好，各位专家，各位老师，各位同学大家好。我是来自南京市第十四中学的英雄老师。今天我汇报的题目是高观点下新定义题的结构转换与方法迁移。以2026年新高考一卷上海卷和天津卷为例，这几年我们会发现高考中的新定义问题越来越值得关注，学生面对这类问题经常会有一种感觉，就是题目里的知识似乎都学过，但是第一一换就不知道从哪里下手，所以我今天想讨论的不是这三道题目怎么做，我更想讨论的是什么呢？面对一个陌生定义，我们究竟应该怎样把它转化成自己熟悉的数学结构？我好，今天的内容主要分成三个层次。首先我会从学生视角来讲一下这三道题目。这里我要先说明一下，就是这三道题我不会每一步证明和运算全部展开，我只抓住最核心的定义解读和主干逻辑。在听这三个题的过程当中，我希望各位老师和同学能和我一起思考一个问题，就是新定义问题它到底有什么特点？好在三道题以后，我再集中谈一下基于新定义问题的特点，我们作为学生该怎么备考？作为老师我们该有哪些教学策略。最后PPT还准备了一部分附录，主要是更加完整的解答背景材料和补充问题。今天受时间限制，我就不在现场展开了，供各位老师后面自己自行阅读和交流。好，下面我们来看第一道题目。好，这个题目是新高考一卷的19题，题目中它定义了一个集合叫DX0，后面的所有问题都是围绕这个DX0解开的。好，所以首先我们先考察一下，看看DX0这个集合什么意思。当然这个集合其实一看它是个不等式，我相信很多同学包括老师应该都已经知道怎么解了。其实是干嘛呢？就是解左边这个集合里的不等式，再把Y减X0减掉之后，就变成右边这个集合了。这个就是考察了它的代数意义，那么这个集合其实它还有它的几何意义，几何意其实就是平移，各位老师可以自行看一下。也就是讲就是相当于告诉你把满足FY大于FX0的横坐标Y收集起来，再把它进行平移，就得到了这么一个集合了。好，这个考虑完之后，我们再来看这个题目里面第二个比较重要的话就是什么呢？就是若FXZ小于等于FX2则DX2这个集合包含于DXZ这个集合。那么这句话我把它展开了写了一下。在这么多的公司里面，其实各位发现了最重要的就是第三个，如果说元素D是在集合DX2里面的那我们可以推出这个元素D肯定也在这个集合DXE里面。最后一行主要是把这个推导的一个过程给它具象化了，通过不等式来展现。那么说的比较简练一点是什么意思呢？就是告诉你他把D从X2搬到了X1，这个大家一定要牢记，后面我们会反复用这个东西的。好，我们来看他的问题。第一问命题是希望你在基函数条件下验证我刚刚那那那套逻辑。这个题其实很简单，大家要知道他让你做这个题的目的，不是真的让你把这题做一遍的，他是希望你把这句话给他熟悉一下。好，那么情况我不说太多，因为比较容易。我就想说一点，就是这个题里面最难的是什么呢？就是X1和X2符号故意的情况。那么根据FX的单调性很明显，我们应该知道它的X2应该比零小，X1比0大。其余两个其实是比较显然的。图像我也给了出来，大家可以自行看一下。从图像当中你也能看出来，我们DX2一定是DX一的一个子集。好，我们快速过去。好，接下来我们来看第二题。第二题我在这个地方，我来细致的说一下，后面我就不会再细致的讲了。好，我们来看问题是希望我们证明F0大于等于一，那么这个地方怎么做呢？证明一个不等式，我们一般有两个路子，要么直接证明，要么就是反正房。那么这个地方我选的是反制法，也就是说我要先把命题否定一下，那么就是变成了F0小于1。那么否定完之后，我们要想，它会推出你的矛盾。那这个矛盾其实我们第一反应也知道应该选谁，应该选X在0到1的时候FX小于F0，因为这两个都有F0，所以我们把它也否定一下。好，现在我们一头一尾的主要找好了，那么接下来我们就要看啊它的中间的逻辑。那么怎么找逻辑？就是把这道题目的新定义的条件和题干全部用上。我已经全部放在了右下角，我们一起来看。