各位评委，各位老师，大家好。我是天津市教育科学研究院附属滨海泰达中学的高洪爽老师。我所讲的题目是2026年全国一卷第六题，从一道导数小题读懂小镇做题家的育人价值。近几年来，小镇做题家一直是舆论场极具争议的词汇。有人片面化，将其标签化为只会死记硬背、机械刷题。缺乏思维的应试者，认为题海训练只会固化思维，扼杀创造力。但扎根一线高中数学课堂，深耕解题教学后，我们会发现，优质的解题训练绝非简单的重复刷题。以本题为代表的一题多解教学，洽洽完整诠释了小镇做题家的培养模式背后独特而不可替代的育人价值。题目呈现是一个分式的最值问题，以选择题的方式给出分式型超越函数它的最值问题，可以借助于以下五点进行分析。在形成这个思维导图的时候，我们实际上是把这道题给到了学生，让学生首先通过所学习的方法去进行一个选择。很多同学看到这道题以后的是采用的直接法求最值，但是在课堂上基本上没有同学实现能选出最后的答案，这个时候有很多同学就果断的转化为恒成立问题。绝大多数转换成恒成立的同学就把这道题应该是解决了。其中有两个同学，一个是用了排除法，一个是用了观察法。排除法的同学给出的排除意向是我先选B选项里的A等于1，因为它是正的，而且是整数好计算。在这种思想的指导下，然后他说如果B选项不行，那么我可能还要选D选项的A等于2，再进行一个检验，这是他的一个想法。而另外一个同学整体观察这道题以后，给出的思想是这样的，他说函数中有E的X但是选项当中没有E的X同时最大值还为一。那么从这三点切入的时候，意味着这个函数只有X等于0的时候才能够不存在一。所以只要把X等于零代入就能算出A等于。在此基础之上的话，我们又通过切线引导学生进一步的去思考这个题的其他方向，产生出十种解法。我分两个方向来说，一个是小题大做的四种解法，一个是小题小做的5种解法，来进行一个探讨和交流。第一，小题大做。它就是一个常规的通法通解，通过求导构建我们的导函数，然后在画导函数方程的时候用到了二阶导数。通过研究二导函数的图像可以看到一和二的图像，实际上它是其导数恒小于等于0。这样的话它并不存在着这个最大值，所以只能是三的时候满足题意，并且是在X2处满足了取得了一个最大值。那么根据这个条件，我们构建了X2所满足的一个等量关系，这样的话得到了与X2相关的方程。联立解方程以后，我们得出X2的2个值，一个是-2，一个是零，进而解出来对应的A的值。但是经过检验，那么A等于负的E的负2次方时是不符合题意的。所以答案就是A等于一。解法二我们用的是切线几何定义法，也就是最大值。我们翻译过来以后的话就是FX小于等于一，也就是说Y等于一就是FX的切线。那么借助于切线的想法，把这个问题转化为关于切点的对应方程，然后解法跟一是一样的，最后求出来A等于1。解法三我们考虑的就是最简单代数思路法，也是学生能够选出正确答案的最多的解法就是恒成立。转化法。那么这个函数它小小它的最大值为一，转化为这个分式函数就是小于等于一恒成立。然后通过分散构建出单变量的一个函数，求出函数的最大值即可。这样的话也能够得到A是等于一的。这个方法的话其实在整个解题的过程当中，学生呈现出来的应该是最完整也是最多的一个解法。四说的是切线的不等式放缩。这个方法也是在最大值唯一的基础之上，我们把分式化整以后做了一个调整。然后调整以后并没有通过分餐去解决最值问题，而是关联到了E的X大于等于X加一这个不等式。借助于这个不等式进行放缩和观察，那么得到2减A应该等于一，也就得到了A等于1。这些方法其实都暗含着每他的一个育人的一个方向。其实总体来说的话，就是希望学生们一个是不固化自己的思维，一个是多观察。通过深度观察和我们的这个呃整体分析，能够重视平常的一个日常的沉淀和积累。然后借助于已有的方法来解决现实生活生活当中所存在的问题。这是我们整体的一个育人的一个方向。关于小题小做我们可以看一下。首先我把5和6，也就是选项代入排除法和我们的一个特征观察法放到了首位。是因为这两个方法，第一是我们学生首先呈现出来的一个方式。第二其实他也渗透了学生在这个选择过程中的一个深度的思考。比方说选项是呈现在BB选项A等于一，那么学生在选择它的时候考量到的就是它是正的，并且是整数易于运算，所以我选择了它，而不是盲目的进行选择。当选择完它以后，我们就按正常的函数最值的方法进行求解，然后检验，最后求出它的最值是在X等于零时取得，并且唯一与题意相吻合，所以得到A等于一是成立的。那么解法六的特征观察速解法主要是纵观这道题的全貌，看到的是式子中含有E的X而最大值与E无关，选项与E无关。由此得出只有在X等于零时取得了最大值，进而算出A等于1。这些方法无论是排除法还有特征观察法，它启示学生的就是在学学习和生活当中都不要墨守成规，要勇于打破固有的思维，寻找一个灵活解决问题的路径，能够在差异中破局。解法七，我们研究的是分式特征之下的最原始的比值含义。因为这是一个比值，那么它的分子和分母又各自可以看作是两个函数。那比值代表的就是阐述的就是它们的大小关系。