大家好，我是河北一线中学的张金红老师。今天我带来的是全国一卷解析几何大题第十八题的深度探究。标题是行道数降维思考几何言统帅运算。我将从以下四个方面对该题进行一个评析。一真题呈现，二试题解析，三试题研究，四教学启示。第二部分试题解析。我将试题第二问拆解成由面积的相等关系条件入手，分析点PQ的坐标关系。利用坐标关系求斜率，构造正切表达式求最值三部分给大家分析如何用几何眼分析图形，做到由行到数的降维思考，实现统计运算的目的。一真题呈现，二试题解析。第一问，根据椭圆的焦点离心率的定义，可以求出椭圆C的标准方程为四分之X方加三分之Y方等于一。第二问，第一小问，已知三角形PQR2的面积是三角形PFO的面积的三倍，求直线L的方程。我从四个不同角度入手分析如何借助于点PQ在过左焦点F的同一条直线上，以及椭圆上的点，关于原点对称这些几何特征，将二维平面里的面积关系三角形PQ2的面积等于三倍的三角形PFO的面积转化为一维的线段长度关系PF等于二倍的KOF。思路一观察到三角形PQR和三角形PFO有一个公共角角POPR等于角FPO因为点O是PR的中点，所以PR等于二倍的PO想的面积公式采用S等于2分之1AB sine c求解。三角形PQ2的面积等于2分之1PQ乘以P2乘以角KUPR的正弦值，三角形PFO的面积等于2分之1PF乘以PO乘以角FPO的正弦值。可以得到PQ等于2分之3倍的PF，所以PF等于二倍的FKU。因为PF等于二倍的FKU，所以PF向量等于二倍的FKU向量。利用向量运算求出点PKU的坐标关系式，Y1加2倍的X1加2倍X2等于-3，Y一等于负二倍的Y2。思路二，观察到三角形PQR和三角形PFO里边都在直线PQO上，O是线段P2的中点，可以得到三角形PQ2的高H一是三角形PFO的高H2的2倍，H一等于二倍的H2。面积用S等于2分之1AH求解，由三角形PQR的面积等于三角形PFO面积的三倍，三角形PQR的面积等于2分之1PQ乘以H1，三角形PFO的面积等于2分之1PF乘H2，可以得到PQ等于2分之3倍的PF，所以PF等于二倍的FQ。过点PQ分别作X轴的垂线，垂足为MN因为直角三角形PFM相似于直角三角形QFN所以PM等于二倍的QN所以Y一等于负二倍的Y2。前面两种方法都是直接从三角形PQR和3角形PFO的角与边的关系入手拆解转化得到的。我们还可以拓宽几何阳光，将三角形PQR的面积采用分割的方法求解，连接QO将三角形PQR分割成三角形PQO和3角形2QO2部分的和，得到三角形PQR的面积等于二倍的三角形PQO的面积，再将三角形PQO的面积分割为三角形PFO和3角形QFO2部分的和，得到三角形PQO的面积等于2分之3倍的三角形PFO的面积。所以三角形PFO的面积等于二倍的三角形QFO的面积。观察到三角形PFO和3角形QFO共底边OF，所以三角形的面积比即为高的比，所以Y一等于负二倍的Y2。我们还可以再拓展一下几何眼光图中PR2点关于原点对称，椭圆中左右焦点也关于原点对称。可以证明QQ平行于2F2.2与点F2到直线PQ的距离相等，即三角形PQ2和3角形PQF2同底等高，则面积相等，三角形PQ2的面积等于三角形PQF2的面积。再将三角形PQF2分割成三角形PFFR和3角形QFFR2部分，得到三角形PQF2的面积等于2分之3倍的三角形PFF2的面积，三角形PFF2的面积就等于二倍的三角形POFF2的面积。三角形PFF2与三角形QOFF2共底边FF2，所以三角形的面积比即为高的比得到Y一等于负二倍的Y2。第二问第一小问的第二步是利用坐标关系求斜率。下面仍然用4种不同的方法给大家拆解数学运算背后的几何逻辑。