专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 巩固勾股定理及其逆定理，能运用勾股定理求边长、解决折叠与最短路径问题 · 理解实数、无理数、平方根、立方根的概念，熟练进行实数的简单运算 · 掌握二次根式有意义的条件、化简与混合运算，会区分最简二次根式 · 巩固平面直角坐标系中点的坐标、象限符号、点到坐标轴距离与轴对称变化 · 理解一次函数与正比例函数的概念、图象与性质，会比较函数值并解决简单应用 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即c2=a2+b2 逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25及其整数倍 折叠与最短路径：抓住对应边相等，展开后构造直角三角形列勾股方程 概念辨析例题：直角三角形两直角边为6和8，求斜边 答案：c===10 解析：直接代入勾股定理c2=a2+b2=36+64=100，故c=10 ☆ 2.实数与方根 无理数：无限不循环小数；实数与数轴上的点一一对应 平方根：若x2=a（a≥0），则x=±；算术平方根为 立方根：若x3=a，则x=；任意实数都有唯一立方根 实数运算：先乘方开方，再乘除，后加减；零指数幂a0=1（a≠0） 概念辨析例题：求与的值 答案：=4，=3 解析：4的平方是16，故=4；3的立方是27，故=3 ☆ 3.二次根式 二次根式有意义的条件是被开方数a≥0 性质：(=a，=|a| 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数 运算：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式；乘除= 概念辨析例题：化简： 答案：2= 解析：=2，=，合并同类二次根式 ☆ 4.位置与坐标、一次函数 象限符号：第一(+,+)、第二(-,+)、第三(-,-)、第四(+,-) 点P(a,b)到x轴距离|b|、到y轴距离|a|；关于x轴对称(a,-b)、关于y轴对称(-a,b) 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线；k>0递增、k<0递减 b为直线与y轴交点纵坐标；与x轴交点为(-,0) 概念辨析例题：点P(-3,4)到x轴、y轴的距离及关于x轴对称点坐标 答案：到x轴距离4，到y轴距离3，关于x轴对称点为(-3,-4) 解析：到x轴距离=|纵坐标|=4，到y轴距离=|横坐标|=3；关于x轴对称横坐标不变、纵坐标变号 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 勾股定理 c2=a2+b2 只适用于直角三角形 平方根/立方根 x2=a→±；x3=a→ 负数无平方根、有立方根 二次根式 （a≥0），=|a| 先化为最简再合并 点的坐标 象限符号、到轴距离 距离取绝对值 一次函数 y=kx+b（k≠0） k定增减、b定与y轴交点 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股定理及其计算（第1-7题） · 已知两边用a2+b2=c2求第三边，先找准斜边 · 判断直角三角形：验证较短两边平方和是否等于最长边平方 · 熟记常见勾股数提高解题速度 1．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段检测）如图， 点 M 是线段的中点，于点C，于点 D， 连接．若 则的长为（       ） A． B． C．3 D． 2．（23-24八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）一个直角三角形的三边长分别为5，7，x，则x的值为______． 4．（12.3二次根式的加减（1）八年级数学下册苏科版）已知矩形的长为，宽为，求矩形的周长和对角线的长． 5．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中与都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为．请判断这个零件是否符合要求，并说明理由． 6．（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）已知四边形是的内接四边形，，连接． (1)如图①．求的度数； (2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积． 7．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）探寻“勾股数”： 满足关系的正整数a、b、c称为勾股数．通过学习我们知道勾股数有无数组，那么勾股数有规律吗？下面我们利用点图来探一类勾股数的计算公式．如图从点图的左上角构随正方形，把含有个点的正方形称为n阶正方形． (1)探寻规律： ①2阶正方形比1阶正方形多3个点：3阶正方形比2阶正方形多5个点：4阶正方形比3阶正方形多_________个点； ②阶正方形比a阶正方形多_________个点． (2)利用阶正方形与a阶正方形探寻勾股数．如果阶正方形比a阶正方形多的点数为平方数，那么就可以得到一组勾股数，比如5阶正方形比4阶正方形多9个点，9是平方数，于是能得到，即，因此得到一组勾股数为，，，请利用该方法再写出一组勾股数； (3)设阶正方形比a阶正方形多个点，用字母n表示这组勾股数，写出求解过程，并指出n是奇数还是偶数． 【考点2】勾股定理的实际应用与折叠（第8-10题） · 旗杆、最短路径等实际问题画直角三角形建模 · 折叠问题抓住对应边相等，设未知数列勾股方程 · 注意结果单位与实际意义检验 8．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 9．（重难提优4 勾股定理的应用（5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版））如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为________． 10．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为。如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要______． 【考点3】实数的概念与方根（第11-25题） · 区分无理数与有理数，实数与数轴一一对应 · 平方根、算术平方根、立方根符号不要混淆 · 负数没有平方根，但有立方根 11．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2024·山东潍坊·一模）如图，点和表示的数分别为和，下列式子中，错误的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）在0，，，，（每两个1中依次增加一个2）这些数中，无理数的个数为（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 16．