首先从第一句话我们来分析一下，我们就知道你FX大于等于F0实际上可以由谁推了。不就是告诉你X属于D0吗？是不是？这个是用了我们第二个题干。好，但是这个题干很明显，它不可能是直接得到的。你要把第一个和第三个都用上，那怎么去用它呢？很明显大家来看一下，看有没有道理。它肯定是通过先得到一个DT包含于D0，那么这个T肯定是小于零的。因为我肯定要用它在负半轴的函数，这个时候通过X0是DT的一个元素。你看这么一来的话，他们俩结合不就得到这个一个集合了吗？那么现在我们把它的条件给它补全。第一个很明显是由F0小于等于FT推导的。是好，这样的话弱则那句话结束了。那么我们是把DX0的它的几何意义给它说清楚了，就是FX加T大于FT。然后我们再看下面这句话，我们可以由它在负无穷到零带量递增得到。上面这句话就是我们要从命题的否定来看能不能推出来，答案是可以推出来的。红框里的条件很明显，它可以利用FX在服务穷到零的值域为0到1来把它构造出来，这个是很显然的，那你看如此一来就推出矛盾了，那我们整个逻辑就串串起来了。那么红框部分就是我们的核心部分，红字就是把我们题干全部给用了一遍。那抹蓝色的话就是把弱则这句话他的这个意思给使用了一次。好，这就是这道题的逻辑。好，那我们继续，再看它的图像解释，大家可以自行看一下。好，那么到了第二问我直接放一下我们这道题的逻辑，跟刚刚一样，也是用这分析法来分析。好，我们先把把分析的逻辑我直接放出来。这个地方大家应该都很熟悉，就是刚刚的那套逻辑。好，现在看好下面这一条，我们可以使用题干推出来。那么FU小于等于F0怎么办呢？你看FT我们已经知道它是大于零的了，那么要想让FU小于等于FT这句话要是对的，那么我们最希望看到什么？我们最希望肯定是看到FU肯定小于等于0。也就是说我如果能让F在零到正无穷很小于等于0，那么这个条件成立的话就全部推好了。所以接下来我们要干一个事情，就是证明它在正半轴它是小于等于零的。那么直接证明可能会比较困难，所以我们要分两步走。第一步就是先在局部上证明，在0到1的时候证明它小于等于0，证明的逻辑其实跟刚刚也是一样的，我们快速的分享一下。有没有感觉到跟刚刚是一样的？好，这个就是证明0到1的方法。好，那我们再看大于等于一的方法，大于等于一也是一样的。好，我们来快速的体验一下。好，我们也把它给算了出来。好，这个就是希望考一卷。好，接下来我们来看上海卷。上海卷它是这样的，它给出了一个排列的一个定义。那么很明显，我们会发现这个排列它就跟这个不等式有关系的。所以说我们第一件事情，我们就要把这个排列的含义好好解释一下。也就是讲从题干我们知道这个排列要成立的话，它相当于就是证明要让这两个不等式都要成立。那么这两个不等式都成立的话，那我们就能够把它解释清楚了。我们举个例子，给各位看一下他是怎么做的，比如说312对吧？你如果是312的话，那我就令我们的I等于3，然后J等于一代入这个红色的部分，得到这么一个不等式，其他的几个我们都可以一样的。如果算好的话，就是我这边框里面的。好，那么当然有人会想了，为什么只有五个呢？因为123它是百分之百对的，所以我就不多说，我们来看第一问，第一问我们要看最关键的一个条件，就是N等于6。N等于六什么意思呢？它其实就是告诉你，我六个排列都要对，那么六个排列怎么就能都对了呢？我们来分析一下这个不等式，你从这里面会发现，前两个框框起来的东西其实就已经得到了一个条件了。就是什么？就是F1小于等于F2，小于M3。那么你结合以下这三个不等式，你就会发现他们俩之间是充分必要的关系。如果你把它把这个得到的话，那接下来它就变成了一个很省力的问题，那么这里的计算我就不再展开了，这就是第一问好第二个我们来看一下，第二个我们先看这个FX严格递减的情况，题目要求的是N大于等于4。那么这个地方我们值得关注的不是它的计算是什么，而是它的目标怎么去压缩它。