各位评委老师、同学们，大家好。我是来自邯郸市第五中学的郭雄师。我今天汇报的题目是新定义压轴题的解题探究。以2026年新课标一卷第19题为例，第一题高考真题呈现。本题主要是定义了一个集合DX0D属于RFX0加D大于FX0。本题共有三个小题，其中第三小题又设置两个小问。第二部分我们来看试题解答。首先第一题，若当X大于等于零时，FX等于一减X求D负一。那么我们不难写出FX在定义域R上的解析式是一个分段函数。那么结合DX0的含义，那么求D负一本质上就是解F-1 1加D大于F负一这样的一个不等式。那么我们对负一加D进行分类讨论，不难求出D负一等于0到2分之3的开区间。我们也可以画出函数图像去检验我们的计算结果。同时画出函数图像也能够帮助我们更直观的认识DX0的含义。那么DX0当中的元素，它要满足的条件是就是X0加上这个变量D之后，它的函数值要能够增加。第二问，若FX是奇函数，FX1小于等于FX2，且X1乘X2不等于0，证明DX2含有DX1。那么由于FX是奇函数，我们又知道FX在负无穷到零上的解析式，我们也不难求出FX在整个定义域R上的解析式，并画出函数图像。那么为了书写的更清晰，我们可以先求出当X0小于0和大于零时DX0的1般表达式。我们先来看X0小于零时，我们结合DX0的定义以及此时FX函数值的大小关系，我们不难求出DX0等于0到负X0的开区间，也可以求出当X大于零时，DX0等于负无穷到负X0的左开右闭并零到正无穷的开区间。那么又因为FX1小于等于FX2，且X1X2相乘不等于0，我们可以分为以下三种情况。第一种，X1小于等于X2，小于0。第二种0小于X1小于等于X2。第三种X2小于0小于X1。这三种情况我们都可以求出DX1，以DX2的具体表达式，进而证明DX2与DX一的。包含关系。那么通过第二问的解答，我们对DX0就有了进一步的认识。接下来我们来看第三问，第三问新增了两个条件，第一个，若FX一都小于等于FX2则DX2含于DX1。第二个，当X大于零小于一时，FX小于F0。第一小问证明F0大于等于一。那么本题我们可以从问题进行分析，F0大于等于我们FX在零处是没有具体解析式的，所以我们没有办法求出F0的值。所以我们考虑使用反证法证明F0大于等于一。所以我们先假设F0小于1，那么相当于我们有了F0小于这样的一个条件。那么我们再来结合条件一，条件一给出的是两个函数值的大小关系，就能得到DX的。包含关系。我们现在。又有F0小于这个条件，所以我们要去构造一个关于F0的不等式，进而调用条件导出矛盾，从而证明结论。不难发现这里面最关键的一步就是构造关于F0的不等式。所以我们重点来分析这一步。我们发现条件二当中其实就有关于F0的不等式。所以我们可能容易想到取X0属于0到1，那么我们就得到了FX0是小于F0的，进而D0含于DX0。这时候我们可以去分析一下D0当中的元素，我们再回忆DX0的含义。DX0包含的元素，它的含义也就是元素D在X0加上D之后，它的函数值要增加，这里面关键的条件就是要函数值要增加。所以我们要想分析D0当中的元素，我们首先要找到比F0还要大的函数值。那么反证法，我们第一步其实已经假设了F0是小于一的，那么我们在负无穷到零上就能找到这样的一个变量T使得F0小于FT进而T是属于D0。这样我们就找到了D0当中的一个元素T如果我们这个时候能够证明T不属于DX0，这样就能够导出矛盾。但是在这个时候。我们就又发现了一个问题，X0是属于零到正无穷这个区间，而FX在零到正无穷我们没有解析式，也不知道它的单调性。所以我们现在没有办法去直接判断T是否属于DX0，这样就我们这个思路就没有办法继续往下进行，所以我们要改变思路。这个时候我们就把目标定在了负无穷到零上。我们要在负无穷到零上找变量，使得这个存在X0属于负无穷到0，使得FX0大于F0。因为XFX0的值可以无限趋近于一，而F0是小于一的，那么进而DX0含为D0。