1.3 解直角三角形 第3课时（教学课件）数学新教材浙教版九年级下册

1.3解直角三角形 第三课时 解直角三角形应用（方位角与视角） 第一章 解直角三角形 浙教版（新教材）·九年级下册 学 习 目 标 1 2 3 用数学眼光观察：能从方位角、仰角、俯角等实际生活情境中，识别直角三角形模型，区分仰角、俯角、北偏东 / 北偏西等方位角，发现实际问题中的边角数量关系，感受解直角三角形在航海、测高、工程测量中的现实价值。 用数学思维思考：经历将实际问题抽象为几何图形的过程，学会添加辅助线构造直角三角形；能利用锐角三角函数、勾股定理解直角三角形，体会转化思想、数形结合思想，发展逻辑推理与运算能力。 用数学语言表达：能规范画出测量问题示意图，清晰表述已知条件、边角关系，完整书写解直角三角形应用题的解题步骤，规范作答，能解释测量结果的实际意义。 知识回顾 （2）两锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90°. （3）边角之间的关系： （1）三边之间的关系： （勾股定理）. A B a b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 知识回顾 练一练 1、坡角：坡面与 面的夹角. 2、坡比：坡面 与 距离的比.（也叫坡度） 3、坡比就是坡角的 三角函数. 坡度越大，代表 越大，坡面越 . 水平 高度 水平 正切 坡脚 陡 知识回顾 练一练 解：如图，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DE⊥BC,垂足为E. ∵AD∥BC，∴AF=DE. 在Rt△ABF中,∠ABF=45°，AB=8 m, ∴AF=AB·sin 45°=8× m. 在Rt△DEC中，tan∠DCE=, ∴∠DCE=30°,∴CD=2DE=8(m). 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,其中AD∥BC,迎水坡AB的坡∠ABC=45°,背水坡CD的坡比为1∶,迎水坡AB的长为8 m,则背水坡CD的长为(　　) A.6 m　　　　B.8 m　　　　 C.4 m　　　　D.8 m D　 导入新课 某海防哨所 O 发现在它的北偏西 30°，距离哨所 500 m 的 A 处有一艘船向正东方向航行，经过 3 分钟后到达哨所东北方向的 B 处。 海防哨所监测海上船只，高楼测量对面建筑高度，生活中无法直接测量的距离、高度，我们如何计算？ 利用角度，构造直角三角形，用三角函数计算，把实际问题转化为解直角三角形的几何问题 O 北 东 45° 30° C 500 m A B 你能求出船从 A 处到 B 处的距离吗？ 新知探究 探究点1 方位角问题（航海模型） 1：方位角如何规定的？ 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角。 O 北 东 西 南 北偏东 30°” （1）方位角描述方向，基准是什么？ 正北、正南方向。 （2）“北偏东 30°” 怎么画？ 30° （3）西北方向呢？南偏西45°是什么方向？ 45° 西北 45° 西南 东北方向为北偏东 45°， 南偏西45°是西南方向 方向角通常都写成：北偏……，南偏……的形式. 典例分析 探究点1 方位角问题（航海模型） 讨论： （1）利用三角函数解答问题的主要步骤是什么？ 例1：某海防哨所 O 发现在它的北偏西 30°，距离哨所 500 m 的 A 处有一艘船向正东方向航行，经过 3 分钟后到达哨所东北方向的 B 处。求船从 A 处到 B 处的航速 (精确到 1 km/h) ①画示意图； ②寻找 Rt△，如果没有，可以通过做垂直进行转化 ③根据直角三角形中变与角度关系分别求出相关量； （2）试一试，画出符合本题的示意图 O 北 东 45° 30° C 500 m A B （3）图中有直角三角形吗？ Rt△AOC Rt△BOC 典例分析 探究点1 方位角问题（航海模型） （5）Rt△AOC 中已知边与角是什么？可以求出哪条边？ 例1：某海防哨所 O 发现在它的北偏西 30°，距离哨所 500 m 的 A 处有一艘船向正东方向航行，经过 3 分钟后到达哨所东北方向的 B 处。求船从 A 处到 B 处的航速 (精确到 1 km/h) 斜边OA=500m，∠AOC=30°，利用正余弦可求出直角边AC,OC O 北 东 45° 30° C 500 m A B （6）Rt△BOC 中已知边与角是什么？可以求出什么？ ∠BOC=45°,已求出的边OC，可以求出CB （4）求船从 A 处到 B 处的航速需要求出那条线段的长？