我们其实从右下角的这个判定表我们会发现，我们根本不需要求出所有的排列，我们只需要保证什么呢？就是F1小于等于F3以及F2小于等于F3就可以了。当然有人会问了，李老师我们刚刚第一问不是有一个更狠的？F1小于等于F2，小于F3，那不是N等于N大于等于六的吗？没错，你讲的很好。但是我想说的是啊，命题人不可能重复的去用一个条件的。也就是说你想的这个F1小于等于F2小等于F3，在第二问是不可能再用的。那么有人讲了，殷老师那不用的话，还有另外两种可能。你刚刚只说了其中一种，你看如果说F1小于等于F2，F1小等于F3，那不也可以吗？我告诉你他也是不可以的，为什么呢？我们来看这三个函数，你会发现这三个函数有个特点，F1F2都是未知的，只有F3是清楚的。如果你用了F1和F2的关系的话，你会发现不好判断，至少感官上是很复杂的。因为这两个函数都不清楚，所以说大概率不是用第一个，应该是用下面这一个。也就是说你要证明右边这四个排列是正确的那接下来我们就是要证明右边这四个排列都对。好，那么这个时候其实你会发现要证明它对，就是等价证明下面这个是对的那这个时候我们要想想看，我们要怎么处理它。因为F是不清楚的，所以说我们要想跟右边这个函数结合起来，那我只能用它的单调性和它的这个定义，所以这个时候我们本能的反应是什么？我们是希望找出它的一个上界，你会发现这两个函数都是比F0小的。好，如果是这样的话，我们在我们也知道一减一的负X次方在A到正无穷是递增的那如果说我能说清楚一个事情，什么事情呢？就是如果F0小于等于F3A，那么这个问题不就结束了吗？那接下来不就说他，那说他的过程，这其实也很简单，就是直接令F0小于等于一减一的负A次方就可以了。那么它有没有解？它是有解的，它的解就出来了，就是它好，这个是递减的情况。好，那么递减整完之后，我们来看递增。递增其实说实话大家应该能感觉到，刚刚做了递减，现在做递增。这两个题目很有可能是一个分类两个模板。那么什么叫一个分类两个模板呢？就是意思可能都差不多，只是做法上有点区别。那我们来看一下有什么区别。你看首先第一个我们要先看N不等于二是什么情况。那么有可能是大于2，有可能是等于一。那么这个地方我告诉你，它一定是等于。比如说为什么？第一个刚刚N大于等于四已经做过了，不可能再来一个大于二大于三的。第二个他说是存在，一般存在都会告诉你，可能是构造反例。第三个它是递增，递增很有可能就是把刚刚那个大整数的分类给它反过来，也就是说这个地方我我我可能要证明这四个分类都不对。所以说综上以上的因素，我们可能就是选N等于一的情况。那么既然明确了之后，我们就要有两条线。第一条线就证明这个是不对的。这个证明怎么证明不对呢？其实就是把我们刚刚那一问所有的证明发过来，大家可以自行看一下，我不多说，应该都很清楚。你看他的证明逻辑跟刚刚框架是一模一样的。那也就是说接下来最难的就是一个什么呢？就是要证明F1X大于F2X，这个证明就脱离了我们新定义的问题了，它就是一个很传统的一个做法。但是我想说的是，这个地方其实也告诉你一个事情，就是我们如果按照我们传统的做法去看题型的话，那你会吃亏，为什么呢？因为表面上证明的是一个函数不等式，实际上跟我们的数列有点关系。好，我这边直接放出来给大家看一下，因为这不是我要讲的重点，是通过构造一个数列的方式，然后利用反证法推出FX是无界的。大家可以自行看一下。好，这是上海卷。然后我们来看天津卷。天津卷其实是比较轻松的。第一问求的是也是求一个数列，第二问也是求一个数列的前沿下颌。我们首先第一件事情，我们先把这个集合先分析一下。那么这个集合是什么意思呢？其实从这个集合来看你会发现它里面带有两个元素，一个是AK一个是BK，然后他要让X小于等于N那我最直接的办法是什么？我先把这两个元素先分开来，然后我们想想看，这边是或的意思。