各位专家老师、同学们好。我今天讲的题目是从通法到优法一道解析几何题的多解之路。以2026年北京高考数学十之九题为例，我主要从以下四方面进行讲述。一试题呈现与思维导图。第一问考察了椭圆基本几何量以及椭圆标准方程等基本知识，我们很容易求出椭圆E的方程是四分之X方加三分之Y方等于一。第二问以三角形面积为背景，针对三角形面积计算，北高中数学常用公式如下，基于对题干中三角形ABQ和三角形ACQ面位置关系的分析可知，这三种方式均具备可行性通法。我们可以先求出点Q再利用三角形面积求出K的值。我们也可以对通法进行优化，将三角形面积之差绝对值通过几何转化转化为三角形ACD的面积，这样不需要求出点Q坐标进而求出K的值。不论通法和用法，我们将对比分析各种方法在本题中的适用条件与计算路径，进而体悟北京高考多思少算的命题精髓。公法面积公式选择2分之1底乘高，若三角形ABQACQ分别以ABAC为底，则三角形一同高高均是Q到BC的距离，反而因为三角形ABQ和ACQ有公共边AQ若以AQ为底，则高分别是点B到AQ距离，点C到AQ的距离，对比这两种方法，大家觉得哪一种方法计算相对会简单？我们很容易发现点B和点C到AQ距离实质是到定直线Y等于X的距离。所以法二相对于一来说简化了点到帧的距离。降低了运算量。对于解答过程比较常规，直线与椭圆联立韦达定理。但是我们发现。直线BC过的定点是非坐标的点，如果此时直线与椭圆直接联立计算繁琐，我们可以简化吗？我们知道我们的。目标通过消元整理成AX方加BX加C等于零的形式。所以我们可以把直线BC整理成Y等于K加MGY等于KS加一减K的形式。这样在与椭圆联立能降低。计算量。后面我们依次表示出CD直线方程联立得出Q点坐标。在法律中我们首先求出点Q到BC的距离，后面我们需要求出AB的长度和AC长度。如何求AB的长度和AC长度呢？我们可以用两点之间距离求。我们现在首先来回顾一下弦长公式。我们我们知道弦长公式实质是直线上两点间的距离，所以我们通过灵活运用弦长公式，我们可以直接写出AB长度就等于根号下一加K方乘以X1减1的绝对值。AC长度等于根号下一加K方乘以X2减1的绝对值，进而表示出面积之差，绝对值的代数式，求出K等于正负四分之根号2。法二与法一几乎类似，在法二要求AQ的时候，我们依然通过灵活用弦长公式直接写出AQ长度等于根号二倍的XQ减一的绝对值。由于三角形ABQ的内角BAQ和三角形ACQ的内角角CAQ2角互补，所以正弦值一样。所以这两个三角形的面积我们都可以选择二分之AB3C其中用的角都是角CAC的正弦值。CAQ正弦值。如何刻画角CAQ呢？我们发现我们可以用A直线ACAQ直线的倾斜角来刻画角CAQ，所以我们首先可以先用ACAQ的斜率来刻画出角CAQ的正切值，然后再用同角三角函数基本关系式写出角CAQ的正正弦值，最终表示出面积之差绝对值的代数式，进而求求出K的值刻画角。我们除了直线的斜率以外，我们还会用向量的夹角。有同学直接会用向量AQAC的夹角来刻画角CAQ。首先先用向量AQAC的数量积表示出向量价的余弦值，再用同角三角函数关系式写出向量的正弦值，计算比较繁琐，我们可以进一步优化吗？我们可以将向量AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90度得到向量AC撇，则AQAC向量角的正弦值就能转化成AQAC撇向量夹角的余弦值的绝对值。这样的话我就可以用相对应的数量积直接刻画出角OCAQ的正弦值，相对着上面来说能大大降低了计算量。具体解答过程如下，法四。实际来自于。教材人教B版必修三拓展阅读上的数量积与三角形的面积。本题求的是两三角形面积之差的绝对值等于8分之5。