与已知直角三角形有什么关系？ AB=AC+CB 典例分析 探究点1 方位角问题（航海模型） 例1：某海防哨所 O 发现在它的北偏西 30°，距离哨所 500 m 的 A 处有一艘船向正东方向航行，经过 3 分钟后到达哨所东北方向的 B 处。求船从 A 处到 B 处的航速 (精确到 1 km/h) O 北 东 45° 30° C 500 m A B 解：根据题意画出示意图，如图. 在Rt△AOC中，OA=500m，∠AOC=30°， ∴AC=OAsin∠AOC=500×sin30° =500×=250(m)， OC=OAcos∠AOC=500×cos30° =500×=250(m). 在Rt△BOC中，∠BOC=45°，∴BC=OC=250(m)， ∴AB=AC+BC=250+250=250(1+)(m). ∴船的航速为： 250(1+)÷3×60≈14000(m/h)=14(km/h) 答：船从A处到B处的航速约为14km/h. 规范解答 题目距离单位是米，速度单位 km/h，计算时要注意单位统一 新知探究 探究点1 方位角问题（航海模型） 方法总结： (1)方向角通常以南北线为起始线， 习惯说“南偏东(或西)”或“北偏东(或西)”. (2)含有45°角的方向角是特殊的一类，可直接描述为： 北偏东45°→东北方向；北偏西45°→西北方向； 南偏东45°→东南方向；南偏西45°→西南方向. (3)各观测点的南北线互相平行，通常借助此性质进行角度转化. (4)方向角是小于90°的角. 模型：过观测点作正北、正东十字坐标； 遇不同方位，作水平线 / 竖直线，分割成两个相邻直角三角形，其中两三角形的公共边为桥梁。 新知探究 探究点2 仰角、俯角问题 仰角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角； 俯角：在进行测量时，从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 1.说一说仰角、俯角如何规定的？ 水平线 铅垂线 仰角 俯角 视线 视线 仰角 A B C D E F 35°12′ 43°24′ 32.6m 典例分析 探究点2 仰角、俯角问题 例2 .如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12′，点C的俯角为43°24′，求这两幢楼的高度(精确到0.1m). 讨论：（1）仰角、俯角的角顶点在哪里？ 观测者的眼睛（仪器位置），在水平线上。 （2）俯角是视线向下，它和图内哪个角相等？依据是什么？ 内错角相等， ∠ACB=∠FAC=43°24′ 水平线平行，俯角 = 下方的内错角。 （3）两个不同高度楼房，怎么构造直角三角形？ 过矮楼顶端作高楼的水平线（辅助线 DE⊥AB），构造 Rt△AED与Rt△ABC。 （4）矮楼 CD 高度怎么求？ 高楼 AB 减去 AE，就是矮楼 CD 高度。 A B C D E F 35°12′ 43°24′ 32.6m 典例分析 探究点2 仰角、俯角问题 例2 .如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12′，点C的俯角为43°24′，求这两幢楼的高度(精确到0.1m). 解由题意得：AF ∥ FD ∥ BC ∴ ∠ACB=∠FAC=43°24′， ∠ADE=∠DAF=35°12′， 在Rt△ABC中，∴AB=BC×tan∠ACB =32.6×tan43°24′≈30.83≈30.8(m). 在Rt△AED中，DE=BC=32.6(m)， ∴AE=DE×tan∠ADE =32.6×tan35°12′≈23.00(m). ∴ CD=AB-AE≈30.83-23.00 =7.83≈7.8(m). 答：两幢楼高分别约为30.8m和7.8m. 归纳总结： (1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，可简记为“上仰下俯”，仰角和俯角都是锐角. (2)在实际问题中，常利用平行线的性质，将仰角或俯角放在直角三角形或转化到直角三角形中. 新知探究 探究点3 解直角三角形解决测量问题 1.总结解题通用四步法 步骤 名称 操作要点 ① 画图 根据题意画出示意图，标出观测点、目标点、已知边长、仰角/俯角/方位角 ② 构造 Rt△ 作辅助线（垂线），分割图形，标记直角，找出或设未知数表示边 ③ 计算 选用锐角三角函数、勾股定理列式计算；多个三角形时，利用公共边列方程 ④ 作答 写出结论，带上单位，按题目要求保留近似值 新知探究 2.