专题一 第4讲 计数原理与二项式定理-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第四讲 计数原理与二项式定理 ◆◆ 知识清单·精准记忆 【基础梳理】 项系数之和为a1十ag十a5十…= f1)-f(-1) 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的 (3)二项式系数的最值问题 区别 分类加法计数原理针对的是“完成事件的方 当n为偶数时，中间一项即第 (受+1)项的二 法种类不同”问题，其各种方法是相互独立 项式系数C最大；当n为奇数时，中间两项 的，用其中任何一种方法都能完成这件事情； 分步乘法计数原理针对的是“完成事件需分 即第”1，n3项的二项式系数C,C相 2,2 几个步骤”问题，其各个步骤中的方法是相互 等且最大 联系的，只有各个步骤都完成才能完成这件 【自主检测】 事情. 题组一 排列、组合问题 2.排列数、组合数公式 1.从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客 (1)排列数公式 车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要 Am= (n-m1=n(n-1)(n-2）…(n-m十 n! 从甲地到乙地，共有不同走法的种数 1)(n,m∈N*,且m≤n), 是() (2)组合数公式 A.26 B.60 C.18 D.1080 2.(2023·河南洛阳模拟)一个电路中含有①② 心 n! m！(n-m)! 两个零件，零件①含有A,B两个元件，零件② =2(n-1)(n-2)(n-m+1D(,m∈N, 含有C,D,E三个元件，每个零件中有一个元 ml 件能正常工作则该零件就能正常工作，则该 且m≤n). 电路能正常工作的线路条数为( 3.二项式定理 (1)通项与二项式系数 (a十b)"的通项T+1=Cam-b(k=0,1,2, B …,n),其中C叫做二项式系数， 0 (2)二项式系数的性质 ①C9=C%,C=C”1,…,C=C1&; A.9 B.8 C.6 D.5 ②C9+Ch十C%+…+Ch=2; 3.(2026·全国Ⅱ卷)把甲、乙、丙、丁等8人分 ③C十C%十C十…=C9十C2十C4十…=2”-1； 成A,B两个技术小组，要求每组4人，其中 ④若f(x)=a0十a1x十a2x2十…十anx”,则 甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有 f(x)展开式中的各项系数和为f(1),奇数项系 () A.10种 B.12种 数之和为十a十4十=f)士f-),偶数 2 C.16种 D.24种 -10 专题一基础考点 题组二二项式定理问题 2.（2024·上海卷)在(x十1)”的二项展开式中， 1.(2026·北京卷)已知(a一√元)7的展开式中， 若各项系数和为32，则x2项的系数为 x2的系数是280，则a=( A.2 B.-2 C.1 D.-1 ◆◆方法清单·把控高考◆ 考点一 排列、组合问题 2.(2023·全国甲卷理)有5名志愿者参加社区 【高考这样考】 服务，共服务星期六、星期日两天，每天从中 (2023·新高考I卷)某学校开设了4门体育 任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两 类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8 天服务的选择种数为( 门课中选修2门或3门，并且每类选修课至少选 A.120 B.60 C.30 D.20 修1门，则不同的选课方案共有 种（用 3.(2025·上海高考)4个家长和2个儿童去爬 数字作答)， 山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头 【方法规律】1.应用两个计数原理的注意点 和尾均是家长，则不同的排列方法有 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计 种。 数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又 考向2简单的组合问题 可能用到分类加法计数原理. 1.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不 (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰 同的数，其和为偶数，则不同的取法共 当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化。 有( 2.解排列、组合问题的常见策略 A.60种 B.63种 (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要 C.65种 D.66种 求，再考虑其他元素 2.(2023·广东广州模拟)在报名的3名男教师 (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要 和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要 求，再考虑其他位置， 求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数 (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合 为 (结果用数值表示)， 数，再减去不符合要求的排列或组合数. 3.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比 (4)分组分配问题， 赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共 ①平均分组问题分组数计算时要注意除以组 数的阶乘。 