那么还是按照思路一当中的方法，我们现在要分析DX0当中的元素D我们希望这个D不属于D0，这样就造成矛盾了。我们要找DX0当中的元素，就是要找大于FX0的函数值。这个并不难找，我们可以取二分之X0，结合负无穷到0上的单调性，我们知道二分之X0处的函数值要大于X0处的函数值。进而我们就可以令D等于二分之X0减X0等于负二分之X0，它是属于DX0的。我们这个时候希望这个负二分之X0它不属于D0。也就是说零加上这个负二分之X0之后，它的函数值不能增加，或者说最好是能小于F0。那我们结合条件22来看，如果这个-2分之2X0能够落到0到1这个区间内，那么它的函数值就是小于F0的，就能实现我们的目标。所以这个时候我们可以对X0的范围进一步的进行优化，让X0属于-1到0，这样负二分之X0是属于0到2分之1的。结合条件2，我们就能证明负二分之X0不属于D0，即可导出矛盾。那么思路二它的合理性还在于哪儿呢？就是因为思路二它充分的利用FX在负无穷到0上的单调性。那么这样的一个思路对于我们解决第三题第二小问的时候也是非常有帮助的，这个是第一小问的解答过程。接下来我们看第二小问证明在零到正无穷上单调递增。我们可以看到第三小问新给的条件，第一个条件与第二小问证明的结论其实是类似的。所以我们可以去猜想F第二小问当中说FX是个奇函数，这个函数可能是第三小问FX当中的一个特例。所以我们想到了由特殊到一般的这种思想，我们可以先去分析这个FX是奇函数时它有的一些性质，进而去归纳总结FX一般的性质。我们回忆一下第二问，我们在证明DX2含有DX1时，我们是能计算出DX1与DX2的具体表达式。是的，那么为什么可以呢？其实最主要的一个原因就是在于当FX是奇函数时，它的函数值的大小关系非常明确。就是X小于零时FX是正的，X大于零时函数值是负的。所以我们希望第三问是也有这样的效果，就是能够先去求得X是负值，X小于0和X大于零时FX的大小关系，进一步去研究函数FX的性质。那么我们进一步分析，当X小于零的时候，函数的值域是0到1，所以我们希望答案X大于零时，FX要么是小于等于0，要么是大于等于一。那么还是第二问的这个特例给我们提示，我们可以大胆的猜想，当X大于零时，我们猜想FX是小于等于零的那这个就是一个从一般到特殊的这样的一个猜想，从特殊到一般的这样的一个猜想过程。这个猜想我们需要严格的证明，类似于第一问FX没有具体的解析式，而且这是一个全称量词命题，我们直接证明难度较大，所以我们采用反证法来证明。这样的话，第二小问我们的第一步，也是最关键的一步，我们就是要用反证法去证明当X大于零时，FX是小于等于零的。好，那么第一步我们的思维导图如下，有这样三个思路。第一个思路分三步，第一步证明任意的X属于零到正无穷，FX不属于0到1。第二步是对，证明任意的X属于0到1，FX小于等于0。第三步证明任意的X属于一到正无穷，FX小于等于0。这样取并集即可证明X大于零时，FX小于等于零的。那么思路二是思路一是一个基础的思路，也是我最先想到的方法。思路二是在思路一的基础上进行了精简优化，把第一步融合到了第二步和第三步当中，思路二一共就两步。那么思路三是在思路二的基础上进行了一般化的处理，抽象出这样的一个引领。然后继续证明下后面的两步。接下来我们来重点看一下思路一。思路一第一步证明任意X属于零到正无穷，FX不属于0到1。那我们假设用反证法，假设存在T使得FT属于0到1，那么在负无穷到零上存在一个变量U使得FU等于FT这个时候我们就发现了这个0到1其实就是FX在负穷到0上的值域。我们之所以要这样划分，其实就是为了便于建立T与负无穷到零的这样的一个关联。我们进而就可以构造两个变量，X1X2，使得FX1小于FT小于FX2。那么进而由条件移植到DT还是DX1，还是按照前面的思路，我们希望在DT当中找到一个元素D证明这个D不属于DX1，从而导致矛盾。也就是要找出比FT大的函数值，不难发现FX2大于FT所以FT小于FT加X2减T也就是X2减T属于DT。