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列各数，，4.121121112，0.333…，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 18．（23-24八年级上·福建泉州·期末）下列各数：，，，，0.101001，其中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 20．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）若，则__________ 21．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）在实数、、、、0、中，无理数有 _____个． 22．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）实数的绝对值为________． 23．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 24．（23-24八年级上·广东茂名·期中）求式中的x的值：． 25．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【考点4】实数的运算与新定义（第26-38题） · 按运算顺序计算，注意零指数幂与负整数指数幂 · 新定义运算严格按给定法则代入 · 绝对值先判断符号再化简 26．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 27．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新的运算： ，则＝_________． 28．（25-26七年级下·青海西宁·期中）比较大小：______．______． 29．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知负数的平方等于4，的绝对值等于5，若，则____． 30．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 31．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）计算： (1)计算：； (2)求x的值：． 32．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）【阅读理解】 如何判断无理数的大小范围呢？我们可这样做： 因为： 所以： 即： 因此：是介于5到6的一个数． 由此我们也可以得到这样的结论：的整数部分是5，小数部分是． 【问题解决】 (1)下列无理数中，大小在3与4之间的是（   ） A．　B．　C．　D． (2)的整数部分是_______，小数部分是_______． (3)的整数部分为，小数部分为，则_______． 33．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）计算 (1)； (2)． 34．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）计算： 35．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）求式中x的值： 36．（2025·陕西西安·三模）计算：． 37．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）求下列式子中x的值 (1) (2) 38．（2026·江苏苏州·一模）计算：． 【考点5】二次根式的性质与运算（第39-47题） · 先求被开方数取值范围保证二次根式有意义 · 化简为最简二次根式再合并同类二次根式 · 乘除用=，除法注意分母有理化 39．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小：_________ 41．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 42．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为__________． 43．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）函数的自变量的取值范围是______． 44．（24-25九年级上·河南南阳·阶段检测）若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 45．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 46．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）计算：． 47．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，，，且，求T的值． 【考点6】位置与坐标（第48-53题） · 由象限符号判断点所在位置或反推坐标符号 · 点到坐标轴距离=坐标绝对值 · 轴对称按坐标变号规律处理 48．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为6，则称点A为“顺利点”．例如：点到x轴、y轴的距离分别为2，4，距离和为6，则点B是“顺利点”．点C是一次函数图象上的“顺利点”，则点C坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 49．（25-26八年级上·福建三明·期中）点，则点到原点的距离为________． 50．（23-24八年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 51．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）若点与点关于y轴对称，则的值为_____． 52．（24-25八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为______． 53．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段检测）若点A的坐标为，点B的坐标为，则线段的长为________． 【考点7】一次函数的概念与图象（第54-58题） · 由k、b符号判断直线经过的象限 · 比较函数值大小：k>0时x越大y越大，k<0时相反 · 画图象取与两坐标轴交点两点连线 54．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 55．（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）已知一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 57．