专题二 第1讲 数列的概念与表示-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

专题二数列 第一讲 数列的概念与表示 ◆知识清单·精准记忆◆ 【基础梳理】 A.an-n B.an=n+1 1.数列通项公式与前n项和 C.an=n+2 D.an=2n 数列{an}的第n项am与序号n之间的 2.（多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项 通项 关系能用公式am=f(n)表示，这个公 公式可能是( 公式 式叫做数列的通项公式 A.an=-2n十1 B.an=-+3m+1 前n 数列{an}中，Sn=a1十a2十…十an叫 项和 做数列的前n项和 Ca,-是 D.an=(-1)m 2.数列的表示 3.已知am+1一an一3=0，n∈N*,则数列{an》 是() 通项公式把数列的通项使用公式表示的方法 A.递增数列 B.递减数列 使用初始值a1和a+1=f(an)或a1, C.常数列 D.不能确定 递推公式 a2和an+1=f(an,am-1)等表示数列的 4.已知数列{an}的通项公式为an=(一1)”，则它 方法 的第8项是 ,第9项是 3.数列中an与Sn的关系 题组二数列中an与Sm的关系 若数列{an}的前n项和为Sm,通项公式为am, 1.(2023·江苏淮安模拟)设数列{am}的前n项 则a S1,n=1, 和Sn=n2+1,则as的值为( Sn-Snm-1,n≥2，n∈N*. A.8 B.9 C.10 D.11 提醒：由S.求am时，要注意分n=1和n≥2 2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2,则an= 两个步骤进行， 【自主检测】 3.若an=一n2+9n十10，则当数列{an}的前n项 题组一数列的通项公式 和Sm最大时，n的值为 1.数列3,4,5,6，…的一个通项公式为( ◆◆方法清单·把控高考◆ 考点一 由am与Sn的关系求通项公式 (2-1)an=2n,则an= 【高考这样考】 【方法规律】已知Sm求am的步骤 (全国Ⅲ卷改编)设数列{an}满足a1十3a2十…十 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n一1替换Sm中的n得到一个新的关 -15 艺术生文化课考前100天数学 系，利用an=Sn一Sn-1(n≥2)便可求出当n≥ 【备考这样练】 2时an的表达式； 考向1累加法、累乘法求数列的通项公式 (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与 n≥2时的表达式合并. 1已知数列a巾，a=1,会-2则数列a 的通项公式是( 【备考这样练】 1.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2一3n,则 A.an=2n B.an-2n .1 an= 2.已知数列{an}的前n项和Sm=3”+1,则an= ca(》 Da是 2.已知数列{a}满足a= 3,an+1= n十1am,则 3.设数列{an}满足a1十3a2十3a3十…十3m-1an= an= 分则a, 3.在数列{an}中，a1=2,an+1=an十n十1，则an= 考点二 数列递推关系的运用 1 【高考这样考】 4.在数列{am}中，a1=3,a+1=an n(n+1),则 题(2022·淅江卷)已知数列{am}满足a1=1, 通项公式an=」 ant1=an- 3a(n∈N),则( 考向2构造法求数列通项公式 1.已知数列{an}满足a1=1,am+1=3an十2，则数 A2<10aw<号 列{an}的通项公式为 B号<10aw<3 2已知在数列a甲，a=1,at1三242nG N*),则数列{an}的通项公式an C3K10am<号 ■考向3数列的周期性 D.Z<100ao<4 1 1 1.在数列{an}中，若a1=2a.=1-a -(n≥2， 【方法规律】已知数列的递推关系求通项公式 n∈N*),则a2o24的值为( ) 的典型方法 A.-1 C.1 D.2 (1)当出现an=am-1十m时，构造等差数列. (2)当出现an=xam-1十y时，构造等比数列. 2a,0a,<, (3)当出现am=am-1十f(n)时，用累加法 2.已知数列{an}满足a+i 1 求解， 2a-1,2≤a<1, (④当出现。”一fm)时，用累乘法求解。 若e1=月，则a= 16甲甲 乙丙甲丙甲入 丙乙丙甲乙 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头， 且甲或乙在排尾的排法共有8种，所求概率为是-子故选 B. 【备考这样练】 1.D解析：依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇 演，总的基本事件有C号=6（件），其中这2名学生来自不同年 级的基本事件有C2C2=4(件)，'.这2名学生来自不同年级的 概率为=号 2 2.C解析：将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小 盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好 ,C 3 有3个小球有G种放法，故所求概率为。