思路一，利用点PQ既在直线PQ上也在椭圆上的几何特征取直连，力求解过定点F的直线，可以设点斜式方程Y等于K倍的X加1，借助于点PQ的横坐标X1X2与斜率K的关系，建立关于K的方程解得K等于二分之根号5，所以直线L的方程为Y等于二分之根号五倍的X加1。直线方程还可以采用横截式，设X等于MY减1，建立点PQO的纵坐标Y1Y2与参数M的关系式，解得M等于根号5分之2，所以K等于二分之根号5，得到直线L的方程。前面两种解法都是解方程，求出了点PKU的横坐标与纵坐标跟参数K和M的关系式。还可以将Y1加Y2和Y1乘Y2的关系式构造一个新的方程，整体代入求解，因为Y一等于负二倍的Y2，所以Y一分之Y2加上Y2分之Y一等于负的2分之5，所以Y1乘Y2分之Y一加Y2的平方等于负的2分之1。将Y1加Y2，Y1乘Y2整体代入得到关于M的方程解得M等于根号5分之2，K等于二分之根号5，得到直线L的方程。思路一的三种解法都是坐标关系式与瑞达定理相结合，通过构造斜率的关系式求解。运算量偏大，不用韦达定理能求解吗？由直线斜率PR的斜率PQ的斜率等于Y1减Y2，比上X1减X2，想到可以求出点PQ的坐标。点插法利用点PQ在椭圆上这一几何特征设而不求带点做差，可以有效的减少运算量。此题中X1加2倍的X2等于-3，Y1加2倍的Y2等于0，可以构造加权差，将条件整体代入得到X1减2倍的X2等于-4。由X1减2倍的X2等于4，X1加2倍的X2等于-3，解得X一等于2分之1，X2等于负的4分之7。再代入到椭圆的方程中，得到Y一等于4分之3倍根号5。因为F的坐标为-10，所以PQ的斜率等于PF的斜率等于二分之根号5，得到直线L的方程。思路三，想到线段长度即为两点间的距离结合点在曲线上的坐标关系，可以将线段PFQF的长度用点PQ的横坐标表示，PF等于2加2分之1X1，QF等于2加2分之X2代入到PF等于二倍的KUF中，可以得到X1减2倍的X2等于4。由X1减2倍的X2等于4，X1加2倍的X2等于-3。解得X一等于2分之1，X2等于负的4分之7，Y一等于4分之3倍根号5，所以斜率K等于二分之根号5，得到直线L的方程。解法四与解法五切入点不同，但殊途同归。思路四，想到直线斜率与其倾斜角的关系。K等于tony c塔构造焦点三角形，借助余弦定理可以将线段PFKOF的长度也用西塔表示，三角形PFF2中可以得到PF等于3比上2减cosine西塔。三角形KOFF2中可以得到KOF等于3，比上2加cosine西塔。代入到PF等于二倍的FQ中，可以建立cosine西塔的关系式，得到cosine西塔等于3分之2，tangent西塔等于二分之根号5。所以K等于二分之根号5，得到这些L的方程。以上4种不同的思路，6种不同的解法，拆解了利用坐标关系求斜率的几何逻辑，从形到数多思才能少算。接下来我们分析第二问，第二小问求角PQR的正切值的最小值。本文的核心是将角的正切值转化为直线斜率的运算，最终结合基本不等式求解最值，同样存在多元求解路径，体现了不同的思维层次。思路一，利用点P和点R的坐标对称的关系，结合韦达定理用K表示出直线QR的斜率，Q的QR的斜率等于负的4K分之3，再代入到夹角公式中，解得角PQR正切值，它的最小值为四分四倍的根号3。当且仅当K等于二分之根号3时，角PQR的正切值的最小值为四倍的根号3。用恒解释表示这项方程解题过程同解法一一致。想到角PQR，即直线QP和直线QR的夹角。利用直线斜率与倾斜角的关系，结合两角和与差的正切公式，可以推导出角PQR的正切公式，再利用基本不等式求出角PQR的正切值的最小值。前面三种解法是结合韦达定理找到了RK5与K的关系式。