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若点和点都在直线上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 58．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点8】一次函数的性质与实际应用（第59-60题） · 会求直线与坐标轴交点坐标 · 上下平移改变b，左右平移对x作加减 · 从实际问题中抽象一次函数模型 59．（25-26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）将一次函数的图像向左平移个单位长度后，其对应的函数关系式为______． 💯 课后巩固 【作业1】．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，若，则等于（   ） A．4 B．16 C．20 D．25 【作业2】．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【作业3】．（24-25九年级上·四川内江·期中）要使有意义，则字母x的值不能是（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．两个关于某直线对称的图形一定全等 B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧 C．两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴 D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 【作业5】．（23-24八年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25九年级上·北京·开学考试）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（    ） 码数x 26 30 34 42 长度y 18 20 22 26 A． B． C． D． 【作业7】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，若两个大正方形的面积分别为144和108，则小正方形M的边长为________． 【作业8】．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为______尺． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一个数的平方是，这个数是_______． 【作业10】．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是__________． 【作业11】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，_________． 【作业12】．（23-24七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点P在第二象限内，且P点到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，则点P的坐标为______． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知，是一次函数图象上的两点，且，n与b的大小关系是__________． 【作业14】．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段检测）一次函数（为整数）的图象在第一象限内只有个横、纵坐标均为整数的点，则的值为 _____． 【作业15】．（第10讲 勾股定理的逆定理（2考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版））如图所示，在中，，于D．设，，，，求证： (1)； (2)以，h，为边的三角形是直角三角形． 【作业16】．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若点与点关于轴对称，求的值． 【作业17】．（23-24七年级下·湖北十堰·阶段检测）（1）已知一个正数x的两个不相等的平方根分别是和，求x的值； （2）已知的算术平方根是2，的立方根是2，求的平方根． 【作业18】．（21-22七年级下·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【作业19】．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【作业20】．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小明家、社区阅览室、博物馆依次在同一条直线上，社区阅览室离小明家1km，博物馆离小明家，小明从家出发，匀速步行了到社区阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到博物馆；在博物馆停留后，匀速骑行了返回家，给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/ 5 8 20 50 120 离家的距离/ (2)填空： ①社区阅览室到博物馆的距离为______； ②小明从博物馆返回家的速度为_______． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (4)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 复习建议 · 勾股过关：定理与逆定理分清，实际问题先画直角三角形 · 方根过关：平方根与立方根符号不混，负数开平方要警惕 · 根式过关：二次根式先化简再合并，有意义条件先判断 · 坐标过关：象限符号、到轴距离、对称点变号要熟练 · 函数过关：k定增减b定交点，会画图象会读信息 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 巩固勾股定理及其逆定理，能运用勾股定理求边长、解决折叠与最短路径问题 · 理解实数、无理数、平方根、立方根的概念，熟练进行实数的简单运算 · 掌握二次根式有意义的条件、化简与混合运算，会区分最简二次根式 · 巩固平面直角坐标系中点的坐标、象限符号、点到坐标轴距离与轴对称变化 · 理解一次函数与正比例函数的概念、图象与性质，会比较函数值并解决简单应用 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即c2=a2+b2 逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25及其整数倍 折叠与最短路径：抓住对应边相等，展开后构造直角三角形列勾股方程 概念辨析例题：直角三角形两直角边为6和8，求斜边 答案：c===10 解析：直接代入勾股定理c2=a2+b2=36+64=100，故c=10 ☆ 2.