有 种（用数字作答）： ②不平均分组问题实质上是组合问题 考向3排列、组合的简单综合 【备考这样练】 1.(2023·全国乙卷理)甲、乙两位同学从6种 ■考向1简单的排列问题 课外读物中各自选读2种，则这两人选读的 1.(2022·山东济南二模)由1,2,3,4,5组成没 课外读物中恰有1种相同的选法共有( ) 有重复数字的五位数，其中小于50000的偶 A.30种 B.60种 数共有( C.120种 D.240种 A.60个 B.48个 2.(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名 C.36个 D.24个 同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两 11 艺术生文化课考前100天数学 端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( 【备考这样练】 A.12种 B.24种 考向1求二项展开式中的指定项或特定项 C.36种 D.48种 系数 3.(2020·新高考Ⅱ卷)3名大学生利用假期到 1.(2023·北京卷)2x一 的展开式中x的 2个山村参加工作，每名大学生只去1个村， 系数为( 每个村至少1人，则不同的分配方案共 A.-80 B.-40 C.40 D.80 有() 2.(2023·福建福州模拟)(2x一y)°的展开式 A.4种 B.5种 中，x2y4项的系数是() C.6种 D.8种 A.30 B.-30 C.60 D.-60 4.(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4方格表 3.(2025·天津高考)在(x-1)6的展开式中，x3 中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个 项的系数为 方格被选中，则共有 种选法，在所有 考向2二项式系数与各项的系数问题 符合上述要求的选法中，选中方格中的4个 数之和的最大值是 1(2022·山东临济三模)在二项式(x-》 11 21 31 40 的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式 12 22 33 42 中各项系数的和为() 13 22 33 43 A.-32 B.-1 C.1 D.32 15 24 34 44 2.（2022·北京卷)若(2x-1)4=a4x十a3x3十 a2x2+a1x+a,则ao十a2十a4=( A.40 B.41 C.-40 D.-41 考点二 二项式定理问题 【高考这样考】 3(2024·全国甲卷理)在（号十x)”的展开式 (2026·上海卷)在(x2十x)5的二项展开式 中，各项系数中的最大值为 中，x项的系数为 考向3多项展开式中的特定项 【方法规律】应用通项公式时的5个注意点 1.已知(1十ax)3十(1一x)5的展开式中x3的系 (1)它表示二项展开式的任意项，只要n与k 数为一2，则a等于() 确定，该项就随之确定； A.23 B.2 C.-2 D.-1 (2)Tk+1是展开式中的第k十1项，而不是第 2.(2024·天潭卷)在(3+写) 的展开式中，常 k项； 数项为 (3)公式中，a,b的指数和为n,且a,b不能随 3.(2025·北京高考)已知(1一2x)1=a一2a1x十 便颠倒位置； 4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0= (4)对于二项式(a一b)”展开式的通项公式， a1十a2十a3十a4= 要特别注意符号问题； (5)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是 种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的 经典方法 —123.√2解析：a一b=(1,1一2x),因为a⊥(a一b),所以a·(a- b)=0, 则x十1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),故a=√2. 4.C解析：设向量b=(x,y),因为a=(2,0),所以a一b=(2 x,-y), 因为|a一b|=1,所以√/(2-x)2十(-y)2=1, 两边平方后得(x一2)2十y=1,这表明向量b的终点(x,y)在 以点(2,0)为圆心，1为半径的圆上，b表示向量b的模长，即 点(x,y)到原点(0,0)的距离. 因为圆心(2,0)到原点的距离为√(2-0)2十(0-0)7=2， 所以圆上的，点到原点的最大距离为圆心到原，点的距离加上圆 的半径，即2十1=3， 所以|b的最大值为3. 考向3 1.D解析：b⊥(b-4a),.b·(b-4a)=0,即=4a·b.a =(0,1),b=(2,x),.b=4十x2,a·b=x,得4+x2=4x, (x-2)2=0,解得x=2.故选D. 2.B解析：.a=(3,1),b=(2,2),.a十b=(5,3),a一b=(1, -1),则|a+b1=√5+3=√34，a-b|=√/+(-1)2= √2，(a+b)·(a-b)=5X1+3×(-1)=2,∴.cos(a+b,a-b》= (a+b)·(a-b)=2=17 1a+b1a-b√34×√217 3.C解析：c=(3+t,4),cos(a,c)=cos(b,c,即9+3+16 5 c 条得一5 考点三 【高考这样考】 ①2②[1,3]解析：因为a十b一c=0,所以c=a十b. 又因为c=a十b,所以A==1,所以入十4=2. 因为a+b一c=1,所以(1一λ)a+(1一)b=1, 该式平方得(1-)2a2+2(1-λ)(1-)a·b+(1-)2=1, 即(1-入)2+2(1-a)(1-)十(1-)2=1， 当u=1时，则有(1一λ)2=1，解得A=0或入=2，此时入十4=1 或3； 当4≠1时，则有=1=1-02一201-21， (1-)2 即[(+)-1][（λ十）-3]<0，解得1<+μ<3. 