1.2 锐角三角函数的计算 第1课时（教学课件）数学新教材浙教版九年级下册

1.2锐角三角函数的计算 第一课时 利用计算器求三角函数值 第一章 解直角三角形 浙教版（新教材）·九年级下册 学 习 目 标 1 2 3 用数学眼光观察：结合楔子打木桩、引桥、测河宽等实际情境，感知非特殊锐角三角函数值在现实工程、测量问题中的应用，认识科学计算器是求解一般锐角三角函数值的工具。 用数学思维思考：经历使用科学计算器求锐角三角函数值的探究过程，理解直角三角形边角关系，能借助三角函数建立方程求解直角三角形边长，体会转化思想，发现锐角三角函数随角度变化的增减规律。 用数学语言表达：能规范口述、书写三角函数的计算过程，准确表达计算器操作步骤，规范写出解直角三角形的解题格式，能解释实际问题中三角函数式子的几何意义。 知识回顾 同学们，上一节课我们学习了锐角三角函数的定义，说一说你是如何理解三角函数？ 在，， ，， C A B 对任意一锐角 对应 边长比值 比值取名 比值取名 比值取名 30° 45° 60° sin α cos α tan α 三角函数 1 三角函数值 α 知识回顾 特殊角的三角函数值 练一练 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点B，C分别在地面OP和墙面OQ上，且边AB∥OQ，若AC＝1，∠ABC＝α，则CO的长为（　　） A． B． C．cosα×tanα D． 解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α， ∴BC， ∵AB∥OQ， ∴∠BCO＝∠ABC＝α， 在Rt△BOC中，AC＝1， OC＝BC•cos∠BCOcosα， A 知识回顾 知识回顾 练一练 2.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣ =0，则α+β=　 　． 解:∵|sinα﹣ =0 ， ∴sinα= ， tanβ=1， ∴α=30°，β=45°， 则α+β=30°+45°=75°． 75° 导入新课 问题：已知圆弧形公路弯道的两端相距 200 m，半径 1km，你能求出弯道的长吗？ 思考：我们知道的三角函数值可以利用特殊直角三角形的边长关系求出，如果角度是这类不是特殊角的锐角，怎么求它的三角函数值呢？ 弯道放大 新知探究 探究点1 用科学计算器求锐角三角函数值 问题1：如图，将一个直角三角形形状的楔子(Rt△ABC) 从木桩的底端点P沿着水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)，那么木桩上升多少厘米? A B C ∟ 新知探究 探究点1 用科学计算器求锐角三角函数值 问题1：如图，将一个直角三角形形状的楔子(Rt△ABC) 从木桩的底端点P沿着水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)，那么木桩上升多少厘米? A B C ∟ A B C ∟ N ∟ （1）观察图形，中，∠B=𝟏𝟎°，BN等于多少？木桩上升高可以用哪条线段的长表示？ 中，， ， 线段表示木桩上升高度，是∠B的对边 新知探究 探究点1 用科学计算器求锐角三角函数值 问题1：如图，将一个直角三角形形状的楔子(Rt△ABC) 从木桩的底端点P沿着水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)，那么木桩上升多少厘米? A B C ∟ N ∟ （2）中，，如何表示出∠B的三角函数？ sinB; cosB; sin10° ; cos10° ; 新知探究 探究点1 用科学计算器求锐角三角函数值 问题1：如图，将一个直角三角形形状的楔子(Rt△ABC) 从木桩的底端点P沿着水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)，那么木桩上升多少厘米? （3） 中，，，求木桩上升高度，可以选哪一个三角函数关系式？如何计算？ A B C ∟ N ∟ ∵在 中，∠PNB=90°， ∴ = ∴ 不是特殊角，等于多少？ 对于任意锐角，可以利用科学计算器，求出三角函数值。 科学计算器可以计算任意锐角的正弦、余弦、正切值。 计算器有角度模式（DEG），计算前要确认单位是 “度”。 新知探究 探究点2 用科学计算器求锐角三角函数值的方法 问题 1：如何用计算器求角度为整数度数的三角函数 示例1：计算 先按函数键 输入角度： 按等号=：显示0.5 计算 写出计算结果 与用几何法计算的结果相同 新知探究 探究点2 用科学计算器求锐角三角函数值的方法 问题 1：如何用计算器求角度为整数度数的三角函数 。 示例1：计算 先按函数键 输入角度： 按等号=：显示 计算 写出计算结果 一般小数点后取四位， 即精确到0.0001 新知探究 探究点2 用科学计算器求锐角三角函数值的方法 问题 2：角度含度分秒，用计算器如何计算三角函数？ 计算器有度分秒按键，直接输入， 再按， 结果：。 示例2：计算，角度不是整度数，有分，计算器怎么处理？ 也可以以度分秒为单位的数据时，角度含度分秒化成以度为单位来进行计算． 新知探究 探究点2 用科学计算器求锐角三角函数值的方法 一种比较普遍的按键方法如下表： 计算器的型号不同，按键方法也不一定相同． 问题 2：角度含度分秒，用计算器如何计算三角函数？ 