各位老师好啊，我是来自上海市仙霞高级中学的周晶晶老师。今天要讲的题目是立体几何空间旋转轨迹专题探究。原题是来自2026年上海卷第十六题，就是选择题的压轴题。这道题我们看到在图当中，正方体是绕着这个体对角线ACE旋转一周。那么问我们点C的一个运动轨迹会经过多少个空间挂线？像这种问题的话，通常我们的思路也就是主要是两步。第一步你要知道这个典型的运动轨迹是什么，第二步再去确定这个运动轨迹的位置到底是在哪里。这里我画了一个思维导图，其实我们这道题就是有总的来说这样子两种方法。第一个是代数法，第二个是几何法。那么点C因为它是一个点绕着轴进行旋转，它的轨迹其实很明显是一个圆。所以其实我们要探究的就是这个圆与坐标平面的一个位置关系，从而去判断它经过多少个空间挂线。代数法的话其实就是联立方程，把圆的方程确定下来，再把它跟坐标平面方程联立，看他们有多少个交点，那么就能够确定它相应的一个位置关系。而几何法的话，我们是要通过画图，在图当中先找到这个轨迹圆所在的平面，再在这个平面上去探究相应的位置关系。你具体的我们看一下这个完整的过程。首先因为这个坐标系图当中是已经建立了的，但是我们的具体长度并没有。所以我们先把正方体棱长设出来，我们把它设为三，那么相应的点坐标和向量坐标就可以表示出来。那下面我们就主要是把这个圆的方程确定下来。我们看到就是说C绕着ACE旋转，那我们这里把CACE所在这个平面单独给它拿出来。这个旋转的过程就是说我们由C点向E点作垂线，垂足为E那这个时候E其实就是我们轨迹圆的圆心，而CE就是轨迹圆的半径。接下来就是代数法的话，其实它这里就是通过向量的一个点乘，我们先把AE向量表示出来，再把CE向量表示出来。由于这里的AE和CE向量是垂直的，通过点乘为零。所以这里是CE跟ACE向量点乘，其实是一样的。然后点乘为零，解出来兰太值，从而把一点的坐标求出来，再去求相应的CE的模长。那么这样子的话我们就可以进一步去建立圆的一个方程。圆的方程是这样的，我们把在国际元上面任取1点PXYZ，把EP向量表示出来。然后因为EP向量它是垂直于这个旋转轴ACE的，所以点乘ACE为零，这是第一个式子。第二个式子就是EP的模长始终等于半径根号6，所以两个式子确定下来的。所以我们化简整理得到的这个就是圆的方程，其实是一个方程组，然后那么我们再令Z等于0，Z等于零对应的其实就是坐标平面XOY，所以这样相当于这个地方就是把这两个方程跟Z等于零联立。那我们去求解解到了一个点的坐标是330，那就说明我点C的这个轨迹圆，它跟平面XOY平面相切于一个点，类似的方法令Y等于0和X等于0，那相应得到它跟平面XOZ和YOZ平面都是相切的，所以我这个整个圆它其实就是刚好包括在第一卦线里面，那么它就只经过空间当中一个挂线，这个是代数法。的一个解法。那几何法几何法我们看到就是这个图形，我们要对它有更准确的了解。首先先找到点C的一个旋转平面，因为旋转轴是ACE，那么我们要找到垂直于ACE并且经过点C的平面，其实就是这个平面就BCDE这个平面。那么点C的轨迹在这个平面上，并且可以看出它刚好是这个平面这个三角形的外接圆。接下来我们为了知道这个圆它跟三个做平面的关系，我们要把这个平面把这个平面再扩展一下，画出这个BCDE和3坐标平面的交线。因为这里有一个平行平面了，我们知道正方形的左右两个面是平行的。然后那么我们斜着的这个三角形的这个面，这个面的话有面平行性质定理，截这两个平行平面的交线是平行的，所以CDE跟这边的交线PQ是平行的，所以我们PQ的一个画法的话就是要跟它平行。所以这里的话实际上应该是过来这里应该是有两倍的关系，这里也是一个两倍的关系。