专题一 第3讲 平面向量-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

第三讲 ◆◆知识清单 【基础梳理】 1.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运 算.向量线性运算的结果仍是向量，对于任意 向量a,b,c,以及任意实数入，1,2，恒有 入(1a士2b)=a士入2b. 注意：谨记平面向量线性运算中的两个注 意点 (1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面 向量基本定理选好基底，变形要有方向，不能 盲目转化. (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相 接”，结果向量是第一个向量的起，点指向最后 一个向量终点所在的向量；在用三角形减法 法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是 指向被减向量。 2.平面向量的两个充要条件 已知两个非零向量a=（x1,y1),b=（x2, y2),则 (1)a∥b台a=b(b≠0)台→x1y2一x2y1=0. (2)a⊥b台a·b=0台1x2十y1y2=0. 3.平面向量的数量积的两种运算形式 (1)数量积的定义：a·b=a|bcos0(其中0 为向量a,b的夹角). (2)坐标运算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2十y1y2 4.平面向量的四个性质 (1)若a=(x,y),则|a=√a·a=√x2十y2. 专题一基础考点 平面向量 精准记忆◆ (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 1AB|=√(x2-x1)2+(y2-y)2. (3)若a=(,y),b=(x2,2),0为a与b的夹 角，则cas0=8论 0x2十h2 ab√好+√+吃 (4)la·b≤albl. 【自主检测】 题组一平行向量的线性运算 1.(2026·全国I卷)已知平面向量a,b不共 线，且2a十b=xm-3b,则() A.x=2,y=-3 B.x=-2,y=3 C.x=2,y=3 D.x=-2,y=-3 2.如图，在□ABCD中，E是BC的中点，若AB=a, AD=b,则D龙=() D A.Ta-b B.jatb C.ab D.a-20 3.设向量e,e2是平面内的一组基底，若向量a= -3e1一e2与b=e1一e2共线，则λ=(）) A号 a-3 C.-3 D.3 4.(2024·上海卷)已知∈R,向量a=(2,5), b=(6,k),且a∥b,则k的值为 艺术生文化课考前100天数学 题组二平面向量的数量积 1.若向量a,b满足|a=b|=1,a与b的夹角 为60°，则a·a十a·b等于( ) A. B多 c1+ D.2 2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足a=1, a十2b|=2,且(b-2a)⊥b,则b1=() ◆◆方法清单 考点一 平面向量的线性运算 【高考这样考】 题(2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在边 AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则 CB=() A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m++3n 【方法规律】平面向量的线性运算技巧 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组 基底，同时注意向量共线定理的灵活运用. (2)运算过程中要重视数形结合，结合图形分 析向量间的关系 【备考这样练】 ■考向1平面向量的线性运算 1.(2020·新高考Ⅱ卷)若D为△ABC的边AB 的中点，则C第=() A.2C市-CA B.2CA-CD C.2Cò+CA D.2CA+CD 2.(2023·山东淄博模拟)在平行四边形ABCD 中，D=3E武，若AE交BD于点M,则( A.AM-3AB+3AD B.AM=3A+号A市 C.Ai-号A+3AD D.AM=号Ai+AD A B号 D.1 3.已知向量a=(2,2),b=(一8,6)，则cos(a,b〉= 4.已知a=1,b=2,a与b的夹角为，则b 在a方向上的投影向量为 把控高考◆ 口考向2向量共线的条件及应用 1.已知向量a,b不共线，若(a+3b)∥(ka一b), 则实数=( A-B- C. n. 2.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a b),则( ) A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线 3.(2026·上海卷)已知k∈R,向量a,b,c两两 不平行，且a+3b∥b+c,2a+c∥b+c,则 k= 考点二 平面向量的数量积 【高考这样考】 知(2023·全国乙卷文)正方形ABCD的边长是 2,E是AB的中点，则EC·ED=() A.