1.2 锐角三角函数的计算 第2课时（教学课件）数学新教材浙教版九年级下册

1.2锐角三角函数的计算 第二课时 已知三角函数值求锐角 第一章 解直角三角形 浙教版（新教材）·九年级下册 学 习 目 标 1 2 3 用数学眼光观察：能识别 “已知三角函数值求锐角” 的现实情境（弯道弧长、扶梯倾斜角、滑梯坡角等），发现直角三角形边角之间的互求关系，感受反三角函数、弧长公式在工程测量中的应用。 用数学思维思考：经历利用计算器由三角函数值求锐角的探究过程，理解是三角函数的逆运算；能将实际问题转化为解直角三角形模型，体会转化思想；会辨析锐角三角函数的相关关系式真假，发展逻辑推理能力。 用数学语言表达：能规范表述计算器求锐角的按键步骤，会将计算器算出的十进制度数转化为度分秒形式；能完整书写解直角三角形、弧长计算的解题过程，准确表达角度结果（精确到1'或1″）。 知识回顾 我们学习了利用计算器，已知锐角，求它的三角函数值，回顾一下已学知识 1.在时，两个恒等式： ， 2.锐角三角函数增减性： 锐角越大，正弦值越大，余弦值越小，正切值越大。 3.直角三角形边角关系： 。 2.梯子(长度不变)与地面所成的锐角为A,关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是 (　　) A.sin A的值越大,梯子越陡 B.cos A的值越大,梯子越陡 C.tan A的值越小,梯子越陡 D.陡缓程度与∠A的函数值无关 1. 下列式子中，不成立的是 ( ) A．sin35°= cos55° B．sin30°+ sin45°= sin75° C． cos30°= sin60° D．sin260°+ cos260°=1 B 练一练 知识回顾 3. 已知：sin232°+ cos2α =1，则锐角 α = .　 58° 4. 用计算器比较大小：20sin87°___ tan87°. ＞ A 导入新课 如图，为了方便行人，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少？ 转化为几何问题，如图,在Rt△ABC中, 那么∠A是多少度呢? 在生活和生产实际中经常遇到这样的问题：已知一个角的三角函数值，要求这个角的度数，这类问题同样可以通过计算器来解决。 此时用到“”,“”,“”键的第二功能“”，“”，“”． —— 已知三角函数值求锐角。  例如 按键的顺序1 按键的顺序2 显示结果 ∠A的值 SinA=0.9816 Shift Sin 0 . 9 8 1 6 = 2ndf Sin 0 . 9 8 1 6 = Sin-1=0.9816 =78.991 840 39 ∠A≈78.991 840 39° CosA=0.8607 Sh ift Cos 0 . 8 6 0 7 = 2ndf Cos 0 . 8 6 0 7 =  coS-1=0.8607 =30.604 730 07 ∠A≈30.604 73007° tanA=0.1890 Shift tan 0 . 1 8 9 0 = 2ndf tan 0 . 1 8 9 0 =  tan-1=0.189 0 =10. 702 657 49 ∠A≈10.702 657 49° tanA=56.78 Sh ift tan 5 6 . 7 8 = 2ndf tan 5 6 . 7 8 =  t an-1=56.78 =88.991 020 49 ∠A≈88.991 020 49° 由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用. 新知探究 探究点1 认识反三角函数按键，由三角函数值求锐角 已知三角函数值求锐角计算器按键方法： 新知探究 探究点1 认识反三角函数按键，由三角函数值求锐角 引例：已知，求锐角。怎么操作计算器？ 计算器直接给出的是小数度数：， 可以把用度表示的角转化为度、分、秒形式， 方法：先按shift（2ndF），调出第二功能，输入数值 0.2974，按等号。 方法二： 1 度 = 60 分，1 分 = 60 秒 计算也可以进行转化 方法一： 直接按度分秒键，就得到 新知探究 探究点1 认识反三角函数按键，由三角函数值求锐角 由三角函数值求锐角步骤： 1.确认计算器处于角度模式（Deg）； 2.按shift/2ndF，激活； 3.输入三角函数值，等于，得到十进制度； 4.按度分秒转换键，化成 ′ 5.按题目要求取舍，精确到或者。 和利用30°的直角三角形计算结果相同 已知，求锐角，有什么发现？ 