专题二 第4讲 数列综合问题-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第四讲 数列综合问题 ◆◆方法清单·把控高考心 考点一 等差、等比数列的简单综合问题 【备考这样练】 【高考这样考】 1.若等差数列{an}的公差d≠0且a1,a3,a7成等 (2026·天津卷)已知等差数列{an}与等比数 比数列，则2等于( 列{bn}满足：a1=2,b1=1,a2=b1十b2,a4 b3-b1. A R号 c司 D.2 (1)求数列{an},{bn}的通项公式： 2.(2024·北京卷)设{an}与{bn}是两个不同的 (2)记集合En={x∈Rx≤n,彐k∈N*,使得 无穷数列，且都不是常数列.记集合M={k x=ak或x=b},记cn为Em中的元素个数. a=b,k∈N*},给出下列四个结论： 回答下列问题： ①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多 (i)求cg; 有1个元素； (i)求(-1)·a·cm ②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多 m=1 有2个元素； ③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是 3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2= 2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式； 【方法规律】等差、等比数列的综合问题的解 (2)求Su,并判断S+1,Su,Sm+2是否成等差 题技巧 数列. (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基 本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、 前n项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”， 灵活应用数列的有关性质，简化运算过程.求 解过程中注意合理选择有关公式，正确判断 是否需要分类讨论. (2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是 可以相互转化的，即{an}为等差数列台{can} (c>0且c≠1)为等比数列；{am}为正项等比 数列曰logan}(c>0且c≠1)为等差数列. —22 专题二数列 考点二 数列与不等式的综合 2.(2024·天津卷)已知数列{an}是等比数列，公 【高考这样考】 比大于0，其前n项和为Sm,若a1=1,S2= (2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列， a3-1. 「an一6，n为奇数， (I)求数列{an}的前n项和Sm; on= 记Sn,Tm分别为数列 (2an,n为偶数， k,n-ak, (2)设bn= k∈N*. {an},{bn}的前n项和，S4=32,T3=16. bn-1十2k,a<n<ak+1 (1)求{an}的通项公式； (i)当k≥2，n=a+1时，求证：b,n-1≥ak·bn; (2)证明：当n>5时，Tm>Sm （i)求26. 考点三数列与函数的综合 【方法规律】数列与函数的综合问题主要有以下 两类 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一 般利用函数的性质、图象来解决 (2)已知数列条件，解决函数问题，此类问题一 【方法规律】数列与不等式的交汇问题 般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对所 (1)函数法：即构造函数，通过函数的单调性、 给条件化简变形. 极值等得出关于正实数的不等式，通过对关 【备考这样练】 于正实数的不等式赋特殊值得出数列中的不 (3-a)x-3,x≤7， 等式 1.已知函数f(x)= 若数列 a'6,x>7, (2)放缩法：数列中的不等式可以通过对中间 {an}满足an=f(n),n∈N*,且{an}是递增数 过程或者最后的结果放缩得到. 列，则实数a的取值范围是() (3)比较法：作差或者作商进行比较 【备考这样练】 A[3 B(3) 1.(2025·上海高考)已知数列{an},{bn}, C.(1,3) D.(2,3) {cn}的通项公式分别为am=10n-9,bn=2", 2.已知幂函数f(x)=(2m2-5m十3)x是非奇 cm=λam+(1-入)bn.若对任意的入∈[0,1]， 非偶函数，令am 1 am,bm,cn的值均能构成三角形，则满足条件的 f(n+1)+fmn∈N),记 正整数n有() 数列{an}的前n项和为Sn,则S2o2o=( A.4个 B.3个 A.√2020+1 B.√2020-1 C.1个 D.无数个 C.√2021+1 D.√/2021-1 -23%舞得份21. 即bn=(2n-1)·3-[2(n-1)-1]·3m-1=(2n-1)·3” (2m-3)·3-1, ∴.Tm=b+b2+b3+…+b.=1×31-(-1)×3°+3×32-1X 31+5×33-3×32+…+(2m-1)·3m-(2m-3)·3-1= (2m-1)·3m-(-1)×3°=(2n-1)·3m+1. 2.解：(1)a2=5,a3=7. 猜想an=2n十1. 