√5 B.3 C.2W5D.5 【方法规律】平面向量数量积问题的解题方法 (1)借“底”数字化：要先选取一组合适的基底 (一般用已知的向量表示未知的向量)，建立 向量之间的关系，利用向量间的关系构造关 于未知向量的方程进行求解. (2)借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐 标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示 出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使 问题得以解决。 【备考这样练】 考向1平面向量数量积运算 1.(2023·北京卷)已知向量a,b满足a十b=(2, 3),a-b=(一2,1)，则|a2-|b12=() A,-2B.-1 C.0 D.1 2.(2026·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足a+b|= 1,a-b1=√3，则a·b=() A. 号 c号 D.-2 3.已知矩形ABCD中，|AB=6,|AD|=4,若 点M,N满足BM=3M心，DN=2NC,则 AM.NM等于() A.20 B.15 C.9 D.6 4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a+b十c=0, |a=1,|b|=|c=2,则a·b+b·c+c· a= 考向2平面向量的模 1.(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b= (-2,4),则a-b=() A.2 B.3C.4 D.5 2.(2023·山东临沂月考)在正方形ABCD中， M,N分别是BC,CD的中点，若AB=2,则 |AM+BN1=() A.2 B.√10 C.4 D.25 3.(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b= (x-1,2x),若a⊥(a-b),则a= 4.(2026·北京卷)已知向量a,b满足a-b|= 1,a=(2,0),则b的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 考向3平面向量的夹角与垂直问题 1.(2024·新高考I卷)已知向量a=(0,1),b= (2,x),若b⊥(b-4a),则x=() A.-2 B.-1 专题一基础考点 C.1 D.2 2.(2023·全国甲卷文)已知向量a=(3,1),b= (2,2),则cosa十b,a-b〉=( ) A清 R铝 c得 D25 5 3.（2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b= (1,0),c=a十b,若〈a,c〉=〈b,c〉，则 t=() A.-6 B.-5 C.5 D.6 考点三 平面向量的综合问题 【高考这样考】 (2026·天津卷)已知a=a·b=1,b>1, 记c=a十b.回答下列问题： ①当a十b-c=0时，λ十= ②当|a+b-c|=1时，λ十u的取值范围是 【方法规律】平面向量综合问题的解题方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系 中，则相关点与向量就可以用坐标表示出来， 这样就能进行相应的代数运算，从而使问题 得到解决。 (2)基向量法：适当选取一组基底，建立向量 之间的关系，利用向量间的关系构造关于未 知量的方程或表达式进行求解. 【备考这样练】 1.(2025·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，1OA=1O=√2，A1=2,设C(3,4), 则|2CA十AB|的取值范围是() A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 2.（2025·天津高考)在△ABC中，D为AB边 的中点，CE=}CD,A克=a,A心=b,则A克= (用a,b表示)；若|AE1=5,AE1 CB,则AE·C方=复数乏在复平面内对应的点在第二象限 2.D解析：z=√2i,2=一√2i,之·=2.故选D 3.C解析：设x=x十yi(x,y∈R),,|z-i=1, ∴.x+(y-1)i川=1，.x2+(y1)2=1. 4.D解析：，（之一2）i=1+i, =1中+2=3-i,则z3,-1), ∴.|O21=√/32+(-1)2=w/10. 考点三 【高考这样考】 ACD解析：因为z=3+2i,所以=3一2i,x|=w√32+22= √13，故A正确，B错误； 所以22=9一4十12i=5+12i,故C正确： 所以士3-6，+21-6+2（3_18+2士6i-6i=2∈R,故 z-i3+i(3+i)(3-i) 9+1 D正确. 【备考这样练】 A解折：因为：=1中，所以中白}-=- 1 2.A解析：之=5十i,2=5-i,∴i(十)=10i故选A 3.A解析：1=3-2i,2=一1十4i,∴.1十2=2+2i, ∴名十=√22+22=22. 4.D解析：(1十2i)2·z=5, 0叶2河计一3智布=-是- 5 5(-3-4i) 5.8+6i解析：(3+i)2=9++6i=9-1+6i=8+6i 第三讲平面向量 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组 1.A解析：因为2a十3b=a-3b,所以(2-x)a=(一3一y)b. 