结 小 纳 归 新知探究 探究点2 探究锐角三角函数关系式取值 前面我们已经发现锐角三角函数之间的一些关系， 在时， ， 探索下列关系式是否成立（） (1) (2) (3) 当时， （1）当， ，不成立。 举例判断 （2）取，左边； 右边，左右不等，不成立 能给出证明吗? 总结：三角函数等式不能简单代数变形，可以用代入特殊值举反例验证。 新知探究 探究点2 探究锐角三角函数关系式取值 思考：判断下面 3 个关系式，在时是否成立？ (1) 证明:如图，这Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A 为，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a，b，c 由三角函数定义得： = ，= ∴ = + = ∵a+b＞c ∴ ＞1 ∴不成立 ∟ a b c 新知探究 探究点2 探究锐角三角函数关系式取值 思考：判断下面 3 个关系式，在时是否成立？ (2) 证明：如图1，在△ABC中，设AB＝AC＝1，∠BAC＝2α， BD⊥AC ∴ BD=ABsin2α 如图2，在△ABC中，AB＝AC＝1， ∠BAC＝2α，AD⊥BC ∴ BC=2ABsinα ，AD= ABcosα ∴ S△ABC = ×2ABsinα · ABcosα = sinα · cosα， ∴sin2α＝2sinαcosα. ∴不成立 ∟ D ∟ D 如图1 如图2 ∴ S△ABC = AB · sin2α · AC =sin2α， 新知探究 探究点3 结合几何图形，先求三角函数，再反求角度 思考：一段公路弯道呈圆弧形，测得弯道的距离为， 的半径，求弯道的长。（精确到0.1m） ∟ E C ∟ F ∟ (1) 弧长公式，想求弧长，需要先求什么？ 如图因为 的半径已知，根据弧长计算公式，要求弯道弧AB的长，只要求出弧AB所对的圆心角∠AOB的度数。 （2）怎么求圆心角？辅助线怎么做？ 作，等腰三角形三线合一， 平分，平分。 ，。 在，。 （3）现在已知，求，怎么做？ 用计算器算出，。 12 新知探究 探究点3 结合几何图形，先求三角函数，再反求角度 思考：一段公路弯道呈圆弧形，测得弯道的距离为， 的半径，求弯道的长。（精确到0.1m） ∟ E C ∟ F ∟ 解：作OC⊥AB，垂足为C，则OC平分∠AOB. 在Rt△OCB中，BC=AB=100m，OB=1000m， ∵sin∠BOC=. ∴∠BOC， 弧长 思路总结： 几何图形→找直角三角形→写出三角函数→计算器反求角度→代入弧长公式。 13 （3）按键顺序为： 典例分析 例 1. 根据条件，求锐角大小，精确到 (1) (2) (3) 按键：shift，，输入 0.4511，，再转度分秒，得： 按键：shift，，输入 0.7857，，转度分秒，得： 注意： 求正弦值对应的角，用；余弦对应；正切对应，不能混用；看清题目精度：有的精确到，有的精确到。 解：（1）按键顺序为： （2）按键顺序为： 按键：shift，，输入 1.4036，，转度分秒，得 典例分析 例2、定义一种运算： ， ． 例如：当，时， ，则的值为 ． 解： = = = =． 新知巩固 1．已知下列三角函数值，求锐角α，β，γ，的大小（精确到1″）． （1）sinα=0.7083，sinβ=0.9371，sinγ=0.2460． （2）cosα=0.8290，cosβ=0.7611，cosγ=0.2996． （3）tanα=0.3314，tanβ=2.22320，tanγ=31.8182. 解： （1） （2） ，， 新知巩固 2. 在中，，求各锐角（精确到） (1) （1）解：为斜边， 直角三角形两锐角互余： （2）解： (2) ∟ a b c 新知巩固 3. 如图，测得一商场自动扶梯的长l为8m，该自动扶梯到达的高度 h为 5m， 问：自动扶梯与地面所成的角 是多少度（精确到 1′）？ 解：由题意，直角三角形中， 扶梯长是斜边， 高度是的对边。 答：自动扶梯与地面所成的角约为。 拓展提升 1. 已知圆半径， （1）尝试求出圆内接正 12 边形边长。 （2）求正 24 边形，据此观察近似值的变化规律。 分析： ①正六边形单条边对应圆心角，边数翻倍为正 12 边形后，单条边对应圆心角为； ② 取圆心与正 12 边形一条边构成等腰三角形，作高分割为两个全等直角三角形，直角三角形中圆心角为，斜边为圆半径； ③ 利用正弦函数求半边长：，通过计算器求出正弦值，算出正 12 边形边长； ④ 计算正 12 边形周长，代入公式估算； 19 拓展提升 1. 已知圆半径， （1）尝试求出圆内接正 12 边形边长。 （2）求正 24 边形，据此观察近似值的变化规律。 