综上，A十4的取值范围为[1,3] 【备考这样练】 1.D解析：因为1OA=1OB=√2，AB1=2, 由A范=0i-Oi平方可得，0i.0i=0,所以<OA,0成》=受。 2C+AB=2Oi-元)+Oi-Oi=Oi+Oi-2O元 10元=/32+42=5， 所以|2Ci+A1=Oi+可+2O方·O市+4O心 4(OA+Oi)·O心 =2+2+4×25-4(Oi+可i)·ō元=104-4(Oi+ oi)·o心 又|(Oi+Oi)·O元1≤1Oi+ōi11元1=5×√2+2= 10,即-10≤(0i+0i)·0心≤10， 所以|2Ci+AB2∈[64,144]，即|2C方+AB|∈[8,12]. 2.日a+号b-15解析：如图， 因为C市=CD,所以A花-A心=号(A市-AC),所以A迹- 号动+子A成 因为D为线段AB的中点，所以A正=日A恋+子A心=日a+ 号妍 又因为1证=5，AE1CB,所以A恋=（合a+号）'=元d+ 号ab+号8=25， A迹.Ci=(6a+子b)(a-b)=6a2+2a·b-号- 0,所以a2+3a·b=4b2, 所以a2+4a·b=180, 所以A碰.d-(合a+子b)·(-b计2a)=2c+日a·b 号=2(a+2ab-86) =2g+2ab2d-6a·b)=(-d-4ab)=-15. 1 第四讲计数原理与二项式定理 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.A解析：由分类加法计数原理知有5十12十3十6=26（种）不 同走法. 2.C解析：由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线 路条数为2×3=6. 3.C解析：甲、乙同在A组时，丙在A组，有4种分配方案，丁 在A组，有4种分配方案，共8种分配方案；同理，甲、乙同在 B组时，也有8种分配方案，所以共有16种分配方案. 题组二 1.A解析：设第r十1项为C·a-r·(-√元)=(-1)”· Cia-rx克， 令x=x,则r=4,∴.(-1)Ca3=280,解得a=2. 2.10解析：令x=1,∴.(1+1)”=32，即2"=32，解得n=5, ∴.(x十1)5的展开式的通项为T+1=C·x-,令5-r=2,则 r=3,.T4=Cx2=10x2,故x2项的系数为10. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 64解析：(1)若选修2门，则只能各选1门，共有C4C4= 16(种). (2)选修3门，①若体育类选修课选1门，则艺术类选修课选2 门，共有CC=24(种)： ②若体育类选修课选2门，则艺术类选修课选1门，共有 CC=24(种). 综上，不同的选课方案共有16十24十24=64（种）. 【备考这样练】 考向1 1.C解析：先排个位，然后排万位，再排其他位置，.由1,2,3， 4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共 有2X3XA=36(个). 2.B解析：不妨记5名志愿者分别为a,b,c,d,e,假设a连续参 加了两天服务，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与 星期日的服务，共有A=12(种)方法，同理，b,c,d,e连续参 加了两天服务，也各有12种方法，.恰有1人连续参加两天 服务的选择种数为5×12=60. 3.288解析：先排队列的头和尾，有A=12(种)排法，再排中间 的4人，有A4=24(种)排法，则不同的排法有12X24=288(种). 考向2 1.D解析：9个整数中共有4个不同的偶数和5个不同的奇 数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇 数和2个偶数，故不同的取法有C+C4十CC=66(种). 2.120解析：①1男4女，CC=45(种)；②2男3女，C号C= 60(种)；③3男2女，C8C号=15（种）.∴.一共有45+60+15= 120(种). 3.16解析：从6位学生中任意选3人有C=20(种)选法，没有 女生入选有C=4(种)选法，故至少有1位女生入选的不同选 法共有20一4=16（种）. 考向3 1.C解析：首先确定相同的读物，共有C种，然后两人各自的 另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排 列，共有A号种，根据分步乘法计数原理，可得CA=120(种). 2.B解析：，丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看作一个元素，连 同乙、戊看成三个元素排列，有3！种排列方式；为使甲不在两 端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位 置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2种排列方式..安排这5名同学共有3！×2×2=24（种）不 同的排列方式。 3.C解析：可先将3名大学生分成2组，一组2人，一组1人， 共有C=3(种)分法，再将这两组分配到2个山村，有A 2(种)分法，故共有3X2=6(种)分法. 4.24112解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同 的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共 有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数 均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一 个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法， 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1=24. 