16.3.2　完全平方公式 (第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.3.2完全平方公式（第1课时）

【教学目标】

1．从多项式乘多项式出发，亲手算出一组特殊算式，从中归纳出完全平方公式，并能完整说出推导过程。

2．记牢公式左右两边的样子——左边是二项式的平方，右边是三直项：平方和、加减看首项、乘积二倍放中间；能对照特征判断算式能否直接套用。

3．会用公式做计算、化简和数值题，会用剪拼图形的面积关系验证公式，体会"算出来"与"看出来"互相印证。

【重点难点】

重点：完全平方公式的推导与运用。

难点：运用时的两个易错处——中间项 2ab 容易漏掉或只算一遍 ab；首项、尾项是"整体"时（如分数、多项式）容易只给一半平方。教学中借助多项式乘法逐项对照，再辅以割补面积法从图形上验证公式，帮助学生把结构刻进脑子里。

【教学过程】

一、讲个故事，抛出问题

[师]先讲一件真事改编的小故事。有位老人特别喜欢热闹，孩子们去他家做客，他都拿糖招待——来 1 个孩子，每人发 1 块；来 2 个孩子，每人发 2 块；来 3 个孩子，每人发 3 块……照这个规矩发下去。请思考四个问题：

(1)第一天去了 a 个孩子，老人一共发出去多少块糖？

(2)第二天去了 b 个孩子，老人一共发出去多少块糖？

(3)第三天这(a+b)个孩子结伴一起去，老人一共发出去多少块糖？

(4)第三天发的糖，和前两天发的糖加在一起比，哪边多？多出来多少？为什么？

学生口答：(1)是 a² 块，(2)是 b² 块，(3)是(a+b)²块。第(4)问卡住了——(a+b)²是多少？它比 a²+b²多多少？

[师]上一节课我们认识了(a+b)(a−b)=a²−b²，两个数的和乘两个数的差。今天碰上的是两个数的和的平方，长得不一样，怎么算？这就是这节课的主角。（板书课题：完全平方公式）

二、探究归纳

活动一：算一算，找规律

1．计算下列各式，你能发现什么规律？

(1)(p+1)²=(p+1)(p+1)=______；

(2)(m+2)²=______；

(3)(p−1)²=(p−1)(p−1)=______；

(4)(m−2)²=______；

(5)(a+b)²=______；

(6)(a−b)²=______。

六名学生分两组板演，一人两题，其余同学在下面算，教师巡视纠正漏项。

[生甲汇报](1)(p+1)²=(p+1)(p+1)=p²+p+p+1=p²+2p+1。

(2)(m+2)²=(m+2)(m+2)=m²+2m+m·2+2×2=m²+4m+4。

(3)(p−1)²=(p−1)(p−1)=p²+p·(−1)+(−1)·p+(−1)×(−1)=p²−2p+1。

(4)(m−2)²=(m−2)(m−2)=m²+m·(−2)+(−2)·m+(−2)×(−2)=m²−4m+4。

(5)(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²。

(6)(a−b)²=(a−b)(a−b)=a²−ab−ab+b²=a²−2ab+b²。

[生乙补充]还有个发现：(1)里的 2p 就是 2·p·1，(2)里的 4m 就是 2·m·2，(3)、(4)跟(1)、(2)只差一次项的符号，(5)、(6)把数换成了字母，最有资格当公式用。

2．[师]请大家类比上节课学平方差公式的路子，试着用自己的话或者一个式子，把刚才的发现说完整。前后桌交流两分钟。

学生讨论后汇报，师生共同订正措辞，形成结论。

3．总结：完全平方公式

(1)文字叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。

(2)符号表示：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a−b)²=a²−2ab+b²。

4．分析特点：可以记成口诀——"首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减"。

5．[师追问]它跟上节课的平方差公式是一回事吗？引导学生对比：

(1)形式不同、结果不同：完全平方公式的结果是三项，即(a±b)²=a²±2ab+b²；平方差公式的结果是两项，即(a+b)(a−b)=a²−b²。

(2)解题时要准确确定 a 和 b，对照公式原形两边，做到不丢项、不弄错符号、中间项不漏乘 2。

活动二：剪一剪、拼一拼，用面积说话

1．先用计算验证：把(a+b)²按多项式乘法展开，能重新得到右边三项，代数上站得住。