同理我们得到另外两条交线，就是这个BEC跟这里的P2平行，B1D1跟下面的Q2平行，所以就得到了这三条线，PQQ2、P2分别是平面BCDE跟三个坐标平面的交线。那么PQ2的3点坐标可以确定，那我们就。知道。我们刚才这个轨迹圆，刚才说是这个BECDE的外接圆。同时实际上它也是这个PQ2的内切圆。所以利用这个三角形的话，我们可以求它的一个中心和内切圆半径。其实也就是直接从就是因为它是这个三角形PQ2的内切圆。那我们就可以知道此时圆上任意一个点，坐标符号肯定是非负的。所以点C的轨迹就经过空间当中一个挂线，你这个就是通过图形的一个关系，所以我们可以直接找到他的一个位置。那么总结一下，空间坐标法它的逻辑是固定统一的，适用于不规则复杂几何体，通用性会更强。而几何定义法计算量相对会小一点。填空选择题是可以优先使用的。然后本道题的核心解题逻辑，先定旋转轴，再做垂线，求半径和圆心，最后去判断坐标平面与圆的位置关系。在此基础上我也先出了一个便式，这个变式其实就是把原来我们求C的运动轨迹改为求B的运动轨迹。整个的思路跟方法是完全一样的，也是代数法合法两种方式。由于基本雷同，这个过程我们就快速的过一下，就不说了。第三个，我想把这个题目再拓展一下，前面其实不管是原题还是面试，我们都是点绕着体对角线在旋转。实际上能绕着体对角线旋转的这样的一个过程，它也是能够形成一个新的图形，像它形成的就是一个叫单叶双曲面的曲面，所以我想也想探究一下这个单叶双曲面上面的一些性质。这里我们先稍微介绍一下单叶双曲面，这是它的标准方程。还有它具有一些核心的几何性质，包括对称性，还有一些截面特征，还有就是一个双重直纹面等等。其实我们主要要知道的就是它的一个截面特征。这个单叶双曲面的话，我们横着剪横着截的话，它是截出来的面是椭圆。那么我数着截的话，截出来就是双曲线。对，竖着。既然它竖着截截出来是双曲线，我们就可以把它跟解析几何联系起来。所以我们这里给出一道推广试题，也就是说把原来的点旋转改为棱旋转，改为这个棱BC绕着提亮先旋转它，形成了这样一个曲面。这里为了观察方便，我们把坐标轴稍微转了一下，S轴转到这里，Y转到这里，Z轴是不变的。所以这样子的话我们就直观的能够看出来这个曲面是这样子的。然后我们过旋转轴就是这个ACE的平面，截这个曲面截出来轨迹这档和这一档，这个就是双曲线，让我们去求这个双曲线的离心率。这道题的话其实就是一个是在原题的基础上从点旋转变成了棱旋转，有了一定的提升。但是最后我们要求的也是一个双曲线离心率。那么又回到了高考的一个考察范围，道题实际上结起来还会相对容易一些。我们回顾一下，其实这道题的话就是我们一般求离心率的过程。首先就是要注意一点，就是他得新建一个系构造一个新的坐标系来建立双曲线标准方程，要不然的话我们这个方程不太好求。然后中间的话就是说我们要找两个特殊点代入方程，然后进而把AB求出来，最后就可以求离心率，是这样一个过程。由于时间关系，我们快速的看一下，就是首先新建一个系，我们是这样子去建的，就确保它是跟我们高中阶段教材建立双曲线标准方程的一个间隙方式相同。好，然后这里是找到两个点，分别去求AB最后求出来的心率。这道题它的基础知识涉及到的是双曲线的相关概念。那么基本方法是通过找到双曲线上一些特殊点的坐标，借助其与ABC的关系，因而求出离心率。它运用到了数学思想，是数学结合从特殊到一般还有划归思想，主要涉及到直观想象和逻辑推理这两个核心素养。那么给大家一些备考建议，就是我们碰到像这种立即集合里面旋转类的轨迹这种问题，其实我们要有这样的一些平时要注意这样的一些积累。比如说像这个要经常借助立体动画强化。空间建模。还有就是说一个要坚持一体双减，几何法和代数法都是需要平时去练习的。好，谢谢大家的倾听，请批评指正。