=0 3.D解析：分配方案共有CA种，恰好一名女生和一名男生 分到甲社区的分法有G妮种，故所家桃奉是器=日 4.A解析：由题意可知m=(a,b)有C4XCg=12(种)情况. ,mLn,即m·n=0,,∴.aX1十bX(-1)=0,即a=b,满足条 件的有(3,3)，(5,5，共2个，故所求的概率为日 5.号解析：甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，∴四 轮比赛后，甲的总得分最多为3分， 若甲的总得分为3分，则甲出卡片3,5,7时都赢，.只有1种 组合：3-2,5一4,7-6,1一8. 若甲的总得分为2分，有以下三类情况： 第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3一2,5一 4,1-6,7-8: 第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3一2,7一4,1一6,5一8或 3-2,7-4,1-8,5一6或3-2,7-6,1一4,5-8，共3种 组合； 第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5一2,7一4,1一6,3一8或 5-2,7-4,1-8,3-6或5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7 2,1一8,3-6或5一2,7-6,1-4,3-8或5-2,7-6,1-8， 3一4或5一4,7一6,1一2,3一8，共7种组合. 综上，甲的总得分不小于2分共有12种组合，而所有不同的 组合共有4×3×2×1=24（种），∴.甲的总得分不小于2分的 概率P-12=1 2421 专题二 数列 第一讲 数列的概念与表示 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.C解析：经验证可知，它的一个通项公式为an=n十2. 2.AC解析：可以通过画函数的图象一一判断.B有增有减，D是 摆动数列，A对应的函数是一次函数，且一次项系数小于0，故 为递减数列，C中的数列可以看成指数函数，也是递减数列. 3.A解析：a+1=a,十3>an,n∈N”,即该数列每一项均小于后 一项，故数列{an}是递增数列. 4.1-1解析：当n=8时，ag=(-1)8=1.当n=9时，ag= (-1)9=-1. 题组二 1.D解析：S6=62十1=37，S=52+1=26,故a6=S6一S= 37-26=11. 2.{1,n=1, 解析：当n≥2时，an=Sn一Sn-1=(n2一2) 12n-1,n≥2 [(n-1)2-2]=2n-1; 当n=1时，a1=S1=1一2=一1，不满足上式： ∫一1，n=1, 故am={2n-1,n≥2. 3.9或10解析：，要使Sn最大，只需要数列中正数的项相加 即可，即需am>0,一n2+9n+10>0,得-1<n<10.又n∈ N,∴.1≤n<10.又ao=0,.n=9或n=10. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 2n白解折：a十3a十…+(2m-1)a,=2,故当≥2时， 2 a+3a2+…+(2n-3)a-1=2(n-1). 2 两式相减得(2m-1)a,=2,…a.=2nn≥2). 又由题设可得a1=2,满足上式，从而{an}的通项公式为 2 an-2n-1' 【备考这样练】 考向 1.4n-5解析：当n=1时，a1=S1=2-3=-1;当n≥2时， a.=Sm-S.-1=(22-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于a1也适合此等式，∴.an=4n一5. 2位x心2解折：当1时a5计1 当n≥2时，an=Sn-S-1=(3"+1)-(31+1)=2X3-1. 当H1时，2xg=2aa=g心2 3.号解析：a1+3a+32a++31a,=号，① 则当m≥2时，a+3+3十+3a.1-”3,② 1 1 ①-②得3a,=3心a.=3(n≥2. 由题意知a=方特合上式a,=品 1 考点二 【高考这样考】 B解析a=1,易得a=号∈(0,1，依次类推可得a,∈ (0,1]. 由题意，a1=a(1-3a),得=a 3 anti an(3-an)an 1 1 即2-2>，1-1>1,1-1>1， 1-1 号m≥2， 累加可得2-1>号a-1,即士>号a十20≥2， a.<n是2≥2)，即aw<,10aw<g< 汉L-是-3a3g专+)0 、1-1< +…古0+kan 累加可得-1D+号（合+++）3， ∴-1<3+号×（侵+号++）<3+ a100 号（合×4+日×96）=39. 购。d<40aw一0中10aw>号 综上，号<10am<3. 故选B. 【备考这样练】 考向1 1.C解析：方法一：由已知可知，a=1,a2=之，a=2京，a4= 2,…心a=2 方法二a=品·…是·盘=（合）1 an-2 (合) 2品解折：由条件知会升分别令n=1,23,a一1， 代入上式得n-1个等式，即%·82·公…2=合 a-1 号×星×…X”,即经=又a=号ia=品 2 n 3.士n+2解析：由条件知a1一4.=十1，则a.=(e-a)十 (a一a2)+(a4-a)+…+(an一a-1)十a1=(2+3十4+…十 )+2=0+n+2 4.4-解析：a1一a.Fn(m十=n一n中' 1 11 ∴.