1.1 锐角三角函数 第2课时（教学课件） 数学新教材浙教版九年级下册

1.1 锐角三角函数 第二课时 特殊锐角的三角函数值 第一章 解直角三角形 浙教版（新教材）·九年级下册 学 习 目 标 1 2 3 用数学眼光观察：经历探索 30°、45°、60° 特殊锐角三角函数值的过程，借助直角三角形模型，直观感知特殊角三边之间的数量关系，能识别特殊角直角三角形的几何特征。 用数学思维思考：能利用勾股定理、锐角三角函数定义推导 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值；会运用特殊角三角函数值进行代数式计算；能把斜三角形问题转化为直角三角形求解，体会转化思想。 用数学语言表达：能准确说出 30°、45°、60° 的三角函数值，规范书写三角函数的计算步骤；能推理说明、两个关系式，能用数学语言表达推理过程。 当∠A+∠B=90°时 知识回顾 Q 上一节课我们学习了锐角三角函数的定义，在，，说一说正弦、余弦、正切的定义？ A ， ， 。 A B C c a b α 三角函数是直角三角形中，锐角和两边比值的对应关系。 tanA . tanB=1 sinA=cosB cosA=sinB 知识回顾 练一练 1. 如图，小明在点C处测树的高度，已知图中∠ACB为α，同时测得BC＝15m，则树的高度AB为（　　） A．15tanα m B． m C．15sinα m D． m 解：在Rt△ABC中，BC＝15m， ∠ACB＝α，tanα， ∴AB＝BC•tanα＝15tanα（m）． A 2.（2025•长春模拟）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　） 知识回顾 练一练 A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米 解：∵∠BCA＝90°，AB＝50m，∠A＝24°， ∴sinA， ∴BC＝50sinA＝50sin24°（米）， A 导入新课 （1）如图∠A=30°，在∠A的一边上任取一点B，作BC垂直于∠A的另一条边与点C，则AB与BC有怎样的数量关系？你知道∠A的正弦是多少吗？由此能得出 sin30°等于多少吗？ AB=2BC sinA= , ∴ sin30°= A B C 30° 30° 对应 sin30°= 当角的度数是30°，那么这个角所在的直角三角形的中30°的对比与斜边的比值是固定值 导入新课 （2）在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=45°，BC与AC大小关系如何？你知道45°对应的三角函数值吗？ A B C 45° 今天我们来研究30°，45°，60° 这三个特殊锐角的三角函数值。 对于任意锐角，都有对应的三角函数值。 A B C 30° 新知探究 探究点1 30° 角的三角函数值 1：如图，∠A＝30°. 在∠A 的一边上任取一点 B， 作 BC 垂直于∠A 的 另一条边于点 C，则 AB＝2BC，为什么？ 在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，所以。 2.我们设，那么斜边，请用勾股定理计算邻边。 新知探究 探究点1 30° 角的三角函数值 3.根据三角函数定义，计算，分别对应直角三角形中 30° 角什么边的比值？结果是多少？ ，是 30° 角对边比斜边 。 是30° 角邻边比斜边， 。 是30° 角对边比邻边 。 A B C 30° 新知探究 探究点1 30° 角的三角函数值 4：想一想，同一个图中，，能不能直接求出 60° 的三角函数？ ∵在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 A B C 60° 新知探究 探究点2 求 45° 角的三角函数值 1、如图，∠A＝45°. 在∠A 的一边上任取一点 B，作 BC 垂直于∠A 的 另一条边于点 C，则 AB与BC有怎样的数量关系？ 等腰直角三角形，两条直角边相等，即 BC=AC 由勾股定理得： 。 A B C 45° 2、试一试写出 45° 的三个三角函数。 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=45° 角的度数 新知探究 探究点3 特殊角三角函数值表格 1、根据刚才的计算发现了什么规律？ 当一个直角三角形一角的度数是30°时， 这个直角三角形的边长比值可以用30°的三角函数值表示， 同理45°的角，60°角的直角三角形中边长比值也是固定的， 即一个度数对应一个比值 比值 对应 sinα= cosα= tanα= 三角函数值 新知探究 探究点3 特殊角三角函数值表格 2、将30°，45°，60°角的三角函数值填入下表. 30° 45° 60° sin α cos α tan α 三角函数 1 三角函数值 α 观察结果，你有什么发现？ 