解：如图，已知 正 12 边形：每条边圆心角， 半边长 边长 周长 ∟ D 15 15 半边长 拓展提升 1. 已知圆半径， （1）尝试求出圆内接正 12 边形边长。 （2）求正 24 边形，据此观察近似值的变化规律。 （2）解：正 24 边形：单条边圆心角， 半边长 边长 周长 正 24 边形估算； 结论：边数越多，正多边形越贴合圆周，多边形周长越接近圆真实周长，所以近似值越来越精确。 ∟ D 7.5 7.5 半边长 拓展提升 刘 徽 是我国魏晋时期著名数学家，其创立的割圆术是中国古代几何的经典成就，核心利用圆内接正多边形逼近圆的原理，结合边角运算推算圆周率，完美契合本节课锐角三角函数、角度与边长互算的知识点，是三角函数在古代几何测算中的典型应用。 割圆术核心原理 割圆术核心思想：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。即用圆的内接正多边形的周长，无限逼近圆的周长，正多边形边数越多，周长越接近圆周长，计算出的圆周率越精准。 设圆的半径为，以圆内接正六边形为基础迭代推导： （1）圆内接正六边形：边长等于半径，每条边对应的圆心角为； （2）将正多边形边数翻倍（正 12 边形、正 24 边形、正 48 边形……），不断细分圆心角，利用直角三角形边角关系、三角函数计算新的边长； （3）通过边长求出正多边形周长，结合圆周率公式，迭代计算的近似值。 真题感知 1.（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（    ） A． B． C． D． 解：锐角的余弦值随角度增大而减小， 且， ， 锐角的正弦值随角度增大而增大， ， 锐角的正切值随角度增大而增大，且， ， 综上所述，的值最大． B 23 2.（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然．  (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然．（参考数据：，，，，，） 真题感知 （1）解：如图，连接， ，， ∵在中，，， ， ． 同理可得，， 点D，E重合，． 24 2.（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然．  (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然．（参考数据：，，，，，） 真题感知 （2）解：如图，连接，过A点作于点H， ，， ， 在中，， ， ， ， 此时操作人员取盘手势不自然． 25 知识与技能 学会利用计算器，已知三角函数值，用求锐角； 掌握十进制度与度分秒的换算； 会结合直角三角形、圆的弧长，解决实际测量问题。 课堂小结 思想方法 课堂小结 建模思想：把实际问题抽象为直角三角形； 转化思想：边角互求； 验证思想：举特殊值，判断三角关系式真假。 易 错 提 醒 课堂小结 ① 计算器必须切换到角度模式 Deg； ② 不是，是求角度的逆运算； ③ 看清精度要求，区分精确到和； ④ 不要混淆： 正弦值越大角越大；余弦值越大角越小。 课后练习 1. 已知锐角三角函数值，求锐角大小（精确到） (1) (2) (3) 解：(1) ∠ (3) (2) 课后练习 2. 在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图）,已知固定点 A离地面的高度AC为 3 M，钢管脚的支撑点B离树干底部C 点的距离为 2m,求钢管与地面所成角∠1 的大小（精确到 1′） 解：在Rt△ACB中 ∴ 答：钢管与地面夹角约为。 课后练习 3. 如图，某游乐场一山顶滑梯的高 h 为 8m，滑梯的长 l为 14 m， 求滑梯 坡角 的大小（精确到 1′）。 解：滑梯长为斜边，高度为坡角 对边 由三角函数定义得： 答：滑梯坡角约为。 课后练习 4. 用三根长度分别为80cm、60cm、60cm的木条做成等腰三角形，（如图）这个等腰三角形各个内角的大小分别为多少（精确到）   解：如图，设，，。 作，则。 在中： ∠ 等腰三角形底角相等： 顶角 答：三角形三内角分别为，，。 ∟ D 32 课后练习 5. 如图，一个钟摆的摆长 OA 为 1.5m，摆幅（AB弧两端的距离）为 20 cm. 求钟摆每摆动一次摆端经过的路程（结果精确到 1 cm）. 解：，弦 作，则。 在中： 圆心角， 用“度”做单位：。 弧长公式： 答：钟摆摆动一次经过的弧长约。 课后练习 6. 在，，是中点， ，求（精确到） 解： 在中，是中点 ， ∵， ∴ 答：，。 谢谢聆听 $