实数与方根 无理数：无限不循环小数；实数与数轴上的点一一对应 平方根：若x2=a（a≥0），则x=±；算术平方根为 立方根：若x3=a，则x=；任意实数都有唯一立方根 实数运算：先乘方开方，再乘除，后加减；零指数幂a0=1（a≠0） 概念辨析例题：求与的值 答案：=4，=3 解析：4的平方是16，故=4；3的立方是27，故=3 ☆ 3.二次根式 二次根式有意义的条件是被开方数a≥0 性质：(=a，=|a| 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数 运算：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式；乘除= 概念辨析例题：化简： 答案：2= 解析：=2，=，合并同类二次根式 ☆ 4.位置与坐标、一次函数 象限符号：第一(+,+)、第二(-,+)、第三(-,-)、第四(+,-) 点P(a,b)到x轴距离|b|、到y轴距离|a|；关于x轴对称(a,-b)、关于y轴对称(-a,b) 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线；k>0递增、k<0递减 b为直线与y轴交点纵坐标；与x轴交点为(-,0) 概念辨析例题：点P(-3,4)到x轴、y轴的距离及关于x轴对称点坐标 答案：到x轴距离4，到y轴距离3，关于x轴对称点为(-3,-4) 解析：到x轴距离=|纵坐标|=4，到y轴距离=|横坐标|=3；关于x轴对称横坐标不变、纵坐标变号 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 勾股定理 c2=a2+b2 只适用于直角三角形 平方根/立方根 x2=a→±；x3=a→ 负数无平方根、有立方根 二次根式 （a≥0），=|a| 先化为最简再合并 点的坐标 象限符号、到轴距离 距离取绝对值 一次函数 y=kx+b（k≠0） k定增减、b定与y轴交点 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股定理及其计算（第1-7题） · 已知两边用a2+b2=c2求第三边，先找准斜边 · 判断直角三角形：验证较短两边平方和是否等于最长边平方 · 熟记常见勾股数提高解题速度 1．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段检测）如图， 点 M 是线段的中点，于点C，于点 D， 连接．若 则的长为（       ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长交于点E，证明，得到，，再利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：延长交于点E， ∵ ∴ ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，根据勾股定理，结合正方形的面积，建立面积关系计算即可． 本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ， ，， 即， ， 选项符合题意， ，，，大小关系不确定， 其他选项不确定， 故选D． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）一个直角三角形的三边长分别为5，7，x，则x的值为______． 【答案】或 【知识点】确定第三边的取值范围、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】由题意可分为当该直角三角形的两条直角边长为5和7，当该直角三角形的两条直角边长为5和x，斜边长为7，然后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：当该直角三角形的两条直角边长为5和7，则根据三角形三边关系可知，由勾股定理可得：，因为，所以符合三角形三边关系； 当该直角三角形的两条直角边长为5和x，斜边长为7，则根据三角形三边关系可知，由勾股定理可得：，因为，所以符合三角形三边关系； 综上所述：x的值为或． 4．（12.3二次根式的加减（1）八年级数学下册苏科版）已知矩形的长为，宽为，求矩形的周长和对角线的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的实际应用与勾股定理，解题关键是掌握二次根式的运算法则． 将长与宽的和乘以2即可求出周长，利用勾股定理即可求出对角线长． 【详解】解：矩形周长； 对角线长． 5．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中与都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为．请判断这个零件是否符合要求，并说明理由． 【答案】 解：这个零件符合要求，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形，， 同理得：为直角三角形，， ∴这个零件符合要求． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】略 6．（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）已知四边形是的内接四边形，，连接． (1)如图①．求的度数； (2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差是解题的关键． （1）根据题意得到 ，根据得到 ，从而求得，最后根据，即可得到结果； （2）根据题意得到，利用勾股定理得然后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ； （2）∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 7．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）探寻“勾股数”： 满足关系的正整数a、b、c称为勾股数．通过学习我们知道勾股数有无数组，那么勾股数有规律吗？下面我们利用点图来探一类勾股数的计算公式．如图从点图的左上角构随正方形，把含有个点的正方形称为n阶正方形． (1)探寻规律： ①2阶正方形比1阶正方形多3个点：3阶正方形比2阶正方形多5个点：4阶正方形比3阶正方形多_________个点； ②阶正方形比a阶正方形多_________个点． (2)利用阶正方形与a阶正方形探寻勾股数．如果阶正方形比a阶正方形多的点数为平方数，那么就可以得到一组勾股数，比如5阶正方形比4阶正方形多9个点，9是平方数，于是能得到，即，因此得到一组勾股数为，，，请利用该方法再写出一组勾股数； (3)设阶正方形比a阶正方形多个点，用字母n表示这组勾股数，写出求解过程，并指出n是奇数还是偶数． 【答案】(1)①7；② (2) 解：13阶正方形有个点， 12阶正方形有个点， 则， 是平方数， ，即， 因此得到一组勾股数为，，； (3)这组勾股数为，n，，n为奇数 【知识点】图形类规律探索、勾股树（数）问题、整式的混合运算 【分析】本题考查了数字规律探索，勾股数的求解，整式的混合运算，含乘方的有理数计算，根据图形总结出规律是解题关键． （1）根据图形可得出n阶正方形含有个点，根据此规律即可求出结果； （2）根据勾股数的特征即可得出结果； （3）根据题意得到，整理得到，，即可得到勾股数，根据为整数，则为偶数，则为奇数，即可得出结果． 