我们可以通过部分将两三角形的面积之差转化为一个三角形的面积。我们可以将点C关于点A做中心对称，得出点C撇折三角形ACQ的面积等于AC撇Q的面积。从而将三角形ABQ和三角形ACQ面积之差绝对值转化成了一个三角形BC撇Q的面积。对于三角形BC撇C的面积，我们可以采用2分之1底乘高的形式来求，具体解答过程如下，当然我们也可以对三角形BCPQ进一步割补，也就是我们的铅垂线法。大家想一想从三角形BC撇Q的哪一个顶点作铅垂线求面积会比较简单呢？由于BC的直线方程已知，所以从Q点作铅垂线求面积会比较简单。解答过程。如下。法一和法六，我们发现都需要求出点Q的坐标。我们现在进一步分析题干，我们来利用对称性，我们发现ABQ和ADQ的面积是相等的。所以我们可以将三角形ABQ和三角形ACQ面积之差的绝对值转化成三角形ACD的面积。而三角形ACD的面积不需要点Q的坐标，则能大大简化计算。对于三角形ACD的面积，我们可以采用2分之1底乘高。由于BC的直线方程已知，所以我们可以选择以AC为底求面积。解答过程如下，那三角形ACD的面积除了AC为底，我们可以AD为底吗？也就是说直线AD的方程是什么？大家能求出来吗？有同学会说老师点A点D的坐标我是知道，所以我是能表示出直线AB的方程的那我们回到题干中，我们再来看题干中的对称性，直线AB和AD实际上也是关于Y等于X对称的。所以我们可以从反函数角度来写出AB的直线方程，是X等于K倍的Y减1加1。同样的我们也可以从角的终面的对称关系来理解直线AB的倾斜角阿尔法和直线AB的倾斜角。贝塔满足二分之，阿尔法加贝塔等于四分之派，即阿尔法加贝塔等于二分之派，从而得出AB的方程是X等于K倍的Y减1加1。后续解答过程见下三角形ACD的面积，我也可以采用二分之1AB3C那关键是如何刻画角CAD呢？我们当然可以采用前面分析的，用直线的倾斜角或者是用向量来刻画。除此之外我还可以怎么刻画呢？来我们回到图形中，我们发现角CAQ和角BAO和角DEAO都相等，并且都等于四分之派减阿尔法的绝对值。所以当阿尔法小于等于四分之派的时候，我的角CAD实际上就等于派减去两倍的四分之派减阿尔法绝对值整理出来是二分之派加2阿尔法。而当阿尔法大于四分之派小于派的时候，我也能整理出来角CAD等于2分之3派减2阿尔法。不过不论上面这哪种情况，我们都能得出角CAD正弦值等于cos 2阿尔法的绝对值，从而表示出三角形的面积的代数式解出K的值。三角形ACD的面积也可以采用割补法，也就是铅锤铅法来做。那大家想一想，从三角形ACD的哪个顶点做铅垂线球面，你会比较简单呢？由于BC直线方程已知，所以我们可以直接以D点作铅垂线求面积会比较简单。解答过程见下法一和法十均用的是直线方程。我们知道本题题干中实际有两个原动，点点B和点C所以我们也可以尝试设点的参数方程。但是直线点B和点C是直线和椭圆联立得到的那我们是首先一个问题是我们是设椭圆的参数方程，还是直线的参数方程呢？回到我的目标，我的目标是要求三角形ACD的面积，我们要想要想表示出三角形AC的面积。通过对比发现，我们发现设直线参数方程求面积会比较简单。法十一我们先设直线的标准参数方程，先设出点BC的点C的坐标，然后且满足椭圆的方程，我们很容易得到R1R2满足的关系式，并能写出来三角CAD等于cos 2F的绝对值。所以我们会发现，如果说的是真正的标准参数方程，我们求面积的时候，选择面积公式，选择二分之AB3C会比较简单，也就是三角形ACD面积等于二分之ACB乘以AB再乘以3角CAD后续计算如下。那如果设的是直线的一般参数方程，我们应该如何选择呢？同样的先设出BC的坐标，满足椭圆方程，得出T1T2满足关系。这时候我们发现求三角形ACD面积，我们选择以AC为底，求面积会比较简单。