专题二 第3讲 数列求和-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第三讲 ◆方法清单 考点一 分组转化求和法 【高考这样考】 (2021·新高考I卷)已知数列{an}满足a1= am十1，n为奇数， 1,an+1= an+2,n为偶数， (1)记bn=a2m,写出b1,b2,并求数列{bn}的通 项公式： (2)求{an}的前20项和. 【方法规律】利用分组转化法求和的3个关 键点 (1)会“列方程”，即会利用方程思想求出等差 数列与等比数列中的基本量， (2)会“用公式”，即会利用等差（比）数列的通 项公式，求出所求数列的通项公式 (3)会“分组求和”，观察数列的通项公式的特 征，若数列是由若干个简单数列（如等差数 列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和 时可用分组求和法，把数列分成几个可以直 接求和的数列. 【备考这样练】 1.(2025·天津高考)已知数列{an}的前n项和 Sm=一n2+8n,则数列{am|}的前12项和为 () A.112 B.48 C.80 D.64 2.(2024·全国甲卷文)已知等比数列{an}的前 n项和为Sn,且2Sm=3am+1一3. 数列求和 ·把控高芳◆ (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和. 考点二 裂项相消法求和 【高考这样考】 (2022·新高考I卷)记Sm为数列{an}的前n 项和，已知a1=1, 品是公差为的等差 数列. (1)求{am}的通项公式； (2证明哈+d十…+女2 an 【方法规律】裂项相消法求和的实质和解题 关键 裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项 20 分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最 终达到求和的目的，其解题的关键就是准确 裂项和消项. (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂 几项，直到发现被消去项的规律为止 (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩 几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 【备考这样练】 1.(2023·福建宁德二模)已知数列{am}满足 u+1一n千7aa=1,则数列aa1}的前10 项和为() Aig B品 C 10 D10 2.已知在数列{an}中，a1=1,a2=2,a+1=3an 2am-1(n≥2，n∈N*).设bn=a+1-an. (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)设c.=(4n21)2,求数列{c}的前n项 和Sn. 考点三 错位相减法求和 【高考这样考】 (2023·全国甲卷理)已知数列{an}中，a2=1, 设Sn为数列{an}的前n项和，2Sn=na. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{2史}的前n项和T -2 专题二数列 【方法规律】错位相减法求和的基本步骤 展开 当 乘公比 9s6t6+6+:6② :①-②，得(1-g)S=a1·b+02:b2++an-1·bn-t2b.} 错位相减 -(a1·b2+a2·b++an-l·b+an·bni) =a1·b+db2+b3+…+bn)-an·bn+ 求和 s=4·b+db,tb+…+b小-a,·b1 1- 【备考这样练】 1.(2024·全国甲卷理)记Sm为数列{an}的前n 项和，已知4Sn=3an十4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=(一1)”-1nan,求数列{bn}的前n项 和Tn 2.(2020·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1=3, anti=3an-4n. (l)计算a2,a3,猜想{am}的通项公式并加 以证明； (2)求数列{2"am}的前n项和Sn. 1【备考这样练】 考向1 1.D解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d,由S=9a1十 981=9a十4d0=1,得a十4d=日，则a十a=a十2d+ a十6d=2a十8d=2a十4dD=号.故选D 方法二：(a}为等差数列，S,=9@a》=9a,=1,得as 2 1 ，则a十a,=2a=号故选D, 2.一29（答案不唯一）解析：等差数列{an}的前n项和为Sn, S6=6a6十30， 所以6a,+5d=6ai十5d0+30, 所以号d=5d+5,所以d=-2. 