【详解】（1）解：1阶正方形：，1个点， 2阶正方形：，4个点， 3阶正方形：，9个点， n阶正方形：，个点， 4阶正方形比3阶正方形多个点； 阶正方形比a阶正方形多个点； 故答案为：①7；②； （2）略 （3）根据题意可知：， 整理得：， ， 这组勾股数为，n，， 为整数，则为偶数，则为奇数， 为奇数． 【考点2】勾股定理的实际应用与折叠（第8-10题） · 旗杆、最短路径等实际问题画直角三角形建模 · 折叠问题抓住对应边相等，设未知数列勾股方程 · 注意结果单位与实际意义检验 8．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短． 【详解】解：将台阶展开成平面图形： 在中，，， ， 其爬行的最短长度， 故答案为：． 9．（重难提优4 勾股定理的应用（5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版））如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为________． 【答案】16 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，，可得，，根据勾股定理可求的值． 【详解】将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ，， ， ，     ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：16． 10．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为。如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要______． 【答案】10 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】把长方体沿边剪开，再根据勾股定理进行解答即可； 本题考查的是平面展开——最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【详解】解：根据题意，展开图如下： 则直角三角形的一条直角边为，另一直角边长为， 根据两点间距离最短，勾股定理，得最短距离为， 故答案为：10． 【考点3】实数的概念与方根（第11-25题） · 区分无理数与有理数，实数与数轴一一对应 · 平方根、算术平方根、立方根符号不要混淆 · 负数没有平方根，但有立方根 11．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 在数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数有，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1），共3个， 故选：C． 12．（2024·山东潍坊·一模）如图，点和表示的数分别为和，下列式子中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的性质、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴，实数的大小比较，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．由数轴得，，，，，从而作出判断． 【详解】解：由数轴得，，，，，故A正确，B错误； ∴，，故B、D正确． 故选：C． 13．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．，是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是有理数，不符合题意． 14．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查无理数的定义，立方根，算术平方根．初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．根据无理数的定义结合算术平方根和立方根逐一判断即可得． 【详解】解：，，均为有理数， ，开方开不尽为无理数， 故选：A． 15．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）在0，，，，（每两个1中依次增加一个2）这些数中，无理数的个数为（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了无理数的定义，根据“无限不循环小数，叫做无理数”，进行判断即可． 【详解】解：在0，，，，（每两个1中依次增加一个2）这些数中，无理数有，，（每两个1中依次增加一个2），共3个； 故选C． 16．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列各数，，4.121121112，0.333…，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数．根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：数，，4.121121112，0.333…，中，，4.121121112，0.333…，是有理数，是无理数，共1个， 故选：A． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值，对照选项即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：D． 18．（23-24八年级上·福建泉州·期末）下列各数：，，，，0.101001，其中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．找出无理数的个数即可． 【详解】解：，， ，，，，0.101001，其中无理数有：，共1个． 故选：A． 19．（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的实际应用．根据题意求作的这个正方体的体积为2，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵已知正方体的棱长是1， ∴已知正方体的体积是， ∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍， ∴求作的这个正方体的体积为， ∴求作的这个正方体的棱长为． 故答案为：． 20．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）若，则__________ 【答案】5 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，等式的性质．