通过刚才分析我们发现设的参数不同，我们选择面积也要有所不同。我们要根据参数不同来选择合适的面积，来优化我们的。计算过程。把一到法十二。不论是通法还是优法，我们在写题过程中一定要步步为营，多思少算。为了体现北京高考多思少算的命题特点，我将试题做如下三个面试。面试一改成条件满足的是AB长度等于AC长度，求K的值法一。因为AB长度等于AC长度，我们通过灵活运用应用弦长公式直接得出来是满足根号下一加K方乘以X1减1的绝对值，等于根号下一加K方乘以X减一的绝对值。整理得出X一减的绝对值等于X2减1的绝对值，从而得出K的值等于-4分之3。我们再回到题干，AB等于AC的长度是共线的斜线段值，共线的斜线段长度相等，我们把它转化成贡线的长度之比等于一。我们可以构造直角三角形，把共线的斜线段之比转化为平行坐标轴的线段之比，从而直接得出X一减一的绝对值等于X2减1绝对值。这里边利用了三角形的相似，我们可以进一步集合转化。因为AB等于AC点BAC3点共线，那只能说明点A是BC的中点，所以可以直接得出X1加X2等于2，所以K等于-4分之3。便式二将题干中面积之差的绝对值等于8分之5改为便式为是否存在K满足两三角形面积相等，若存在，求出K的值，若不存在，说明理由有同学面积公式三角形ABQ和3角形Q分别以ABAC为底，则高同高得出由面积相等得出AB的长度等于AC的长度，所以K等于-4分之3就是B一的答案。大家想一想这种对吗？我们用作图工具来看一下，当K等于-4分之3的时候，我们发现CD的乘CD的直线方程是Y等于X减1.7和OA直线是平行的。也就是说不存在点Q或者说不存在三角形ABQ和三角形ACQ，所以这道题应该是不存在的。我们还可以用几何转换的方式来说明这一结论。因为对称性，我们把两三角形面积之差的绝对值转换成三角形ACD的面积，也就是三角形ACD的面积为零。锐角三角形ACD面积为0，实际上说明的是ACD3点共线。又因为ABC3点共线，所以ABCD4点共线。又因为点B关于Y等于X对称点为点D我们能得出BD的斜率为负一，也就是BC的斜率为负一。这个时候与题目的条件K不等于正负一是矛盾的，所以不存在K满足三角形ABQ和三角形ACQ的面积相等。当然我们从图形中可以发现K等于负一的时候，这个时候QQ和ABC是共线的。也就是说K等于负一的时候依然不存在三角形ABQ和三角形ACQ便是3。将题目中的椭圆内的点A11辨识为椭圆外的点A22，并将面积之差变成面积之和，右面改成2分之13角形ABD。解答过程与高考题几乎类似。由于点A在椭圆外，所以我们通过几何转化三角形ABQ加上ACQ的面积之和等于ACD，从而得到三角形ACD的面积等于2分之13角形ABD的面积。而三角形ABD和ACACD分别以ACAB为底边，为底边求面积我们转化成得出来是AC长度等于2分之1AB的长度。又因为ABC3点共线，所以点C是AB的中点。这个时候整理得到的是X1加2等于二倍的X2。这个时候我们发现我们不能用用韦达定理，但是我们可以把它整试着进行整理变形，令U一等于X1减2，U2等于X2减2。我们能得出U一等于二倍的U2，并且U1加U2等于三倍的U2，U1乘U2等于2倍U2方，所以我们能整理得出U1加U2的平方比上U1乘U2等于2分之9，从而整理得出K等于6加减2分之3倍的根号15。多思少算一直是近几年北京解析几何的一个特点之一。所以在今后的学习中，我们要几何特征优先，以形注注数。北京卷子的解析几何重点考察解析几何的本质特点，要求学生灵活的把几何问题处理成代数问题。因此在平时学习过程中要有意识的积累常见的几何转化策略。2、合理设元消元，简化运算。3、巧用弦长公式韦达定理以上是我全部内容，谢谢各位倾听，请批评指正。