证明如下：由已知可得 a+1-(2n+3)=3[an-(2m+1)], a.-(2n+1)=3[am-1-(2n-1)], …, a2-5=3(a1-3). ,a1=3,∴.an=2n十1. (2)由(1)得2am=(2n十1)2， ∴.Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2m.① 从而2S.=3X22+5X23+7X24+.+(2n+1)X2m+1.② ①一②，得 -Sn=3×2+2X22+2X23+…+2X2m-(2n+1)X2n+1」 .Sn=(2n-1)2+1+2. 第四讲 数列综合问题 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 解：(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{b}的公比为q, 由a=2=1=6十a=6A得径+09. 解得贸二2或图01（合去）.故a=2,6=3 (2)(i)由(1)知am为偶数，bn为奇数，故两数列无公共项， 集合E中的元素个数为两数列中不大于3”的项数之和. 数列a中不大于3的项数为2，数列a,)中不大于3 的项数为n十1， 放-21++1=3+叶号 (i)当3-1≤m<3(i∈N*)时，b.中不大于m的项数为i, a.中不大于m的项数为受(m为偶数)或”。(m为奇数)， 计受m为偶数， 故Cm= +”"2m为奇数， 则ac.=?im十m,m为偶数， 2im十m(m一1)，m为奇数， 故(-1)"ancm= ∫2im十m,m为偶数， -2im-m(m一1)，m为奇数. 对区间[3一1,3)内的项分组求和，共含2·31项，其中奇数 项、偶数项各31项， 每组和为31(2i一2)十6·9-1，对i=1,2,…,n求和得： ∑(-1)"amCm=2[3-1(2i-2)+6·9-1门， 其中23一1(2一2)用错位相减法计算， 令Sn=2(2i-2)3-1,则3Sn=2(2i-2)3, 两式相减得2Sn=一2(3十32十…十3m-1)十(2n一2)3"， 化简得s=2m)3”+8,含6·g91=6·智号-(9 2 9-1 1), 故总和为823”十3+子(g-1D-31+3"+ 2 生 【备考这样练】 1.A解析：设等差数列的首项为a1,公差为d,则a3=a1十2d, a,=a十6da,a,a成等比数列， ∴.(a1十2d)2=a1(a1十6d),解得a=2d. .=2d+d3 2d-2 2.①③④解析：对于①：由题知an,bn是关于n的一次式，对应 的函数为一次函数，即点(n,am),(n,bn)分别在两条斜率均不 为0的直线上，而这两条直线最多有1个交，点，.M中最多有 1个元素，∴.①正确 对于②：不妨取an=2”,bn=(一2)"，则有a2=2=4,b2 (-2)4=4(k∈N),∴.a2=b2e(k∈N*),此时M中有无数个 元素，∴②不正确. 对于③：由①知，点(n,an)在一条斜率不为0的直线1上.设bn =bg1(q≠1)，当公比q>0时，直线l与数列{bn}对应的函 数的图象至多有2个公共点，M中最多有2个元素；当g<一1 时，点(n,bn)在如图所示的曲线C,C2上，由图易知直线l与 曲线C,C2至多有3个公共点，如当an=3n-4,b.=一1× （-2)-1时，a1=b=-1,a2=b=2,a4=b=8,两个数列有3 项相同，.M中最多有3个元素； /C 当q=一1时，易知M中最多有2个元素；当一1<q<0时，易 知M中最多有3个元素.综上可知，当{an}为等差数列，{bn} 为等比数列时，M中最多有3个元素，∴.③正确. 对于④：若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则它们对应的函 数分别为单调递增函数和单调递减函数，两个函数图象的公 共点最多有1个，∴.M中最多有1个元素，∴.④正确.综上可 知，正确结论的序号为①③④. 3.解：(1)设{an}的公比为q, 则/a1+g)=2, a+g十g)=-6,解得{82， la1=-2 故{an}的通项公式为an=(-2). (2)由D得52=-3+（一D21 1一q 31 由于S+S1=-号+（一1少.22 3 -2[-号+(-少2-2 故S+1,S.,S+2成等差数列. 考点二 【高考这样考】 和据：设等关数a的公老为一位22-€N， 则b=a1-6,b2=2a2=2a+2d,b=as-6=a1十2d-6, :/=4a十6d=32, T3=4a1+4d-12=16,解得{d-2., ∴.am=a1+(n-1)d=2n+3, ∴.数列{an}的通项公式是am=2n十3. (2)证明：方法一：由(1)知，S.-n5+多+3》=+4,6，- /2n-3,n=2k-1,k∈N. l4n+6,n=2k, 当n为偶数时，b-1十b.=2(n-1)-3+4n+6=6n+1,Tm= 18+at.受=+， 2 当心5时，工-S=(号t+2）-(f+切=2m-10>0, 7 ∴.Tn>Sw 当n为奇数时，T,=T+1-61=号(n+1)2+子(n+1)- [4x+1D+6]=+号-5， 当m心>5时，工.-5.=（号d+号n-5）-(r+4n）=2(m+ 2)(n-5)>0,∴.Tm>Sn. 综上，当n>5时，Tm>Sn f2m-3,n=2k-1,k∈N。 方法二：由(1)知，S.=+4n,6.={4n十6，n=2k, 当n为偶数时，Tn=(b十b3十…十b.-1)十(b2十b十十b.) 1+2g》3.受+4++6.