新题运用代入法或替换法求含有 字母的式子的值 1.当x=5时，y=5.x=5×5=25m=2y=2× 25=50把x=5,y=25,m=50代入式子4x+ 6y+8m中，4x+6y+8m=4×5+6×25+8× 50=570 答：4x十6y十8的值是570。 2.当a=8时，b=20a=20×8=160c=10b= 10×160=1600把a=8,b=160,c=1600代入 式子4c+4b+10a中，4c+4b+10a=4×1600+ 4×160+10×8=7120 答：4c+4b+10a的值是7120。 3.当A=2时，B=10A=10×2=20C=20B= 20×20=400D=30C=30×400=12000把 A=2,B=20,C=400,D=12000代入式子D 4C-3B-2A中，D-4C-3B-2A=12000-4× 400-3×20-2×2=10336 答：D-4C-3B-2A的值是10336。 第7周 教材思考题运用抓不变量法解决盈亏问题 1.用x表示买羊的人数。 5x+45=7x+3 5.x+45-3=7x+3-3 5.x+42=7x 5.x+42-5x=7x-5x 42=2x 42÷2=2x÷2 x=21 5.x+45=5×21+45=150 答：买羊的有21人，羊的价格是150文。 2.用x表示竿长的尺数，则绳索长的尺数为(x十5)。 x-5=(x十5)÷2 2(x-5)=(x+5)÷2×2 2x-10=x+5 2x-x-10=x+5-x x-10=5 x-10+10=5+10 x=15 x+5=15+5=20 答：绳索长20尺，竿子长15尺。 综合拓展题运用等式的基本性质 解决同样多问题 1.用x表示小灰兔收的天数。 12.x=8x+40 12x-8.x=8.x+40-8.x 4x=40 4x÷4=40÷4 x=10 12.x=12×10=120 答：小灰兔收了10天，它们分别种了120棵白菜。 2.用x表示第二袋面粉原来重的千克数。 x+2.5=20-2.5 x+2.5=17.5 x+2.5-2.5=17.5-2.5 x=15 答：第二袋面粉原来重15千克 3.用x表示书法小组原来的人数，则美术小组原 来的人数是3x。 3x-8=x+8 3x-8-x=x十8-x 2.x-8=8 2x-8+8=8+8 2.x=16 2x÷2=16÷2 x=8 3.x=3×8=24 答：美术小组原来有24名学生，书法小组原来有 8名学生。 五 创意手工坊一三角形 第8周 教材思考题运用三角形三边的关系解决 求三边长问题 1.有5种不同的围法，三条边的长度分别是2dm、 7dm、7dm;3dm、6dm、7dm;4dm、5dm、7dm; 5dm、5dm、6dm;4dm、6dm、6dm 2.围成的三角形最多有20种，三条边的长度分别 是8cm、8cm、8cm;8cm、8cm、7cm;8cm、8cm、 6cm;8cm、8cm、5cm;8cm、8cm、4cm;8cm、 8cm、3cm;8cm、8cm、2cm;8cm、8cm、1cm; 8cm、7cm、7cm;8cm、7cm、6cm;8cm、7cm、 5cm;8cm、7cm、4cm;8cm、7cm、3cm;8cm 7cm、2cm;8cm、6cm、6cm;8cm、6cm、5cm; 8cm、6cm、4cm;8cm、6cm、3cm;8cm、5cm、 5cm;8cm、5cm、4cm。 解析最长的一条边长8cm,要使三根小棒能围成 三角形，依据三角形三边的关系可知，较短两边之 和要大于8cm,且较短两边的长度均小于8cm,写 出所有满足条件的三角形即可。 3.7个 解析三角形三条边的长度互不相等，可以设三角 形的三条边的长度为acm、bcm、ccm,且a<b< c。因为a+b十c=24,a+b>c,所以8<c<12。 又因为c是整数，所以c为9或10或11。当c=9 时，有1个三角形，三角形的三条边的长度为 9cm、8cm、7cm;当c=10时，有2个三角形，三角 形的三条边的长度为10cm、9cm、5cm;10cm、 8cm、6cm;当c=11时，有4个三角形，三角形的 三条边的长度为11cm、10cm、3cm;11cm、9cm、 4cm;11cm、8cm、5cm;11cm、7cm、6cm。所以 符合要求的三角形共有1十2十4=7（个）。 思维创新题根据三角形的外角与内角的 关系解决问题 1.∠3：180°-(90°-70)×2=140 ∠4：140°-80°=60 答：∠3的度数是140°，∠4的度数是60°。 2.∠FEB=∠DFB-∠B=85°-40°=45 ∠D=∠FEB-∠A=45°-25°=20° 答：∠D的度数是20°。 解析 ①∠DFB是三角形FEB的 一个外角，那么∠DFB= C D ∠FEB十∠B=85°，已知 85 ∠B=40°，则∠FEB= 25 B85°-40°=45°. 40 ②∠FEB是三角形AED的一个外角，那 么∠FEB=∠A+∠D,已知∠A=25°， 所以∠D=∠FEB-∠A=45°-25°=20°。 3.∠ADF=90°+60°=150° ∠FAD=(180°-150)÷2=15° 答：∠FAD的度数是15°. 解析分析题意，首先明确：正方形的四条边都相 等，四个角都是90°，等边三角形的三条边都相等， 三个角都是60°；根据∠ADF=∠ADC十∠CDF, 可求出∠ADF的度数，结合三角形ADF是等腰 三角形，根据等腰三角形的性质与三角形的内角 和，可知∠FAD=(180°一∠ADF)÷2,据此计算 即可。 六今天我当家一小数乘法 第9周 教材思考题有关“买几赠几”的实际问题 1.(1)9.9×2=19.8(元)19.8×6=118.8（元） 答：需要118.8元。 (2)5+1=6(瓶)30÷6=5（组） 5×5=25(瓶)9.9×25=247.5（元） 答：至少要带247.5元。 2.75÷(4+1)=15(组)15×4=60（盒） 5.8×60=348(元)答：需要付348元。 解析由题意可知，买4盒早餐饼赠1盒，将4十1=