同样也可以利用点差法推导出PKU斜率与RQ斜率乘积等于负的4分之3的定制关系，再求出Q2的斜率等于负的4K4K分之3。点差法充分利用了斜率的弦的两个端点，在曲线上这一几何特征采用视而不求做差构造，达到了简化运算的目的。3、试题研究一、试题溯源教材溯源试题第一问考察椭圆性质与椭圆的标准方程。人教版选择性必修第一册第115页习题3.1第四题第三小题。这两道题都是已知焦距和离心率，求椭圆方程，考察相同的知识点，解题思路一致。试题第二问是直线与椭圆的位置关系、较半径长度计算、过焦点的三角形面积计算直线倾斜角与斜率及夹角公式等多知识点融合的综合题。人教版选择性必修一第114页练习题第二题，第145页复习参考题三第七题以及第108页第三。这些题目与本题的部分解题思路具有关联性。高考提速员第一问的条件，跟2021年全国一卷高考全国二卷第二十题命题思路几乎完全一致。2018年天津卷文科第十9题。两道题都是结合椭圆离心率求椭圆的方程，都涉及椭圆的中心对称性，都是面积比例关系转化为长度比例关系，在命题思路和结构上高度相似。2019年新课标全国二卷理科第21题，两道题都利用了椭圆上关于原点对称的点，都涉及三角形面积，都可以借助椭圆第三定义或点差法得到斜率关系来简化运算。2015年高考浙江卷理科第十九题，两道题都涉及到妥圆的对称性面积公式的应用，以及基本不等式求最值，体现了用代数方法解决对称几何问题的思路。二试题面试。电视一。将PR关于原点对称改为关于X轴对称构造面积关系，三角形PQR的面积是三角形PFM的面积的7分之20倍，求直线L的方程。先利用面积关系找坐标关系，再取值，联立结合韦达定理构造关于参数M的方程。得到M等于3分之4，K等于4分之3，所以直线L的方程为Y等于4分之3倍的X加根号3。便式2，将条件用第三定义的方式呈现，改变曲线方程及面积倍数关系，再求直线方程以及角PQR的正切值的最小值。由面积关系三角形PQR的面积等于7分之20倍的三角形PS的面积，得到线段长度关系PF等于3分之7倍的KOF，再构造交点3角形，结合余弦定理求出PF等于9比上二倍的根号3减去根号三倍的cosine西塔。三角形KOFF2中得到QF等于9，比上二倍的根号3加上根号三倍的cosine西塔，代入到PF等于3分之7倍的QOF中，构造关于cosine西塔的关系式，得到cosine西塔等于5分之4，tangent西塔等于4分之3，所以K等于4分之3，直线L的方程为Y等于4分之3倍的X加根号3。用点差法求PQ与rq斜率的定制关系，再利用两角和差公式推导出角PQR的正确表达式，结合基本不等式求最值，这是本题运算量最少的解题思路。夹角公式在教材中并没有直接给出，所以本题采用先推导公式在求解的解答过程。3、试题拓展结论一椭圆第三定义的统一表达式，若AB关于原点对称，则PA斜率乘以PB斜率等于负的A方分之B方。二面积比与线段比的统一关系，三角形PQR2的面积比上三角形PFO的面积等于兰姆达，则PF比上QOF等于2比上兰姆达减23。夹角正切值统一表达式，角PQR的正切值等于A方K加上K分之B方比上A方减B方4，夹角正切值的最小值为二，AB比上A方减B方4。教学启示一从一题多解，教到多多解归一，核心素养是关键。先看行后算数，结合直观是运算的统帅。一题多解不是炫技，而是为了找到最优路径。2、从原语教材到高于教材，回归教材是根本，深挖教材是日常教学的根本点，研究高考是高于教材的落脚点。作为教师，我们的使命不是让学生记住这道题的解法，而是通过这道题，让学生学会用几何的眼光观察世界，用袋鼠的方法解决问题，用优化的思维提升效率，这才是从教题目到教思维的真正跨越。路漫漫其修远兮，吾将上，吾将上下而求索。愿与各位同仁共勉。