受=号r+ 2 2 2n, 当5时，工，-S=(号t+n）-6+4)=7m-1D>0 .T>S 当n为奇数时，若n≥3，则Tn=(b十b3十…十bn)十(b2+ 6++61)=-1+23.时+14+40红-)+6.。1 2 2 2 2 号0+号m-5,显然工=6=-1满足上式， 当n为奇数时，工，=是+号1-5， 当心5时，工，-8=（是r+号n-5)-(f+w=合(m+ 2)(n-5)>0,∴.Tm>Sn. 综上，当n>5时，Tm>Sm 【备考这样练】 1.B解析：因为1∈[0,1]，am>0,bn>0,所以am≤an,(1一λ)bn≤ b,且二者等号不同时成立，所以cn=Aan+(1一入)bn<am十 b,所以只需考虑an一bn<cn是否对入∈[0,1]都成立.当 2≤a≤5时，an>bm,cn=ba十A(am-b)∈[ba,a.],所以只需 bw>an-bn,即2bn>a,即2+1>10n-9,n取4,5时满足.当 n=1或n6时，a.<b,cn=bn十入(a.-ba)∈[am,bn],所以只 需an>bn-am,即2am>bn,即2m-1<10m-9,n取6时满足.综 上，满足条件的n有3个. 2.(1)解：设{an}的公比为q(q>0),则1十q=￠-1，得q=2, …Sn=1-2 1-2=2-1. (2)(i)证明：由(1)知，a=2-1, a=你，22，eN 当n=a+1=2时，b,=k十1， b.-1=b2-1=b2-2+2k=b2-3+4k=…=b2+2k·(2t-1-1) =k十2k·(2-1-1)=k·2-k, ∴.b。-1-a4·bn=k·2-k-(k十1)2-1=(k-1)2-1-k. 设f(x)=(x-1)21-x,x≥2，则f(x)=21+(x-1)2 1n2-1≥2十2ln2-1>0,.f(x)在[2，+∞)上单调递增， f(x)≥f(2)=0, .bn-1-ae·bm≥0，即bn-1≥at·bn. (i)解：令k=1,得b=1,令k=2,得b2=2,b3=b2十2k=6, 令k=3,得b1=3,b5=ba+2k=9,bs=b5+2k=15,b=bs+2k =21, ∴b,b+1…,b-1是一个以b为首项，2k为公差的等差 数列. bg=k,由（i)知b-1=k·2-k,∴.b十bg+1+…十 6-1=k·2*·2 2 -=k·4-1, 26-b,=b+bs+…+r-1=1×4+2X4+…+n× 41,42b,=1×41+2×42+…+n×4, 两式相减，得一3空6=4+4十…十41一n·=二写 3 3 2=(行-日)+日 考点三 【备考这样练】 1.D解析：由题意可知分段函数为增函数，且f(8)>f(7),即 3-a>0, a>1, 解得2<a<3,故实数a的取值范围是 a8-6>(3-a)X7-3, (2,3). 2.D解析：由题意得2m-5m十3=1，解得m=2或m=2·当 m=2时，f(x)=x为偶函数，不合题意；当m=2时，f(x)= 立为非奇非偶函数，符合题意.故a,=fn+)十fm V+i+万=V+I-n,则Sw=2-1+3-2+…+ 1 √/2021-√2020=√/2021-1. 专题三三角函数与解三角形 第一讲三角函数的图象与性质 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.AC解析：.sin0·cos>0,∴.sin0<0,cos0<0或sin> 0,cos>0,'.日的终边在第一象限或第三象限 2,A解析：由三角画数的定义，得c0sQ=- 5,sina=-25 59 国光血g一m。=9 3.B解析：.sin(-110)=一sin110°=一sin(180°-70)= -sin70°=a,.sin70°=-a,.cos70°=√1-(-a)z= √1-a,∴.tan70°=sin708 c0s709 √1-a 题组二 1A解析：由题图可知，A=2,T=2吾-(-否)】]=元，∴w 2.由函数图象经过点（号，2），得2sm2×号+9)=2， ∴2×号+9=受+2km,k∈Z,∴9=-否+2kx,k∈Zl9l< 受，9=一晋，…函数的解析式为y=2sin(2x-君）： 2.B解析：f(x)=sin∈[-1,1]，且f()=-1,f(x)= 1,一西血=乏f(x)的最小正周期T=2×受=， w要=2. 3合解析：画数)一s2纵坐桥标系爽楚然标变边，)-方4 原来的2倍 w= 题组三 1.BC解析：对于A,令fx)=0,则x=经，k∈Z,又g(经)≠ 0,故A错误；对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确； 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D, 令2x=受十xEZ,即x=至+经，∈乙为f)图象的时 称轴方程，令2x-至=受+m,k∈乙，即x=晋+经，k∈Z为 g(x)图象的对称轴方程，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不 相同，故D错误.故选BC. 2.[0,1]解析：由x∈[-受，年]，得co8x∈[0,1 3.[-1,0)解析：“y=-tan在(-受，乏）内单调递减， K0且T=0≥，-1a<0. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 乏否（答案不唯一）解析：因为sin(a十)=sin(a一)， cos(a十B)≠cos(a-B, 所以a十B,a一B的终边关于y轴对称，且不与y轴重合， 故a+叶aA-x+2km,k∈Z且a+≠2+，lEZ,