那如此一来的话，那不就是相当于告诉我集合EN就是把AN和BN的元素并起来，对吧？当然有重复的不要紧，对吧，反正我是集合的并？重复的去掉就可以了。但是它元素的个数可能会有影响，但是我们想想看，这是第一问，不可能很难的。所以说对于我们来说，大概率集合AN和集合BN他们之间的元素是不会重复的。那么事实证明确实是的，为什么呢？因为集合AN里面AK等于2K它是偶数，BK是三的K减1次方是奇数。所以说我们CN的CN其实就等于集合AN的元素个数加上集合BA的元素个数。好，我们来看第一问，第一问求C的3N次方。我们可以这样想，先把集合A3N次方算出来，算的过程我不多说，然后再算集合B的3N次方，然后算完之后，你把这两个相加就可以了。好，这就是我们的第一问，相对容易。好，我们来看第二问。第二问是求它的这个权限和首先还是一样，我们先分析一下它的上限，上限有两个特点，第一个就是三的N减1次方为偶数，第二个就是负一的M次方了。它是让符号正负交替的那这样的话我们可以把它两两配对，配对的话抵消一部分，至少做起来？能够给我们减轻负担，所以我们来把它给配对一下，我举了一个例子，我看一下为什么要把它除以2，是这么个原因。好，这么一来的话我们得到了SN。好，接下来我们再看一下C2R和C2 2减1的关系。这关系其实也是比较自然的，因为你是从一个奇数相当于一个偶数，它们差一。所以说很明显偶数肯定会多，一个奇数不会多。因为它是三的幂次，所以他们的和是一，它们的差是一。那这样的话我们把它带入SN就得到了这么一个式子。提到这，我们又通过BPR的方式记了这么一个集合的一个元素的个数，那么这个集合元素个数就是计算三的J次方里面到底有多少个？好，那么如此一来的话，也就是说这个题目一个关键的问题就是怎么求P。那么最直接的想法是直接算P，然后再算前余下和。但是我告诉你这个题目不可能做到，为什么？我告诉你PR表达式很复杂，有人说不对，平时不就这么做了吗？我告诉你看一下，平时是怎么做的。平时人家题目是告诉你已知通项求前一项和，不是说必须用通项求前一项和通项简单。那我求前一项和没问题，但那不简单，所以这个题目用传统的套路它是做不了的那我们就要反过来想，那怎么办呢？很简单，你想想看，我把这个PR，我把它单独拎出来看一下，你会发现PR实际上就是讲了这么一个函数。看这个函数它下方的整数点格数，我用图像给你感受一下你就知道了。你看这个是那个PR的图像，然后底下就是它整数解。那么我们刚刚如果用传统做法，就是从R等于一做到M对不对？那么你从R到M相加，你可能做不起来，在图像上那就是横过来加。那么横过来做不起来，那就看竖过来没数过来，可能就可以做。这个题确实是可以这样做的，我来举个例子给你感受一下。你看举一个N等于3，M等于13的情况。这样的话你就会发现，数过来确实很复杂，但是横过来很简单，你看很容易。所以这个题目他考了一个换序的一个方式，当然这个相对来说有点困难，如果有同学不会做，其实也不要紧，毕竟最后一位了。好，通过刚刚三个题目，我们先简单总结一下这三个题目的特点。因为这三个都是新定义题目，他们虽然都是新定义题目，但是他们的逻辑都是不一样的。大家可以看一下我的总结。好，讲到这，我想把刚刚那个问题我们一起来分析一下，通过这三个题目来各位想想看新定义问题有什么特点。来我们来看一下，第一个特点就是难点迁移。以前我们的难题是什么？模型大家都清楚，但是算不清楚，分类比较复杂，或者说整个逻辑很长。新定义问题不一样，它的难点不是在于难算，从刚刚的题目也看到了，新定其实模型讲清楚了，其实会很简单。所以它的难点是在于一开始你能不能把第一读懂，读不懂那就做不出来，读懂了后面就好做。所以说它会给人一种看起来陌生，拆开来之后内容会比较简单。第二个就是信息要素经济性问题。其实真正影响题目的条件其实并不多的，大部分条件其实并没有起到一个关键的作用。