1.1 锐角三角函数 第1课时（教学课件）数学新教材浙教版九年级下册

1.1 锐角三角函数 第一课时 锐角三角函数定义 第一章 解直角三角形 浙教版（新教材）·九年级下册 学 习 目 标 1 2 3 通过斜面实物情境、30°、50° 角的作图测量活动，观察直角三角形中锐角固定时，对边、邻边、斜边的比值不变的现象，感知锐角三角函数是刻画倾斜程度的数学模型。 经历猜想、测量、推理证明，理解 “角度确定，比值确定；角度变化，比值变化”，能利用相似三角形解释比值不变的原理，建立函数观念。 在能说出正弦、余弦、正切的定义，正确书写sin⁡α,cos⁡α,tan⁡α；在直角三角形中准确识别锐角的对边、邻边、斜边，规范进行三角函数求值。 知识回顾 同学们，回忆一下，我们之前学过直角三角形有哪些性质？ 直角三角形两个锐角互余； 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 三角形相似判定方法是什么？ （1）两角对应相等； （2）两边对应成比例，夹角相等； （3）三边对应成比例 如果两个直角三角形有一组锐角相等，这两个直角三角形是什么关系？ 相似！两角对应相等，三角形相似。 导入新课 如图，两个物体在倾斜角不同的斜面上向上移动相同距离，上升的高度一样吗？ 不一样，斜面越陡，倾斜角越大，上升高度越高。 导入新课 在倾斜角（∠α ，∠ β）不同的两个斜面上，物体前进的距离都是l，而它在水平和铅垂两个方向上运动的距离却各不相同。 β α l l 物体在斜面上运动时，在斜面上所经过的距离l和水平方向a、铅垂方向经过的距离h，与斜面的倾斜角之间有什么关系呢？ a h 导入新课 在倾斜角（∠α ，∠ β）不同的两个斜面上，物体前进的距离都是l，而它在水平和铅垂两个方向上运动的距离却各不相同。 a h 坡面越陡—倾斜角＿＿＿ 倾斜角越大—铅直高度与斜面的比＿＿ 倾斜角越大—水平宽度与斜面的比＿＿＿ 倾斜角越大—铅直高度与水平宽度的比＿＿＿ 越大 越大 越小 那对于一个固定倾斜角，三条边的比值会不会变化？这就是我们今天探究的问题。 越大 物体移动距离是斜边，上升高度是铅垂方向直角边，水平移动距离是水平直角边。这三者能构成一个直角三角形 新知探究 探究点1 合作探究,经历不变量的发现过程 1:对于一副直角三角板中直角三角形中边与角的定量关系﹐你已经知道了什么? 在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半， A B C 30° A B C 45° 在含45°角的直角三角形中，两条直角边相等，斜边是直角边的三边的， ①当AB=150mm， ∵ ∠A=30°∴BC=75mm时, ∴AC= 新知探究 探究点1 合作探究,经历不变量的发现过程 ①当AB=150mm时，的值分别是多少？ 1：作一个30°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C. 计算的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较. A B C 30° a 新知探究 探究点1 合作探究,经历不变量的发现过程 ②当AB=200mm，的值分别是多少？ ∵ ∠A=30°， AB=200mm ∴BC=100mm时, ∴AC= A B C 30° a 新知探究 探究点1 合作探究,经历不变量的发现过程 1：作一个30°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C. 计算的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较. A B C 30° a ＝ a ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ a ＝ ＝ ＝ ∵ ∠A=30°， ∴当AB=a米，BC=米时 ∴AC= 10 新知探究 探究点1 合作探究,经历不变量的发现过程 A B C 30° B1 C1 B2 C2 只要角是 30°，所有这样的直角三角形都相似，对应边比值不变。 Rt△ACB∽ Rt△AC1B1∽ Rt△AC2B2 = ∴当AB=a米，BC=米时 ，，。 3：大家取的点位置各不相同，为什么比值都一样？ 结论 在直角三角形中，当∠A=30°时，比值都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关. 2：作一个50°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C. 量出AB，AC，BC的长（精确到1mm），计算 ， ， 的值， 并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较. ①AB=150 mm ，BC=115 mm ②AB1=200 mm ，B1C1=153 mm 新知探究 探究点1 合作探究,经历不变量的发现过程 A B C 50° B1 C1 B2 C2 当AB=150 mm ，BC=115 mm 时， AC= 12 2：作一个50°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C. 量出AB，AC，BC的长（精确到1mm），计算 ， ， 的值， 并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较. ①AB=150 mm ，BC=115 mm ②AB1=200 mm ，B1C1=153 mm 新知探究 探究点1 合作探究,经历不变量的发现过程 A B C 50° B1 C1 B2 C2 当AB1=200 mm ，B1C1=153 mm时， AC1= 13 2：作一个50°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C. 量出AB，AC，BC的长（精确到1mm），计算 ， ， 的值， 并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较. ①AB=150 mm ，BC=115 mm ②AB=200 mm ，BC=153 mm 新知探究 探究点1 合作探究,经历不变量的发现过程 A B C 50° B1 C1 B2 C2 结论 在直角三角形中，当∠A=50°时，比值 , , 都是一个确定的值， 与点B在角的边上的位置无关. 与∠A=30°比较，发现“角度改变，比值改变”. 14 新知探究 探究点1 合作探究,经历不变量的发现过程 4 通过上面两个实践操作，你发现了什么？ 结论 一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点B，作BC⊥AC于点C，比值都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关。 A B C α B1 C1 B2 C2 新知探究 探究点2 证明发现，形成概念 5:如图，B，B1是∠α一边上的任意两点，作BC⊥AC与点C，B1C1⊥AC1于点C1 判断比值 是否相等，并说明理由。 证明， ∴∠C＝∠ ＝90° ∵ 为公共角 ∴Rt△ABC∽Rt△A， ∴ ∴；；。 