归纳 30° 45° 60° sin α cos α tan α 4、观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 1 新知探究 探究点3 特殊角三角函数值表格 角度逐渐增大 正弦值也增大 30° 45° 60° sin α cos α tan α 4、观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 1 新知探究 探究点3 特殊角三角函数值表格 角度逐渐增大 余弦值逐渐减小 30° 45° 60° sin α cos α tan α 4、观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 1 新知探究 探究点3 特殊角三角函数值表格 角度逐渐增大 正切值也增大 新知探究 探究点3 特殊角三角函数值表格 4、观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值随着角度的增大（减小）而 ； 当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而 .  当角度在0°～90°之间变化时，正切值随着角度的增大（或减小）而 ； 增大（减小） 减小 （增大） 增大（减小） 新知探究 探究点4 tan α ,sin α，cos α的关系 1：计算与，与，你发现了什么？ 对于任意锐角，是否都有？请说明理由 解： 发现： 理由如下： 在直角三角形中， 公式1 18 新知探究 探究点4 tan α ,sin α，cos α的关系 2、计算下列各式： (1) . (2) . 你发现了什么？ 解：（1）原式 （2） 原式 发现：对任意锐角，成立。 表示 表示 19 新知探究 探究点4 tan α ,sin α，cos α的关系 在中，锐角，对边，邻边，斜边。 由勾股定理， 代入得：。 3.对任意锐角，是否都有？ 请说明理由。 公式2 sin2A+cos2A=1 A B C c a b α 典例分析 例 1、 求下列各式的值 (1) ， (2) (3) 解：(1) ， 原式 (2) 原式 (3) 原式 典例分析 例 2、 在中，，。求的长和的面积。 解：过点作于。 ， ，， 在中， 小结：遇到斜三角形问题，常作高，将斜三角形转化为直角三角形，利用三角函数将问题转化为边长比值求解。 新知巩固 1.计算： (1) (2) (3) 解：原式 解：原式 解：原式 新知巩固 课内练习 2.如图，点到坐标原点的距离，与轴的夹角为，求点的坐标。 解：过作轴于， 在中： ∟ 拓展提升 1.如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． （1）解：∵中， 的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 真题感知 1．（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 3．（2025·青海·中考真题）计算： 解： ． 【详解】解：， ， ， ． 【详解】解： ． 真题感知 4.（2025·云南昆明·二模）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的菱形的边长大约在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 解：如图，过点作于点C， 根据题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴重合部分构成的菱形的边长大约在到之间． C 知 识 总 结 1.掌握的正弦、余弦、正切值； 2.知道两个重要关系式： ①；②。 3.锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. 课堂小结 课堂小结 方 法 总 结 2.方法思想总结 ①求特殊角三角函数： 借助特殊直角三角形，用定义 + 勾股定理推导； ②解斜三角形： 作垂线，转化为直角三角形，转化思想； ③坐标问题： 构造直角三角形，用三角函数求横纵坐标。 课堂小结 易 错 提 醒 ①分清 ： 是对边 / 斜边，邻边 / 斜边，不要记混 30°、60°； ②是，不是； ③三角函数计算根式结果要化成最简二次根式； ④几何题没有直角时，不能直接用三角函数，要先构造直角三角形。 课后练习 1.求下列各式的值： (1) (4) . 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 (3) . (2) . 课后练习 2.在中，，，，求的长。 解：， 是等腰直角三角形， A B C c a b α 课后练习 3.在直角坐标系中，点，射线与轴夹角。求点纵坐标和的长。 解：过作轴，， , ∟ 课后练习 4.一辆卡车沿倾斜角为 30° 的斜坡向上行驶 100m，分别求卡车沿水平方向和铅垂方向所经过的距离。 解：设斜坡长，倾斜角 铅垂高度（竖直距离） 水平距离 答：水平距离，铅垂距离。 ∟ 斜坡长 铅垂高度 水平距离 课后练习 5.梯子的长为 2.8m。当时，求梯子顶端离地面的高度和两梯脚之间的距离。当时呢？ 说明：为梯子与地面夹角，为直角三角形，， 解：① ， 课后练习 5.梯子的长为 2.8m。当时，求梯子顶端离地面的高度和两梯脚之间的距离。当时呢？ 说明：为梯子与地面夹角，为直角三角形，， ② ， 谢谢聆听 $