测量物体的高度的常见模型： (1)利用水平距离测量物体高度 (双直角三角形) 模型 需测量数据 数量关系 原理 α,β,水平距离n 直角三角形的边角关系 α,β,水平距离n 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 探究点3 解直角三角形解决测量问题 新知探究 (2)测量底部可以到达的物体高度 模型 需测量数据 数量关系 原理 测量仪高 m，水平距离n，倾斜角α h=m+n•tanα 矩形的性质与直角三角形的边角关系 水平距离 n， 仰角α，俯角β tanaβ) 探究点3 解直角三角形解决测量问题 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 典例分析 例4.湖中小岛上码头 C处一名游客突发疾病，需要救援.位于湖面 B 点处的快艇和湖岸A 处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头 C 接该游客，再沿 CA 方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A 的北偏东30°方向上，B在A 的北偏东60°方向上，且在 C 的正南方向 900米处. (1)求湖岸 A 与码头C 的距离(结果精确到 1 米，参考数据： (2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400 米/分.在接到通知后，快艇能否在 5分钟内将该游客送上救援船? 请说明理由.(接送游客上下船的时间忽略不计) 解:(1)如图,过点 A 作AD⊥CB, 交 CB 的延长线于点 D,则∠ADC=90°.  由题意得∠NAC=30°,∠NAB=60°. ∴∠CAB=30°,∠BAD=30°. ∵NA∥CB, ∴∠C=∠NAC=30°. ∴AB=BC=900. ∴BD=450. ∴CD=900+450=1350. ∵在 Rt△ACD中： 答:湖岸 A 与码头C 的距离约为 1 559 米. 典例分析 例4.湖中小岛上码头 C处一名游客突发疾病，需要救援.位于湖面 B 点处的快艇和湖岸A 处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头 C 接该游客，再沿 CA 方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A 的北偏东30°方向上，B在A 的北偏东60°方向上，且在 C 的正南方向 900米处. (1)求湖岸 A 与码头C 的距离(结果精确到 1 米，参考数据： (2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400 米/分.在接到通知后，快艇能否在 5分钟内将该游客送上救援船? 请说明理由.(接送游客上下船的时间忽略不计) (2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.理由如下： 快艇和救援船5分钟一共可行驶的路程为： 5×150+5×400=2750, 快艇和救援船实际行驶的路程和为： 1559+900=2459. ∵2750>2459, ∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船. 19 新知巩固 课内练习，教材 P23 1.在离铁塔 150 m 的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高 AD 为 1.52 m。求铁塔高 BC（精确到 0.1 m）。 解：过 A 作于 E， ∴， 在中 答：铁塔高 BC 约 88.5 m。 新知巩固 2. 如图是某少年宫局部景点示意图，蹦蹦床 A 在“正大门”B 的北偏东 30° 方向，在“小舞台”C 的正北方向；“小舞台”C 在“正大门”B 的东南方向 60 m 处。问： “小舞台”和“蹦蹦床”之间相距多少米？“蹦蹦床”距离“正大门”多少米？ 解：设 AC 交东西水平线于 D， ， 在中， 在 中， 答：小舞台与蹦蹦床相距，蹦蹦床距离大门 m（≈84.9 m）。 21 新知巩固 3.在地面上的 A 点测得树顶端 C 的仰角为 30°，沿着向树的方向前进 6 m 到达 B 点，在 B 点测得树顶端 C 的仰角为 45°。画出示意图，并求出树高 (精确到 0.1 m)。 解：如图所示图：CD⊥地面 AD，A、B、D 共线， 设 由题意得： AB=6 m， 在中， 在中， ∴ 答：树高约 8.2 m。 ┓ A B C D 45˚ 30˚ 6m 拓展提升 1.