新知探究 探究点2 证明发现，形成概念 结论 锐角一旦确定，三组比值唯一确定，和点 B 位置无关；角度改变，比值随之改变。锐角与对应边长三种比值满足函数定义，我们把这三个比值叫做锐角三角函数。 ；；。 5:如图，B，B1是∠α一边上的任意两点，作BC⊥AC与点C，B1C1⊥AC1于点C1 新知探究 6. 在，，对于锐角，其中两条边的比有由几种组合？ (1)锐角A的对边与邻边的比 (2)锐角A的对边与斜边的比 (3)锐角A的邻边与斜边的比 A B C 斜边 的对边 的邻边 α 探究点2 证明发现，形成概念 新知探究 探究点3 锐角三角函数定义 归一归 锐角三角函数定义 1.正弦定义： 在直角三角形中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A 的正弦，记作 sinA， 即sinA= 2.余弦定义： 在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做 ∠A 的余弦，记作 cosA， 即cosA= 3.正切定义： 在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即tanA= 新知探究 探究点3 锐角三角函数定义 sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，以锐角∠A为参考找边的比值，构造直角三角形实现数形结合 sinA、cosA、tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号（注意sinA、cosA、tanA不表示乘以A）. sinA、cosA、tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的所对应的边的比. sinA、cosA、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 角相等，则sinA、cosA、tanA分别相等；两锐角的sinA、cosA、tanA某一样相等，则这两个锐角相等. 归一归 2.锐角三角函数含义 新知探究 探究点3 锐角三角函数定义 3. 锐角三角函数的意义 s= = = 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. A B C 斜边c 的对边a 的邻边b α s= cos= s= cos= ∠B = 90°－ α s= cos(90 °－ cos= s(90 °－ 归一归 新知探究 探究点4 锐角三角函数的取值范围 1.锐角三角函数的值都是正实数，并且0<sinα<1，0<cosα<1， 你知道为什么？ 如图所示,在 中, , , . , ,即 . 同理 ,而 , 故 , , A B C c a b α 新知探究 探究点4 锐角三角函数的取值范围 2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 解：可以等于1， 当tanA==1时 BC=AC 此时为等腰直角三角形； 也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 对于锐角A的每一个确定的值， tanA都有唯一的确定的值与它对应. A B C c a b α 典例分析 例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3. 求∠A的正弦、余弦和正切. 解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=3, ∴ ∴， ； 24 典例分析 例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 D， BC=3，AC=4，求sin∠DCB的值. ∵sinA==, ∴sin∠DCB=sinA== 解：在Rt△ABC中， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠DCB， A B C D 4 3 ∟ 25 新知巩固 1.在中，。写出的对边和邻边，的对边和邻边。 解：：对边，邻边； ：对边，邻边。 新知巩固 2.在中，，，。 (1)； (2)； (3) 观察结果，你发现了什么，说明理由。 解：斜边 (1)， (2)， (3) 结论： 理由： ， ∴∠A的对边BC是∠B的邻边， 结论： 互余两角，一个角正弦等于另一个角的余弦。 拓展提升 1.如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 ． 解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E， 由题意得， ∴， ∴， ∟ E 拓展提升 2.如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 解：连接AD，如右图所示， ∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6， ∴∠DAC=90°， ∴AD==8， ∴cos∠ADC==， ∵∠ABC=∠ADC， ∴cos∠ABC的值为， A 真题感知 1.2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 解：∵在中，， ，， ∴， ∴， C 真题感知 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； B 课堂小结 知识框图 知 识 总 结 （1）在直角三角形中，锐角A的三角函数： ； （2）角度确定，比值唯一； （3）互余两角：。 课堂小结 方 法 与思想 ① 探究方法：从特殊角猜想→测量实验→相似三角形证明； ② 求三角函数步骤： 找直角三角形 →确定目标角的对边、邻边、斜边 →未知边先用勾股定理求出，再代入定义求值； ③ 数学思想：函数思想、数形结合思想。 课堂小结 易 错 提 醒 ① 是完整符号，不能拆分； ② 对边、邻边是针对所求锐角而言，同一个三角形不同锐角，对边邻边会互换； ③ 三角函数是比值，不带单位； ④ 必须在直角三角形中，才能直接使用锐角三角函数定义。 课堂小结 课后练习 1.已知，根据三角函数定义求。 C A B 解：设角的顶点为A， 在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C 量出AB，AC，BC的长 注：测量由误差，比值接近即可 课后练习 2.在中，，。求。 解：由勾股定理： ； ； 课后练习 3.在， 。求的正弦、余弦、正切。 解：由勾股定理得： 斜边 课后练习 4.在，，求。 解：设，由勾股定理得： 斜边 ； ； C A B ∟ 课后练习 5.已知分别是中的对边，。 (1) 用表示正弦余弦； ； 发现，互余两角正切互为倒数。 (2) 用表示，你发现了什么？ C A B 课后练习 6.在，，求。 解：∵在， ∴=, ∴设对边，斜边， 由勾股定理得： ∠⁡𝑨邻边 ∴ C A B 41 课后练习 7.一根 3m 竹竿斜靠墙上。 ① ，求倾斜角的； ② ，求倾斜角的； ③的值可以大于 100 吗？ 解：竹竿长 ① ， ② ， ③可以。当竹竿底端无限靠近墙角，水平直角边无限接近 0， 可以很大， 可以大于 100。 谢谢聆听 $