由Sn≤S恒成立，可知S是前n项和的最大值， 结合d=一2<0可知数列单调递减，可得a≥0， la6≤0， 代入通项公式a,=a-2(n-1),所以{a一8≥0， a1-10≤0， 解得8≤α1≤10，区间内任意取值均符合要求，例如9（或8,10 等) 考向2 1.A解析：方法一：设等比数列{an}的公比为q,则由等比数列 s,=0二2)-=4,0 的前n项和公式得 1-9 s=42=6.② 1-9 ②÷①，得1十d=受，解得=之代入①得2g8 8-a92-e。1-1=8x-)- 方法二：等比数列{an}的前n项和有如下的性质：S2,S4-S,， 8-5…成等比数列，且公比g-8s3=分则5-5 S2 (8-s)g=(6-40×7=1s=S+(S-S)+ (S-S4)=4+2+1=7. 2.A解析：由等比数列的性质知，a十a2,ag十a4,a十as,a,十 a成等比数列，共首项为40，公比为8-号，∴a十a=40× (2）-135. 3.B解析：在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4·a6= 十a十-2=10. 考点三 【高考这样考】 证明：设等差数列{√S}的公差为d, 则d=v√S-√S,=√a+a-√a=√/4a-√a=√a, ∴.√/S=a1+(n-1)d=a1+(n-l)/a1=nwa1, ..S=na. 当n≥2时，a,=S。-S-1=ta-(n-1)2a=(2n-1)a1. .a.-ar-1=(2n-1)a1-[2(n-1)-1]a1=2a1, ∴.数列{am}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列. 【备考这样练】 考向1 2 12025解析：当m≥2时，由a5空=1，得2(S-S1)= “侵}是以2为首项，1为公差的等差数列受=十1，故 2 8.=n千1，则Sa4=2025: 2.(1)证明：当n=1时，有2a1=a+1一4，即a一2a1一3=0，解 得a1=3(a1=-1舍去). 当n>2时，有2S.-1=a2-1十n-5,又2S=a+n-4, 两式相减得2an=a2一a21十1，即a2一2am十1=a21,也即 (am-1)2=a4-1, 因此a,-1=am-1或an-1=一a-1 若a.一1=一a-1,则a十a-1=1. 而a1=3,∴.a2=一2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾， ∴.am-1=an-1,即an-ar-1=1, 因此数列{am}是首项为3，公差为1的等差数列. (2)解：由(1)知a1=3,d=1,.数列{am}的通项公式为am= 3+(n-1)×1=n+2. 考向2 1.ACD解析：由题意，2a1q=a19十a1, 因为a1>0,所以2q=q十1， 因为≠1，所以g=-2,A正确； S=十a,=0<号，B错送 因为9=-2，所以2S+2=2S+1十2a+2=2S+1一a+1, 因为S+1十Sn=2S+1一a+1,所以2Sn+2=S+1十Sn,C正确； 因为s=号a[1-(-2)门，所以名s=号a· [m-(←含)()广--()门=婴-台· (-2)[1-(-2)] 1十2 当→十c0时，2g. ([1-(古门是肉咎· 1十2 (- 1+2 2-2g则2g+>0, 所以S>2,D正确 3 2.(1)证明：：a+2=2a+1+3a, ∴.at2十amt1=3(at1十an). 数列{an}中各项均为正数， ∴at1+十a,>0,∴022t021=3, a+1十am ∴.数列{an十a+1}是公比为3的等比数列. (2)解：由(1)知数列{an十an+1}是以a1十a2为首项，3为公比 的等比数列，且a=,a=是， 则a.十a+1=(a十a2)3-1=2X3m-1. a+2=2a+1十3am, .a+2-3a+1=-(a+1-3an)=(-1)2(an-3an-1)=…= (-1)"(a2-3a1）. 又.'a2-3a1=0,∴.a+1-3am=0, 故a+1=3a,.4a.=2X31,a,=7·31. 第三讲 数列求和 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 解：(1)由题意，得 b=a2=a+1=2,b2=a4=a+1=a2十2+1=5. 易得a2+2=a2+1十l,a2m+1=a2n十2， ∴a2+2=a2n十3，即b+1-bn十3， ∴.bn=2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)可得a2m=3n-1, a2m-1=a2m-2十2=bn-1十2=3n-2. ∴.a19=3X10-2=28,a20=3×10-1=29. ∴.{an}的前20项的和为 (a1十a3+…十a19)十(a2+a4+…+a20) =1+28×10+2+29×10=30. 