如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度。 （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04） 拓展提升 1.如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度。 解：（1）由题可知，在Rt△AGM中， AM＝13分米，MG＝12分米，AG⊥GM， ∴AG==5（分米）， ∵AB＝19分米， ∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米）， ∴MN＝BG＝14（分米）， ∴该连衣裙MN的长度为14分米， 拓展提升 1.如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04） （2）如图2，过M作MK⊥AB于K，  ∵在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°， ∴AK＝AM•cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米）， ∵AB＝19分米， ∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米）， ∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米）， ∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米． 1.（2025•长春）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A．B两点之间的距离为（　　）  A．（m﹣n）sinα米 B．米 C．（m﹣n）cosα米 D．米 真题感知 解：依题意，在Rt△ABC中， BC＝（m﹣n）米， ∠ACB＝90°，∠BAC＝α， ∴AB＝＝， B 真题感知 2.（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 　 m（结果保留根号）． 解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D，  由题意得：EF∥AB， ∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝90m， ∴AD＝＝30（m）， 在Rt△BCD中，BD＝＝90（m）， ∴AB＝AD+BD＝120（m）， ∴湖泊两端A，B的距离为120m， 120 课堂小结 知 识 总 结 （1）学会利用仰角、俯角、方位角，结合锐角三角函数，解决航海、建筑物测高、距离测量的实际问题； （2）识别图形，构造直角三角形 图形本身已有直角：直接选取 Rt△，运用三角函数计算边长。 图中无直角：作垂线（高），把斜三角形、四边形等组合图形分割成若干直角三角形，建立边角关系。 （3）三角函数选用思路 已知角求边：选合适三角函数列方程； 已知两边求角：用三角函数求角度，多用于航海方位判断 模型一 模型二 模型三 模型四 应用三角函数解决问题的常见基本模型： A D B E C 模型五 知 识 总 结 当含有两个（或两个以上）直角三角形时，若某个三角形不能求解，可考虑设未知数，找出合适的数量关系，列方程求解 课堂小结 题型 图形特点 解题思路 建筑物测高 两个观测点，测楼顶仰角；常含仪器高度 构造上下两个直角三角形，仪器高度为水平线段，用公共高建立方程 航海问题 轮船航行，给出方位角，求距离/有无触礁危险 以观测点画正北正南基准线，作垂线拆分 Rt△； 触礁问题：求点到直线最短距离（垂线段）和半径比较 距离测量 两点间有障碍物，不能直接测量 利用仰角、俯角，构造直角三角形间接求水平距离 课堂小结 知 识 总 结 常见题型 课堂小结 方 法 总 结 ►建模思想：把文字描述的实际场景，去掉无关现实信息，抽象成几何图形（点、线段、角），将实际测量问题转化为解直角三角形几何题。 ►转化思想：遇到斜三角形、叠加复合图形，通过作高、作垂线，拆分成多个直角三角形；未知线段常设未知数，利用两个直角三角形的公共边建立方程求解。 ►数形结合：先画图，标注已知长度、角度，直观找到边角关系，避免单纯靠文字空想造成角度看错 课堂小结 易 错 提 醒 （1）仰角俯角顶点在观测仪器水平线，不是地面； （2）方位角基准是正北正南，不是正东正西； （3）单位统一（米 / 千米，分钟 / 小时）； （4）近似值按题目要求保留，答句必须带单位。 