所以我把两个函数的图像做了一个构建，构建出图4的时候，我们可以发现我们的这个函数E的X加A它应该比X加2有小的时候，那就预计我们的这个比值就会有大于一的时刻。在这种情形之下的话，就与我们的最大值为一相矛盾。同理我们看一下5和6这两种情况，这两种情况之下的话，一个应该是有小于一的情况，也与我们的最大值等于一矛盾。所以前两个否定以后的话，就意味着只有在它俩相等的时候才能够符合题意。EG也就是Y等于S加二为我们的这个函数的切线，这样的话我们就可以用切线的方法来解决这个问题。求出对应的切点坐标，代入以后可以解得A等于1。借助于数形结合，我们可以比较直观的观察两条曲线的位置关系。这样就帮助学生来构建了一个几何直观解决问题的一个想法。让学生借助于图像来分析代数问题，养成树形互换的这样一个意识。在看待问题的时候，我们既兼顾表象，又要看到本质，养成理性权衡、审慎判断的一个思维习惯。解法八和解法九考量的都是分式类的，并且是与斜率相关的解题策略。只不过方法八我们可以看到它们所对应的点的坐标是E的X和X与负A-2的斜率。而函数的最大值就可以翻译为是斜率的最大值。那么由于我们这是E的X次方，而习惯的点的横坐标是X基于此我们为了调整成习惯模式，所以把这个函数取了一个倒数。把我们的这个函原函数的最大值变成了是调整后函数的斜率的最小值。借助于函数的图像，借助于我们所对应的切点的切线的解决策略，然后可以算出对应的切点的坐标，从而解得A等于一这个答案。那么解法九是换了一种方式，刚才取的是倒数。这一次我为了保证我的横坐标是单元单变元X的话，那我用了一个换元法把E的X替换成T那这个函数它所对应的斜率就可以转化为是负A-2与t ln t两点连线的斜率。所以由我们的第八个图可以看到，它相对于来说是啊还是相切的时候取得了最大值。那也是借助于切线的方法，可以把这个斜率唯一切点的借助于斜率为唯一，把切点的坐标给它求出来。求出来以后代入也可以求出A等于一来。这两种解法，它其实就是培养学生观察外在的一个特征，然后要跨模块迁移知识，依托的就是转换和换元的一个素养，通过学会关联，然后培养学生举一反三，然后把陌生的情境给他熟悉化的这样一个能力，然后解决我们实际生活当中所存在的一些问题。解法十是一个EX的局部放缩，这个题我并没有把原式给它进行过度的分解，而是直接就通过放缩法把X加二放缩为一X加1，那么使得这个函数应该是对应的边缘是一致的。然后采用了那个分离常数的方法，那这样的话就可以看到，实际上表达起来的话就是FX它应该是小于等于一加一减A除以一的S加A而对于这个式子，我们要是能保证它的最大值为一的话，那只能是一减A除以1加X加一等于0。这样的话也可以得到A等于一。这些问题实际上它从追根的角度来说，在我们的教材里还都有一些显现。一个是95页的例题，98页的习题，5.3的12题的证明和104页复习参考题五的17题的作图题。这些题它同属于指数对数函数与一次函数、组合型导数的综合问题，共享的是同一个底层逻辑，依托的是基本的初等函数、求导法则、不等式、放缩切线、几何意义、恒成立转化等核心方法。复杂导数试题并非全新的模型，是基础函数结构通过四则运算的嵌套、参数的植入、变量的替换的迭代重组而成。实际上我们所有复杂问题的生成都应该是依托于基础函数的四则运算，包括嵌套，包括其他的一些迭代然后生成。有了这样一个原理以后的话，我们可以产生一些变化。这些变化的话，它们所对应的这个函数，主要就是指数函数、对数函数，包括我们的幂函数，还有一次函数和二次函数。这些便是题目。其实就是通过换元来实现了指数对数题型的互通。幂次代换实现了多项式维度的一个拓展，完成了直线、指数、对数二次多类函数载体的切换。外在函数形式它是千变万化的，但分式最值订餐的代数结构，导数极值的判定，树形斜率的建模，参数分离转化的核心数学思想应该是完全统一的，充分体现了变量代换作为标准化的工具，能够剥离函数表层形态差异，统一不同题型的解题路径，验证导数综合问题形式可变、结构同源、思想归一的数学本质，真正做到以一法解百题，万变不离其宗。小镇学子日复一日的解题训练从来不是无意义的，数字重复演算磨心性，多解拓眼界，难题练韧性，归纳出自省。对基础薄弱的学生，可以先教小题大作，保证学生有稳定的得分路径，缓解畏难情绪。在基础方法熟练以后，再引入调解，让学生理解调解并非是投机，而是通法的一个简化变形，避免学生盲目依赖课外机构偏门技巧。通过多解法横向对比，让学生看清题目生成的本质。解题技巧是我们追求的数，而产生原理才是道，道术合一是学习的究竟。作为一线教师的我们，应以教材例题为生长点，由基础原型逐步叠加参数、分式、元等条件，梯度生成，综合辨识，实现知识的螺旋上升。适恰的课堂推行一题多解、一题多变的探究教学。提炼通用数学思想，做题只是成长的在一起，修心明理、立身做人才是最终的内核。教师的高质量、多维度、重归纳的解题教学，既能助力学生跨越升学选拔的一个关卡，更能够培育出踏实坚韧、通透包容、懂得自省、终生成长的人。谢谢倾听，请批评指正。