好，那我们现在让X一加上这个变量X2减T发现X1加上X2减T之后，自变量变小。由于负无穷到0上的单调性，X1加X2减T的函数值也是小于X1处的函数值的。进而我们就得到X2减T是不属于DX1的，这样就导致矛盾。第二，这样就完成了第一步的分析。第二步证明任意的X属于0到1FX小于等于0。我们假设存在M属于0到1，使得FM大于等于一。这个是因为第一步我们已经证出了当X大于零时，FX是小于等于0或者是大于等于一的。所以我们这得到的是FM大于等于一。那么我们在负无穷到零上是存在这样变量X3，使得FX3小于FM进而DM含有DX3。不难发现FM小于F0，所以负M属于DM那么X3加上负M之后，自变量变小，函数值变小，所以负M不属于DX3。导出矛盾。第二步分析完成。第三步我们要证明任意的X属于一到正无穷，左闭右开区间FX小于等于0。同样反证法，假设存在N属于一到正无穷，使得FN大于等于一，那么在负穷到零上存在变量X4，使得FX4小于FN那么按照前面的思路，DN含义第四，那么这个时候我们又该去分析DN当中的元素，那也就是要找到比FN还要大的函数值。这个时候我们就发现比FN大的函数值我们是找不到的，因为FN与F0的大小位置，所以我们无法去寻找DN当中的元素。这样我们就发现这个思路走不通，需要改变思路。前两步不变，我们换一个方向。既然FX4小于FN那么所以FX4是小于FX4加N减X4的。这时候我们就令D等于N减X4，那也就是这个DN减X4是属于DX4的。而且我们不要忘了，现在我们有第二步的结论。我们知道X属于0到1时FX是小于等于零的。为了便于直观的利用这个条件，我们画出0到1时FX图像的示意图，因为这个地方我们是无法精确画出函数的图像，我们只知道它是小于等于0，但是对于它的单调性和连续性我们是不知道。所以这个地方仅仅是反映它的一个取值特征，不代表它的图像，不反映它的连续性和单调性。所以我们现在要充分利用0到1时FX小于等于零这个条件，我们用在图像当中用这样的一个有向线段表示这个N减X4。如果我们现在把这个有向线段左端点向左平移，使得它的终点落在0到1之间，比如说落在2分之1处，那么假设它它现在的起点对应的变量是X5，那我们发现FX5是小于FX4的，所以DX4等于DX5。而前面我们证明了N减X4属于DX4。如果我们现在再能说明N减X4不属于DX5，那么就会出现矛盾。好，结合图像来看，如果我们让X5加上N减X4，那么其实就是X5加上D得到的正好是2分之1。所以而2分之1处的函数值是小于等于零的。所以我们发现X5加上这个N减X4之后，它的函数值是减小的，所以它不N减X44是不属于DX5的。那么如何确定X5的值呢？还是结合图像我们来看，X5到2分之1的距离和X4到N的距离是一样的。所以我们构造变量让X5满足2分之1减，X5等于N减X4。那么这样就能确定X5的值，进而N减X4不属于DX5，从而导致矛盾。这样第三步的分析就完成了。根据三步的分析，我们可以写出解法一的解答过程。略显繁琐，所以我们对解法一进行了反思。这三个步骤，第一个步骤我们证明了X大于零时，FX小于等于0，或者FX大于等于一。而仔细分析发现证明了FX大于等于这个结论对于第二步和第三步来说并不是一个必要条件。所以在此基础上我们对思路一进行了优化。我们精简了第一步，融入到第二步和第三步当中，形成了思路2。下面我们来看思路2，第一步直接证明任意的X属于0到1，FX小于等于0，还是使用反证法，假设存在T使得FT大于0，那么负无穷到零上存在变量U使得FU小于FT那么DT还是DU还是先分析DT当中的元素，我们发现FT小于F0，所以负T属于DT而U加上负T自变量变小，FU减T也是小于FU的，所以负T不属于DU导出矛盾第一步分析完成看第二步，第二步证明任意的X属于一到正无穷，FX小于等于0。那么反证法，假设存在M使得FM大于0，这一步的证明思路和思路一的第三部分的证明思路是类似的。