2 2 【备考这样练】 1.C解析：因为Sn=一n2+8n, 所以当n=1时，a1=S=-12十8×1=7， 当n≥2时，an=Sn-Sw1=(-t+8n) [-(n-1)2十8(n-1)]=-2n十9， 经检验，a1=7满足上式， 所以an=一2m十9，令am=一2n十9≥0，得n≤4，an=一2m十 9≤≤0，得n5. 设数列{am|}的前n项和为Tm, 则数列{|an}的前4项和为T4=S4=一42十8×4=16； 数列{an}的前12项和为 Tia=|a1|+|a2|+…+|a2|=a1+a2+ag+a4-as-a6- .…一a12 =2S4-S2=2X16-(-122+8×12)=80. 2.解：(1)2Sn=3a+1-3,.2S+1=3a+2-3,两式相减可得 2an+1=3am+2一3aw+1, 即a4=号a1∴等比数列a.的公比为号 25=3a,-3=5a-3,a=1,故a.=(号） (228.=3a1-3,8=2(a1-10=g[(g)”-1], 设数到风肉前：原南务红测T=爱×-（停）小 2 5 13 多=×（号）广-多m-只 考点二 【高考这样考】 (1)解：a1=1,S,=41=1,S=1 又~{会}是公差为号的等差数列， =1+号m-0=8-叶24， 3 当≥2时，S1=+a, 3 ∴a,=S.-S1=n+2a_n+1a 3 3 整理得(n-1)a.=(n十1)a1,即2-+ am-1n-1' a=a··4…8·=1×2×号×…× 102 an-2 an-1 产2×， 显然对于n=1也成立， ∴{a,}的通项公式a,=nn1) (2)证明：1=2 ann-2(+）， 1+1++ an =2[(1-合)+（合）+…+（只）] =2(1-+)<2 【备考这样练】 1.A解析：a+1=n十70a=1(n十1)a.+1=a数列 m.}是每项均为1的常数列…a.=1,a=元aa1 日-市数列aa)的前10项和为（宁 2)+(2-)++(0)=1-品-品 2.(1)证明：，a+1=3an-2a-1(n≥2，n∈N), bm=a+1一an, b.tl_0xk-dxt_3ast-2a,-dxH_2(axt-ax)2. bn ani-an a+1一an a+1一an 又b=a2-a1=2-1=1, ∴数列{b}是以1为首项，2为公比的等比数列. (2)解：由(1)知bn=1×2-1=2-1. c=(4r-102' 6-22x+2n-D4(2n12）: 1 .Sn=G十c2十…十cn =(1-3+-++212) 1 =(1-2n)-+2 1 7 考点三 【高考这样考】 解：(1)2S.=nan,.当n=1时，2a1=a1,即a1=0;当n=3 时，2(1+a3)=3a3,即a3=2. 当n≥2时，2S-1=(n-1)am-1, ∴.2(Sn一Sw-1)=an-(n-1)an-1=2am, 化简得(n-2)a.=(m-1a1当m心3时2气一号=2-- 号=1，即a,=-1, 当n=1,2,3时都满足上式，.∴.an=n一1(n∈N). 工.=1×(2)+2×(2)+3×(2)°+…+ nx(分)”， 2工.=1×(2)°+2×(3)°+…+(m-1)×(3)）”+ nx(号)”， 两式相减得2工.=（合）'+（分）》°+（合）°+…+（合）》” x传产】传产 1- (1+受)合)”， 即T.=2-(2+w(2)》”,∈N. 【备考这样练】 1.解：(1)4Sn=3am十4①， ∴当n≥2时，4S,-1=3a-1+4②， 则当n≥2时，①-②得4an=3an-3an-1,即an=-3a.-1. 当n=1时，由4Sn=3am+4得4a1=3a1+4,∴.a1=4≠0， .数列{an}是以4为首项，一3为公比的等比数列， .am=4X(-3)1. (2)方法一（错位相减法）： b.=(-1)"1nan=(-1)-1n×4×(-3)-1=4n·3m-1, ∴.Tn=4×3°+8×3+12×3+…+4n·31, ∴.3Tm=4×31+8×32+12×33+…+4n·3", 两式相减得一2Tm=4十4(31+32+…十31)一4n·3m=4+ 4×3132）-4n3=-2+(2-4m).3, 1-3 ∴.T.=1+(2n-1).3". 方法二（裂项求和）： b.=(-1)-1an=(-1)m1nX4X(-3)=4n·3m-1, 令b.=(kn+b)·3-[k(n-1)十b]·3w-1, 则b.=(kn十b)·3-[k(n-1)十b]·3-1=3-1[3m十36 k(n一1)-b]=(2kn+2b+k)·3m-1, %舞得份21. 即bn=(2n-1)·3-[2(n-1)-1]·3m-1=(2n-1)·3” (2m-3)·3-1, ∴.Tm=b+b2+b3+…+b.=1×31-(-1)×3°+3×32-1X 31+5×33-3×32+…+(2m-1)·3m-(2m-3)·3-1= (2m-1)·3m-(-1)×3°=(2n-1)·3m+1. 2.解：(1)a2=5,a3=7. 猜想an=2n十1. 证明如下：由已知可得 a+1-(2n+3)=3[an-(2m+1)], a.-(2n+1)=3[am-1-(2n-1)], …, a2-5=3(a1-3). ,a1=3,∴.an=2n十1. (2)由(1)得2am=(2n十1)2， ∴.Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2m.① 从而2S.=3X22+5X23+7X24+.+(2n+1)X2m+1.② ①一②，得 -Sn=3×2+2X22+2X23+…+2X2m-(2n+1)X2n+1」 .Sn=(2n-1)2+1+2. 第四讲 数列综合问题 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 解：(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{b}的公比为q, 由a=2=1=6十a=6A得径+09. 解得贸二2或图01（合去）.故a=2,6=3 (2)(i)由(1)知am为偶数，bn为奇数，故两数列无公共项， 集合E中的元素个数为两数列中不大于3”的项数之和. 数列a中不大于3的项数为2，数列a,)中不大于3 的项数为n十1， 放-21++1=3+叶号 (i)当3-1≤m<3(i∈N*)时，b.中不大于m的项数为i, a.中不大于m的项数为受(m为偶数)或”。(m为奇数)， 计受m为偶数， 故Cm= +”"2m为奇数， 则ac.=?im十m,m为偶数， 2im十m(m一1)，m为奇数， 故(-1)"ancm= ∫2im十m,m为偶数， -2im-m(m一1)，m为奇数. 对区间[3一1,3)内的项分组求和，共含2·31项，其中奇数 项、偶数项各31项， 每组和为31(2i一2)十6·9-1，对i=1,2,…,n求和得： ∑(-1)"amCm=2[3-1(2i-2)+6·9-1门， 其中23一1(2一2)用错位相减法计算， 令Sn=2(2i-2)3-1,则3Sn=2(2i-2)3, 两式相减得2Sn=一2(3十32十…十3m-1)十(2n一2)3"， 化简得s=2m)3”+8,含6·g91=6·智号-(9 2 9-1 1), 故总和为823”十3+子(g-1D-31+3"+ 2 生 【备考这样练】 1.A解析：设等差数列的首项为a1,公差为d,则a3=a1十2d, a,=a十6da,a,a成等比数列， ∴.(a1十2d)2=a1(a1十6d),解得a=2d. .=2d+d3 2d-2 2.①③④解析：对于①：由题知an,bn是关于n的一次式，对应 的函数为一次函数，即点(n,am),(n,bn)分别在两条斜率均不 为0的直线上，而这两条直线最多有1个交，点，.M中最多有 1个元素，∴.①正确 对于②：不妨取an=2”,bn=(一2)"，则有a2=2=4,b2 (-2)4=4(k∈N),∴.a2=b2e(k∈N*),此时M中有无数个 元素，∴②不正确. 对于③：由①知，点(n,an)在一条斜率不为0的直线1上.设bn =bg1(q≠1)，当公比q>0时，直线l与数列{bn}对应的函 数的图象至多有2个公共点，M中最多有2个元素；当g<一1 时，点(n,bn)在如图所示的曲线C,C2上，由图易知直线l与 曲线C,C2至多有3个公共点，如当an=3n-4,b.=一1× （-2)-1时，a1=b=-1,a2=b=2,a4=b=8,两个数列有3 项相同，.M中最多有3个元素； /C 当q=一1时，易知M中最多有2个元素；当一1<q<0时，易 知M中最多有3个元素.综上可知，当{an}为等差数列，{bn} 为等比数列时，M中最多有3个元素，∴.③正确. 对于④：若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则它们对应的函 数分别为单调递增函数和单调递减函数，两个函数图象的公 共点最多有1个，∴.M中最多有1个元素，∴.④正确.综上可 知，正确结论的序号为①③④. 3.解：(1)设{an}的公比为q, 则/a1+g)=2, a+g十g)=-6,解得{82， la1=-2 故{an}的通项公式为an=(-2). (2)由D得52=-3+（一D21 1一q 31 由于S+S1=-号+（一1少.22 3 -2[-号+(-少2-2 故S+1,S.,S+2成等差数列. 考点二 【高考这样考】 和据：设等关数a的公老为一位22-€N， 则b=a1-6,b2=2a2=2a+2d,b=as-6=a1十2d-6, :/=4a十6d=32, T3=4a1+4d-12=16,解得{d-2., ∴.am=a1+(n-1)d=2n+3, ∴.数列{an}的通项公式是am=2n十3. (2)证明：方法一：由(1)知，S.-n5+多+3》=+4,6，- /2n-3,n=2k-1,k∈N. l4n+6,n=2k, 当n为偶数时，b-1十b.=2(n-1)-3+4n+6=6n+1,Tm= 18+at.受=+， 2 当心5时，工-S=(号t+2）-(f+切=2m-10>0, 7 ∴.Tn>Sw 当n为奇数时，T,=T+1-61=号(n+1)2+子(n+1)- [4x+1D+6]=+号-5， 当m心>5时，工.-5.=（号d+号n-5）-(r+4n）=2(m+ 2)(n-5)>0,∴.Tm>Sn. 综上，当n>5时，Tm>Sn