因为a,b不共线，所以2一x= 一3一y=0,所以x=2,y=一3 2.D解析：D成-D心+C成-A迹+(-2AD)=A市-2AD a26 3.B解析：a与b共线，∴.存在u∈R,使得a=b,即一3e1一 e=u(e一e2).故μ=-3，-=一1，解得入=-3 4.15解析：，a∥b,∴.2k=5×6,解得k=15. 题组二 1.B解折：aa+a:b=a+ab1cas60=1+号-号 2.B解析：由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b-2a·b=0.∴.b2 =2a·b.将a+2b|=2的两边同时平方，得a2十4a·b+4b =4,即1+2B+4=1+61b2=4,解得1b2=2,.|b|= 号故逸B 解析：a=(2,2),b=(-8,6),a·b=2X(-8)+ 2X6=-4,|a=√22+2z=2√2，|b1=√(-8)2+62=10. cos(a,b)-ah 一4=2 1ab2√2×10 101 40解折：b在a方句上的投影狗量为1bas音日-2X7a=a 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 B解析：：点D在边AB上，BD=2DA,B市=2DA, 即Ci-Ci=2(Ci-Cd),∴.Ci=3Cd-2Ci=3n-2m= -2m+3n. 【备考这样练】 考向1 1.A解析：D为△ABC的边AB的中点，Cd=号(Ci+ CB),..CB=2CD-CA. 2.B解析：D苑=3武，.E为线段DC 上靠近，点C的四等分点，如图. 显然△ABMD△EDM,中饶-=是 号，…i=号走=号A动+D成=AB的 (励+)=号恋+动 考向2 1.A解析：：(a十3b)∥(a-b),∴.存在实数入，使得ka-b= Aa十30，=k,3x=-1,解得k=-号 2.A解析：Bd=B+Ci=(-2a十8b)+3(a-b)=a十5b.又 AB=a十5b,∴.AB-Bd,则AB与Bd共线.又AB与Bd有公共 点B,A,B,D三点共线. 3.-6解析：不妨设a十3b=入(b+c)=u(2a十c)→ (a=(入-3)b+c, a=1-2 入-3=1一2#解得k=一6. -3 考点二 【高考这样考】 B解析：方法一：以{AB,AD}为基底向量，可知A范|= |AD1=2,AB·AD=0,则式-i+B武2A$+AD,Ed= à+动=-2恋+动，成·动=(2恋+动)· (-2恋+市)=-恋+迹=-1+4=3. 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E(1,0),C(2,2),D(0,2), 可得E式=(1,2)，Ei=(-1,2), D ∴.EC·E5=-1+4=3. 方法三：由题意可得ED=EC=5,CD=2. 在△CDE中，由余弦定理可得 AE B cos∠DEC= ED+EC-CD 2ED·EC 5+5-4_3 2X5X5-5, “武.动=武动os∠DC=5X5×号=3. 【备考这样练】 考向1 1.B解析：向量a,b满足a十b=(2,3),a-b=(-2,1), .|a2-b|2=(a+b)·(a-b)=2X(-2)+3X1=-1. 2.D解析：因为a十b=1,|a一b|=√3，所以a2+2a·b+b= 1,a2-2a·b+b=3, 两式相减，得4a·b=一-2，解得a·B=一2 3.C解析：.四边形ABCD为矩形，建系 如图，A(0,0),M(6,3),N(4,4), D 则AM=(6,3),N=(2,-1), 斜M ∴.AM.NM=6X2-3×1=9. 4.-是解析：a+b叶o2=d+形+e+ A 2(a·b+b·c+c·a)=0→2(a·b+b·c+c·a)+9=0→a·b+ 9 b.c+c.a=-2. 考向2 1.D解析：a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),∴|a-b|= √42+(-3)2=5. 2.B解析：以AB,AD所在直线分别为x,Y y轴建立如图所示的平面直角坐标系，D AB=2,则A(0,0),B(2,0),M(2,1) N(1,2),.AM=(2,1),BN=(-1,2), AM+B=(1,3),.1Ai+B1= √/12+32=√10. A 3.√2解析：a一b=(1,1一2x),因为a⊥(a一b),所以a·(a- b)=0, 则x十1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),故a=√2. 4.C解析：设向量b=(x,y),因为a=(2,0),所以a一b=(2 x,-y), 因为|a一b|=1,所以√/(2-x)2十(-y)2=1, 两边平方后得(x一2)2十y=1,这表明向量b的终点(x,y)在 以点(2,0)为圆心，1为半径的圆上，b表示向量b的模长，即 点(x,y)到原点(0,0)的距离. 因为圆心(2,0)到原点的距离为√(2-0)2十(0-0)7=2， 所以圆上的，点到原点的最大距离为圆心到原，点的距离加上圆 的半径，即2十1=3， 所以|b的最大值为3. 考向3 1.D解析：b⊥(b-4a),.b·(b-4a)=0,即=4a·b.a =(0,1),b=(2,x),.b=4十x2,a·b=x,得4+x2=4x, (x-2)2=0,解得x=2.