当n>2时，an一an-1= 11 n-1n' a-an2n,a-a=1-分， 11 以上各式相加，得a,-a1=1一， ∴a.=4-.又a1=3适合上式，a=4- n 考向2 1.a.=2·31-1解析：a+1=3a十2，.a+1十1=3(a.十 D出-3，数列{a.十1)为等比数列，公比g=3.又 a.十1 a1十1=2，an十1=23-1，an=2·3-1-1. 2品解折a学a=10=十 合。d-分又a-1,则站-1品}是以1为黄 a 项，2为公差的等差数列，“-+(m-1)×日-号十 an a 合a= 2 考向3 1.D解析：a1=2a=2,as=-1,a4=之，as=2,as=-1, ,归纳得an+3=am…a2024=a3x674+2=a2=2. 2.9 解析：计算得a=2a-1=号，4=2a-1=号，a=24= 号故数列a,是以3为月朝的同期数列。 又：2017=672×3+1，amn=a=9. 第二讲等差、等比数列 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.D解析：，a4-a2=2d=6-4=2,.d=1. 2.B解析：由题意知，2十m=8,2m十n=10,两式相加得3m+ 3n=18,m十n=6,∴.m和n的等差中项是3. 3.15解析：方法一：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 a+6d+a1+8d=2a+14d=16.① a+3d=1.② 联立①@，得a=-d=子iau=a+1d=15 方法二：a十a=a4+a2,a12=16-1=15. 412解析：设该数列的前n项和为S,则S=60十6必5d= -18+30=12. 题组二 1.C解析：a=ag,∴号×(2）=2，即(2)”= (合）》”，解得m=5. 2.B解析：.=（一1）×（一9）=9且b与首项一1同号，.b -3,且a,c必同号，∴ac=b=9. 3.C解析：：a2a=a1ao=27,log3a2十log3a=log27=3. 4.2解析：设等比数列为{an},其公比为q,前n项和为Sm 因为等比数列{a.}的各项均为正数，所以q>0. 又5=4,5=68，所以g≠1.由S=4得4二9）=4① 1-9 由8=68得9二，2=68@8释1号-9=1，所 1-q 以g=16.又q>0,所以q=2. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 24解析：Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=一1，a4=5, 公差d=二04=5-（9-1D=2, 4-1 3 则S=6a+54=-6+30=24 【备考这样练】 考向1 1.B解析：由S=S,得5a,十+a）=10a,十an）,5a 2 2 5(as十as),a=0,公差d=gg=-号a=as-4d= 1-4X(-3)子故选B 2.2解析：由2S3=3S2十6可得2(a1十a2十a3)=3(a1十a2)十 6,化简得2ag=a1+a2十6，即2(a1+2d)=2a1+d+6,解 得d=2. 3.95解析：设{am}的公差为d,由a3十a4=a1+2d+a1+3d= 2a1+5d=7,3a2+as=3(a1+d)+a1+4d=4a1+7d=5,解得 a1=-4,d=3,则S10=10a1十45d=95. 考向2 1.C解析：在等比数列{am}中，设公比为q,由题意知1十q+ d+q+g=5(1+q十gd)-4,即g+g=4g十4g,即q+ 4q-4=0,即(q-2)(q十1)(q十2)=0.由题意知q>0,∴.q= 2,,.S4=1+2+4+8=15. 2.D解析：设{an}的公差为d,d≠0，因为a3,a4,a6成等比数 列，所以(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+5d),即a+d=0.因为a =一2，所以a1o=a1十9d=16.方法一：设等比数列的公比为 g,9≠0，由题意，g≠1，则a十a十a6=802=168,a 1-g s=a1q-a1g=a9(1-q)=42,联立两式解得9=2，a1= 96,则a6=a19=96×32=3. 方法二：设等比数列的公比为q,q≠0，则a1十a2十a=a1(1十 q+q)=168,a2-5=aq-a1g=a1q(1-q)=42,.q(1- 9g)=号，解得g=合∴a=96,∴a=au=96×2=3. 3.54解析：数列{an}是等比数列，且a1=2,a2=6, 由题意，q=3→a4=a1·q=54. 4.2357.5解析：设升、斗量器的高分别为hmm,h2mm,升、 斗、斛量器的容积分别为V1mm3,V2mm3,V3mm3..'升、斗 斛量器的容积成公比为10的等比数列，∴.V3=10V2,即π× (2)）°×230=10×π×（受）×，解得a=23.又V,= 10M,甲元×(2)）'×23=10×x(要)‘×A=57.5, ∴.升、斗量器的高分别为57.5mm,23mm. 考点二 【高考这样考】 C解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为ag,a4,a6成等比数列，且a1=一2， 所以a=aa6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得 d=2或d=0(舍去)， 所以a1o=a1十9d=-2+9X2=16.