课后练习 1.小慧的眼睛离地面的距离为 1.6 m，她用一块含 60° 角的三角尺测量广场上的旗杆高度，量得小慧与旗杆之间的距离为 10.6 m，求旗杆的高度 (精确到 1 m)。 解：过 B 作水平线交旗杆于 C， BC=10.6 m， 在 中， 旗杆高度 答：旗杆高约 20 m。 课后练习 2.小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的俯角，（如图所示），两幢楼之间的距离为 32 m。问：大厦有多高？小玲家又有多高 (结果精确到 1 m)？ 解：设小玲观测点 A，作水平线交大厦于 C，AC=32 m。仰角∠BAC= 46°，俯角∠DAC= 29° 在中： 在中： 大厦总高：； 小玲家高度: 答：大厦高约 51 m，小玲家楼高约 18 m。 课后练习 3.广场上空有一个气球 A，地面上点 B,C,D 在一条直线上，BC=20 m。在点 B,C 分别测得气球 A 的仰角为 45°，为 56°。求气球 A 离地面的高度 AD (精确到 0.1 m)。 解：设。 在中，∵ ∴， ∴ 答：气球离地面高度约 61.2 m。 课后练习 4.从点 A 看一山坡上的电线杆 PQ，观测杆顶端点 P 的仰角是 45°，向前走 6 m 到达 B 点，测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60° 和 30°。求该电线杆 PQ 的高度 (精确到 0.1 m)。 解：延长 PQ 交地面于 D，设。 在中， ∴ 在中， ∴ ∵， ∴ ∵在∴ ∴ 解得： D ∴ 答：电线杆 PQ 高约 9.5 m。 36 课后练习 5.两个观察者从 A,B 两地观测空中 C 处一个气球，分别测得仰角为 45° 和 60°。已知 A,B 两地相距 100 m，当气球沿与 AB 平行的路线飘移 20 s 后到达点 C'，在 A 处测得气球的仰角为 30°。求： (1) 气球飘移的平均速度 (精确到 0.1m/s). (2) 在 B 处观测点 C' 的仰角 (精确到度). 解：(1) 过 C 作于 D，设。 在中，∴ 在中， ∴ ∵， ∴ 解得： E 过作延长线于 E，则。 ， 速度(2) 课后练习 5.两个观察者从 A,B 两地观测空中 C 处一个气球，分别测得仰角为 45° 和 60°。已知 A,B 两地相距 100 m，当气球沿与 AB 平行的路线飘移 20 s 后到达点 C'，在 A 处测得气球的仰角为 30°。求： (1) 气球飘移的平均速度 (精确到 0.1m/s). (2) 在 B 处观测点 C' 的仰角 (精确到度). E 解：（2）由题意得 B 到垂足 E 的距离： ∵ ，把代入 ∴ ，∴ 答：(1) 平均速度约 8.7 m/s；(2) 仰角约 41°。 课后练习 1. 原理解释 测倾仪：度盘、铅锤、支杆。 支杆竖直，铅垂线永远竖直向下；度盘直径 PH 水平。 转动度盘对准目标，水平线 PH 与视线夹角 = 铅垂线与度盘 0° 刻度夹角（同角的余角相等），铅锤指示读数就是仰角 / 俯角。 2. 校园测量实施方案 目标：测量校园旗杆高度 ⑴器材：自制测倾仪、卷尺、记录本 ⑵操作： ① 将测倾仪放在地面，测量测倾仪支架高度 （仪器水平视线离地面高度）； ② 站在离旗杆底部水平距离的位置，转动度盘对准旗杆顶端，读出仰角； 测倾仪设计方案 rong guo (rg) - 课后练习 ⑶示意图： （1）画旗杆，地面测点 D，仪器视线水平线 CE， 在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α; (2)量得测角仪的高度CD=a； (3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b. 利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为 。 2. 校园测量实施方案 目标：测量校园旗杆高度 (4)计算：过点C作CF⊥AB于点 F,由题意得 CF=DB=b, ∵tan∠ACF=AF, ∴AF=tan∠ACF×CF=btana, ∴AB=AF+FB=AF+CD=a+btanα 测倾仪设计方案 课后练习 4. 测量报告模板 校园旗杆高度测量报告 1.测量示意图：（画出图形标注字母、已知量） 2.操作过程：简述测倾仪使用、测距、测仰角步骤 3.测得数据： 仪器高度 = m；测点到旗杆水平距离 = m；仰角 =__ ° 4.计算过程： 5.最终结果：旗杆高度≈ m 测倾仪设计方案 谢谢聆听 $