故选D. 2.B解析：.a=(3,1),b=(2,2),.a十b=(5,3),a一b=(1, -1),则|a+b1=√5+3=√34，a-b|=√/+(-1)2= √2，(a+b)·(a-b)=5X1+3×(-1)=2,∴.cos(a+b,a-b》= (a+b)·(a-b)=2=17 1a+b1a-b√34×√217 3.C解析：c=(3+t,4),cos(a,c)=cos(b,c,即9+3+16 5 c 条得一5 考点三 【高考这样考】 ①2②[1,3]解析：因为a十b一c=0,所以c=a十b. 又因为c=a十b,所以A==1,所以入十4=2. 因为a+b一c=1,所以(1一λ)a+(1一)b=1, 该式平方得(1-)2a2+2(1-λ)(1-)a·b+(1-)2=1, 即(1-入)2+2(1-a)(1-)十(1-)2=1， 当u=1时，则有(1一λ)2=1，解得A=0或入=2，此时入十4=1 或3； 当4≠1时，则有=1=1-02一201-21， (1-)2 即[(+)-1][（λ十）-3]<0，解得1<+μ<3. 综上，A十4的取值范围为[1,3] 【备考这样练】 1.D解析：因为1OA=1OB=√2，AB1=2, 由A范=0i-Oi平方可得，0i.0i=0,所以<OA,0成》=受。 2C+AB=2Oi-元)+Oi-Oi=Oi+Oi-2O元 10元=/32+42=5， 所以|2Ci+A1=Oi+可+2O方·O市+4O心 4(OA+Oi)·O心 =2+2+4×25-4(Oi+可i)·ō元=104-4(Oi+ oi)·o心 又|(Oi+Oi)·O元1≤1Oi+ōi11元1=5×√2+2= 10,即-10≤(0i+0i)·0心≤10， 所以|2Ci+AB2∈[64,144]，即|2C方+AB|∈[8,12]. 2.日a+号b-15解析：如图， 因为C市=CD,所以A花-A心=号(A市-AC),所以A迹- 号动+子A成 因为D为线段AB的中点，所以A正=日A恋+子A心=日a+ 号妍 又因为1证=5，AE1CB,所以A恋=（合a+号）'=元d+ 号ab+号8=25， A迹.Ci=(6a+子b)(a-b)=6a2+2a·b-号- 0,所以a2+3a·b=4b2, 所以a2+4a·b=180, 所以A碰.d-(合a+子b)·(-b计2a)=2c+日a·b 号=2(a+2ab-86) =2g+2ab2d-6a·b)=(-d-4ab)=-15. 1 第四讲计数原理与二项式定理 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.A解析：由分类加法计数原理知有5十12十3十6=26（种）不 同走法. 2.C解析：由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线 路条数为2×3=6. 3.C解析：甲、乙同在A组时，丙在A组，有4种分配方案，丁 在A组，有4种分配方案，共8种分配方案；同理，甲、乙同在 B组时，也有8种分配方案，所以共有16种分配方案. 题组二 1.A解析：设第r十1项为C·a-r·(-√元)=(-1)”· Cia-rx克， 令x=x,则r=4,∴.(-1)Ca3=280,解得a=2. 2.10解析：令x=1,∴.(1+1)”=32，即2"=32，解得n=5, ∴.(x十1)5的展开式的通项为T+1=C·x-,令5-r=2,则 r=3,.T4=Cx2=10x2,故x2项的系数为10. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 64解析：(1)若选修2门，则只能各选1门，共有C4C4= 16(种). (2)选修3门，①若体育类选修课选1门，则艺术类选修课选2 门，共有CC=24(种)： ②若体育类选修课选2门，则艺术类选修课选1门，共有 CC=24(种). 综上，不同的选课方案共有16十24十24=64（种）. 【备考这样练】 考向1 1.C解析：先排个位，然后排万位，再排其他位置，.由1,2,3， 4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共 有2X3XA=36(个). 2.B解析：不妨记5名志愿者分别为a,b,c,d,e,假设a连续参 加了两天服务，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与 星期日的服务，共有A=12(种)方法，同理，b,c,d,e连续参 加了两天服务，也各有12种方法，.恰有1人连续参加两天 服务的选择种数为5×12=60. 3.288解析：先排队列的头和尾，有A=12(种)排法，再排中间 的4人，有A4=24(种)排法，则不同的排法有12X24=288(种). 考向2 1.D解析：9个整数中共有4个不同的偶数和5个不同的奇 数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇 数和2个偶数，故不同的取法有C+C4十CC=66(种). 2.120解析：①1男4女，CC=45(种)；②2男3女，C号C= 60(种)；③3男2女，C8C号=15（种）.∴.一共有45+60+15= 120(种). 3.16解析：从6位学生中任意选3人有C=20(种)选法，没有 女生入选有C=4(种)选法，故至少有1位女生入选的不同选