我们存在N属于负无穷到0，使得FN小于FM进而FN小于FN加M减NM减N属于DN还是按照这个思路，我们去构造一个变量S使得S等于S满足2分之1减S等于M减N这样我们就能证明出M减N不属于DS与DN含于DS矛盾。好，有了两步的分析，我们就可以写出解法二的解答过程，要相对于解法一要精简很多。好，我们接下来来看对解法二的反思。我们对解法二的第一步和第二步进行继续的推导。我们发现第一步和第二步它有一个相似的推导过程。我们把第一这个推导过程给它抽象出来，进行一般化就能得到一个引领。若FC小于FB小于FA则有FC小于FA减B加C那么如果我们在这个引力的基础上对ABC进行赋值，分别赋为0 tu以及mns，那我们就能导出FU小于FU减T进而与FX在负无穷到0上的单调性矛盾，也能导出FX小于FS加M减N也就是F2分之1，从而导出F2分之1大于0与F2分之1小于等于零矛盾。这样我们就能证明了后面这两步，当X属于0到1时FX小于等于，当X属于一到正无穷时，FX小于等于0，这样就形成了43。本质上与思路二是相同的，只是书写过程略有不同，这是解法三的解答过程。那么第二步，第一步我们完成了当X大于零时，FX小于等于零的证明。第二步我们就要证明FX在零到正无穷上单调递增。我们想到用定义法来证明这个单调性，那么我们任取X6X7属于零到正无穷，且X6小于X7。依然我们要从负无穷到零上寻找变量，任意一个X8属于负无穷到0，FX6都是小于FX8的。那么条件一，DX8含有DX6，也就是说如果一个D属于DX8，那么这个D同样属于DX6。按照定义来解释就是如果X8加上一个变量D它的函数值能够增加，那么X6加上一个相同的变量，它的函数值也能够增加。如果从图像的角度来说，如果X8向右平移一小一一一小段，使得终点落在X8右侧这个红色的区区间内的话，它的函数值是增加的。那么同样的道理，如果X6向右移动一小段，任意的一小段最终能够落在X6右侧的这个红色的区间内的话，那么它的函数值相较于X6的函数值也是增加的。我们现在想证明单调性，其实我们就是想证明FX7大于FX6即可。那这样我们就可以只要让X7落在X6右侧的这个红色的区间内，就可以实现我们的目标。那么这个红色的区间的范围应该是X6到X6减X8，所以我们只需要让X7大于X6，小于等于X6减X8即可。那么不妨我们直接令X7等于X6减X但是我们又知道。X. 6和X7是任取的，我们不能固定X7的值，但是X8没有要求。所以我们构造X8等于X6减X7，这样就能实现相同的效果，进而就可以证明出FX6小于FX7，这样就证明出了它的单调性，这是第二步单调性的证明过程。好，第三部分是试题的辨识与推广。辨识与推广我主要是根据函数FX在负无穷到0上的单调性与有界性，对原题进行了变数与推广。我们接下来来看第一个就是底数的一般化处，使得把函数解析式由二的X次方变为A的X次方，A是大于一的任意实数。便式二把函数的解析式进行了改变，使得FXX小于零时，FX解析式等于负X分之一，主要是改变了函数在负无穷到0上的有界限。变式三是摆脱了具体解析式的束缚，仅给了FX满足的三个条件，单调递增，趋近于负无穷的极限，VM趋近于0，负的极限为正无穷。变式四类似于变式二改变了X小于零时FX的解析式改变为X分之一。第三小问的第二小问调这个问题进行了一个改变。第四题是变式四的一个一般化。第四是试题评析。本题以新定义DX0为载体，整合了集合的概念、子集关系、分段函数、不等式、函数、奇偶性、单调性、反反正法等核心知识，设置了有梯度的三个设问，层层递进，重点考察了数学抽象和论逻辑推理的数学核心素养。第五，复习启示。结合该试题的考察特征，我认为其对日常课堂的教学和复习备考有两点启示，第一是强化语言转化的训练，就是要规范书面的推导步骤，锻炼学生的数学抽象素养。第二部分是故回归定义和逻辑链条，减少套路化题型的重复训练，引导学生从定义出发，训练否定结论、寻找反例、构造变量、调用条件、导出矛盾的完整推理链条。我的汇报完毕，谢谢倾听，恳请专家批评指正。