所以说我们解决这种问题，你不能只关心这个条件能推出什么，你要关心什么，这个条件在整个题目里面会起到什么作用，这个想明白了才可以的，不然的话你很容易会偏体，这样的话也会在里面绕进去就出不来了。第三个就是要打破套路。从我们刚刚讲天津卷，包括讲这个上海卷，大家会发现，有些套路我们用不起来了，那为什么呢？原因很简单，因为新利益问题，他其实在干什么事情呢？他是把很多的基础知识给他进行了一个重组，你可能以前学的都是套路，但是我把它知识重组之后，就不再是你学的东西了，所以说从以前的识别题型？看到这个题目了，是什么题型？然后调用以前的方法去做，但是心里是什么呢？题型不管用，我把结构改了，你再怎么搞题型那都是不行的。好，第四个就是能力升级了，从掌握知识转向了组织迁移和构造知识，我们以前只要求你会某个知识点，能用这个知识点做题就可以了。现在不行，现在是什么呢？你要知道他什么时候用，为什么用，以及怎样根据目标重新组织这些题目所以说新定义问题考察的是一种综合能力，就是能够面对陌生问题重新理解建议识别结构并迁移已有的知识完成解决。那么面对这四个特点，我们作为学生会老师该怎么办呢？我们先看一下学生的一些做法，学生做法其实是比较简单的，都是一些老生常谈的。做好了。第一个就是不要立马去做了，我们要先把定义先搞清楚什么意思。当然这个我相信各位同学都知道我在说什么。第二个就是你毕竟要考试，你肯定会总结出一些东西来。然后你考试的时候，你就看看那些比较陌生的表达，能不能通过你的方式变成你熟悉的东西。如果你能转化成功，那这个题目大概率可以做。如果转换不成功的话，那只能说看运气了。第三个就是要学会反推构造有方向你会发现，比如说我刚刚讲那个一卷，很多同学可能会想，那个条件是什么意思？怎么来的呢？你看完了答案可能看不清楚，但是你从我的推断，你就会发现每一个条件它不是靠灵感来的对吧？你用分析法你就会发现它是由目标和条件共同产生的，所以一定要学会反馈。第四个就是要重视复盘，把最后一道题变成活的一种经验，这个不需要我多说，这个大家应该都知道的。错题本你不要光记正确答案，你也要记一记对吧？比如说为什么这个题当时没想到？已经怎么错的，还有他有没有一些等价的表达方式，包括说你是顺推还是反推，这些你都可以记一记，这是学生的，然后老师老师是什么呢？第一个就是要把定义解读变成教学内容。这一点其实不仅针对新定义了，其实很多老师在其他内容上面也要这么做，所以这个并不是专门针对新定义的，不需要说的特别多。第二个就是我要讲的就是你要建立结构库，不是题型库，那为什么呢？结构库是让你把结构拿出来进行命题，题型是什么呢？题型就是说我给一个方向，然后我出很多结构出来。这两个有什么区别呢？我给各位看一下，左边是梯形库，右边是结构库。你会发现如果是结构库的话，一个结构引申出不同方向的题目，它有一个好处就是学生不管怎么说，这么多方题型里面，他肯定可以做一个其他。如果不会的话，他可以参考他会的这个。那这样的话他就能把这个结构先摸清楚，再依葫芦画瓢，再把它其他的做明白。一方面结构学会了，另一方面知识也学会了，这样能起到一个事半功倍的一个作用。如果说你是用梯形库的话，会带来一个什么后果呢？一个题型可能面对不同的结构，那么他要把所有机构都做一遍。我说实话如果他很厉害的还好，如果不厉害，那很有可能就不想做了，因为一个不会，可能个个都不会。所以结构库去建设的本质不是积累题目，而是积累可迁移的数学结构。第三个就是要学会去增删条件，比如说以前的题目那个一卷上海卷和天津卷，他们条件其实都是富裕的，那么你可以把条件变弱一点，看看这个题目它最本质的结果是什么，就是把它进行抽象，然后剥离。至于说怎么抽象，怎么剥离，在我的附录里面其实都是有的，各位老师可以后面自己看好，这就是附录部分。附录部分的话我就不多说了。好，那么今天我就讲到这个地方。