新知探究 探究点2 用科学计算器求锐角三角函数值的方法 本套教科书涉及 三角函数求值问题， 除特殊角或明确说明 外，一般可用计算器 求值 小结：计算器求三角函数通用步骤： ① 确认计算器处于角度 DEG 模式； ② 按下键； ③ 输入锐角（整度数 / 度分秒形式）； ④ 按等号，读取结果，按要求四舍五入。 结 小 纳 归 典例分析 例1用计算器求下列三角函数值：（精确到0.000 1） sin60°，cos70°，tan45°，sin29.12°，cos37°42′6″，tan18°31′ 探究点2 用科学计算器求锐角三角函数值的方法 解： 先换算： 换算： 注意：计算cos37°42′6″，tan18°31′可以直接按键 新知探究 探究点3 利用三角函数计算，解决直角三角形边长问题 如图，将一个直角三角形形状的楔子(Rt△ABC) 从木桩的底端点P沿着水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)，那么木桩上升多少厘米? 解：由题意得，当楔子沿水平方向前进5cm， 即BN＝5cm时，木桩上升的距离为PN． 在Rt△PBN中， ∵tan10°=， ∴PN＝BN·tan10°=5tan10°(cm). ∵ ， ∴ 答：木桩上升约 0.8815 厘米。 A B C ∟ N ∟ 新知探究 探究点3 利用三角函数计算，解决直角三角形边长问题 结 小 法 方 （1）确定三角函数关系式： 在直角三角形中根据已知角与所求变大关系确定三角函数关系式， （2）列出计算表达式， （3）计算器求出角的三角函数值，代入表达式计算出边长 注意：应用三角函数关系式的前提是直角三角形 典例分析 例 2：如图，，，，，求的周长（精确到 0.1cm）和面积（精确到 0.1）。 解：在中， ， 周长 提示：计算器求得： 典例分析 例 2：如图，，，，，求的周长（精确到 0.1cm）和面积（精确到 0.1）。 面积 ， 答：周长约 28.7cm，面积约 33.8。 注意： 1.书写格式，先写三角函数定义，再代入； 2.计算器结果多保留几位，最后再取舍，减少误差。 解：在中， ， 典例分析 例3、如图，河两岸互相平行，小明和小慧要测量河的宽度，小明在点测得对岸河边的树正好在他的正北方向，小慧站在小明正东方向的点，测得，两点之间的距离是。根据上述测量数据，你能求出河的宽度吗 (精确到)? 解：由题意，是直角三角形， ， ； ∴ ∴AG=AB⋅tan70° ∵tan70°=2.7475 ∴AG=AB⋅tan70° =5×2.7475 =13.7375≈13.7 ( m) 答：河宽约 13.7 米。 新知巩固 1 计算下列各式（精确 0.0001） (1) 补充知识点： (2) (3) 补充： ， 解： ， 原式 解： ， 原式 解： ， 新知巩固 2.求下列余弦值（精确到 0.000 1），并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接.： 解： 从小到大： 小结：当α为锐角时，余弦值随着角度的增大而减小， 即cosα的值随着锐角α的增大而减小． 拓展提升 1.（2023·青海西宁·中考真题）在中，，，，则的长约为 ．（结果精确到．参考数据：，，） 解：在中，， ，， ∵, ∴， 则， 此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 分析：因为在中 是的对边，AB是斜边，所以可以选正弦关系式 解：如图所示， ∵且四边形为平行四边形， ∴，， 又∵, ∴， ∴， ∴, 又∵， ∴ mm． 拓展提升 2. 高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则 ． 本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角函数关系求值． 15 真题感知 1.（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． H ∟ 知识与技能 ① 科学计算器可以求任意锐角的值，角度可以是小数度或者度分秒； ② 直角三角形中，已知一边 和 一锐角，可用选用合适的三角函数关系式求其余边长，计算周长、面积； ③ 锐角三角函数增减性： 锐角增大，增大；减小。 课堂小结 思想方法 课堂小结 ① 建模思想： 把实际问题转化为直角三角形模型； ② 工具思想： 使用计算器解决非特殊角三角函数计算； ③ 转化思想： 利用三角函数边角转化，把几何边长计算转化代数计算。 易 错 提 醒 课堂小结 ① 计算器计算前，确认模式是角度 DEG，不是弧度； ② 度、分、秒换算输入不能出错； ③ 近似值，先多保留小数，最后一步再四舍五入，减少误差； ④ 分清对边、邻边，不要混淆公式。 课后练习 A 组第 1 题 求三角函数值（精确 0.0001） (1) (2) (3) 解： 解： 解： 课后练习 2. 求正切值，精确 0.0001，用＜连接 解： 从小到大排序： 课后练习 3.计算：（精确 0.001） 解：∵ ∴ 课后练习 4.计算(1)（精确 0.001） (2) 解：(1)： (2) ≈ 方法一 课后练习 4.计算(1)（精确 0.001） (2) 解：（1）， ∴ （2）∵ ， ∴ 方法二 课后练习 5.某河道上要建造一座公路桥，为了使船只能顺利通过，桥面离水面的高度 h不小于 3 米，如果要求引桥的坡角α不超过 15°，那么引桥的水平距离l至少要多长（精确 0.1m）？ 解：∵坡角，竖直高度，水平距离满足， ∴。 当，时，水平距离最短。 ∵ 答：引桥水平距离至少为 11.2m。 B 组 谢谢聆听 $