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数 字分别为1,2,3,4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数 字的最大值分别为1,3,3,5，故从第一行选21，从第二行选 33,从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最 大，故选中方格中的4个数之和的最大值为21十33十43十 15=112. 考点三 【高考这样考】 10解析：(x2十x)5的二项展开式的通项公式为C·x0-', 令10一r=7,则r=3,则x项的系数为C=10. 【备考这样练】 考向1 1.D解析：(2x-）广的展开式的通项为T+1=CG(2x) (-）广=(-10r2-Cx-,令5-2r=1,得=2， (2x-）'的展开式中x的系数为(-1)25-C=80, 2.C解析：由题意T,+1=C(2x)5-r(一y)',当r=4时，x2y4项 的系数是15×4=60. 3.一20解析：(x一1)展开式的通项公式为T+1=C6x-,· (-1)',当r=3时，T4=Cgx3·(-1)3=-20x3,即(x-1)6 的展开式中x3项的系数为一20. 考向2 1.B解析：，二项式系数的和是32，则2=32，n=5.令x= 1,则展开式中各项系数的和为(-1)5=-1. 2.B解析：令x=1,则a4十a十a十a十a=1,令x=-1,则 a-a十a-a+a-=（-3)=81,故a4十a+a=1+81=41. 2 3.5解析：（号十x)的展开式的通项公式为T+1=C。· (日)”x,则各项的系数分别为C(3)”,C(号)》'，C品· (3)°，c(3)',c(3)°，c(3)°，C(3）)‘,c· (3)',C(号)》，C(日)），C(日)°，观察发现二项式系 数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算C。· (3)°，c(3),c(3)°，c(3),C(3, 3(号)八，比校可得，C(兮)》=5最大. 考向3 1.B解析：(1十ax)3,(1一x)5的展开式中x3的系数分别为 a3,Cg(一1)3，由题意可得a3一10=一2，即a3=8,解得a=2. 2.20解析：（是+）'的展开式的通项为T+1=C(3) (写)-C·3-4·,令6k-18=0,则k=3,常数项 为T4=Cg·3°·x°=20. 3.115解析：令x=0,则a=1. 又(1-2x)4=a-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4, 故(1-2x)=a0+a1(-2x)+a2(-2x)2+a3(-2x)3+ a4(一2x),令t=-2x,则(1+t)4=a+a1t+a2t+a3t+a4t, 令t=1,则ao+a1十a2十a3+a4=24,故a1+a2十a3+a4=15. 第五讲古典概型的概率计算 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 1.D解析：一枚硬币连掷2次可能出现（正，正），（反，反），（正， 反)，（反，正）4种情况，只有一次出现正面的情况有2种，故 2.B解析：用树状图列举如图. ∴.事件总数有15种，由题意知小敏输入一次密码能成功的概 率为 3号 解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取 法有6种，则所求概率为P=品-号。 4.行解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基 本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)， (3,4),(3,5),(4,5),共10种.P=0= 2 1 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 C=21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2,4)， (2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，故所求概 率P=217= 21 3 【备考这样练】 1.A解析：用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙两人每人抽取 1个主题共有6×6=36（个）不同结果，它们等可能，其中甲、 乙抽到相同主题的结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)， (6,6),共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果 有30个，概率P=36=6 _30_5 2.C解析：从6张卡片中无放回抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1， 4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种情况，其中数字之积为4 的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种 情况，故概率为品号。 3. 解析：从正方体的8个顶点中任取4个，有n=C8= 70(个)结果，这4个点在同一个平面的有m=6十6=12（个）， 12-6 故所求概率P-%-号-需 3 4. 解析：从5名同学中随机选3名的方法数为Cg=10,甲、 乙都入选的方法教为C=3,“甲、乙春入选的凝率P=品 考点二 【高考这样考】 B解析：画出树状图： 甲 丙 丙 丙丁乙 丁乙丙 丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙 丁丙丁甲丙甲