利用算术平方根的性质计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：5． 21．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）在实数、、、、0、中，无理数有 _____个． 【答案】3 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解． 【详解】解： 是有限小数，是分数，0是整数，这些都属于有理数； 无理数有，，共有3个． 故答案为：3． 22．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）实数的绝对值为________． 【答案】2026 【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质 【详解】解：实数的绝对值为2026． 23．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了立方根定义和平方根定义，熟练掌握立方根和平方根定义，是解题的关键． （1）利用平方根定义解方程即可； （2）利用立方根定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 24．（23-24八年级上·广东茂名·期中）求式中的x的值：． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】解：， 则， 解得：． 25．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】 6 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根； 若满足，那么a就叫做b的立方根，据此可得，，求出a、b的值，进而求出的值，即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为6． 【考点4】实数的运算与新定义（第26-38题） · 按运算顺序计算，注意零指数幂与负整数指数幂 · 新定义运算严格按给定法则代入 · 绝对值先判断符号再化简 26．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是4， ，， ，， , 故选：B． 27．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新的运算： ，则＝_________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，理解新运算法则是解题的关键．根据新定义运算规则，将代入公式计算． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为： ． 28．（25-26七年级下·青海西宁·期中）比较大小：______．______． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】通过比较和的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小绝对值大的反而小即可；先比较和的大小，然后比较和的大小即可． 【详解】解：①，，， ∴． ， ∴， ∴． 29．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知负数的平方等于4，的绝对值等于5，若，则____． 【答案】10 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值的几何意义、求一个数的平方根 【分析】本题考查了绝对值的定义，平方根的求解，代数式求值，根据负数的平方等于4，的绝对值等于5，求出，，结合，求出，代入求解即可． 【详解】解：负数的平方等于4，的绝对值等于5， ，， ， 即， ， ， 故答案为：10． 30．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、新定义下的实数运算 【分析】本题考查实数的新定义运算，先根据非负数的性质得到x，y的值，再根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∵， ∴ 即的值为． 31．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）计算： (1)计算：； (2)求x的值：． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、实数的混合运算 【分析】本题考查了负整数指数幂、绝对值、算术平方根以及平方根的运算，解题的关键是掌握相关运算的性质和法则． （1）分别根据负整数指数幂、绝对值、算术平方根的运算性质进行计算，再进行加减运算． （2）根据平方根的定义，对等式两边开平方求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 当时，， 当时，． 所以． 32．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）【阅读理解】 如何判断无理数的大小范围呢？我们可这样做： 因为： 所以： 即： 因此：是介于5到6的一个数． 由此我们也可以得到这样的结论：的整数部分是5，小数部分是． 【问题解决】 (1)下列无理数中，大小在3与4之间的是（   ） A．　B．　C．　D． (2)的整数部分是_______，小数部分是_______． (3)的整数部分为，小数部分为，则_______． 【答案】(1)C (2)3； (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小．熟练掌握利用算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． （1）分别估算出各选项中无理数大小，即可得出答案； （2）根据得到，即可求解； （3）根据，得到，即可求出a、b值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：A、∵，∴，∴是介于2到3的一个数，故此选项不符合题意； B、∵，∴，即，∴是介于2到3的一个数，故此选项不符合题意； C、∵，∴，∴是介于3到4的一个数，故此选项符合题意； D、∵，∴，∴是介于4到4的一个数，故此选项不符合题意； 故选：C． （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是． 故答案为：3；． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 33．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、零指数幂、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查实数的混合运算，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）首先计算有理数的乘方，立方根和算术平方根，然后计算加减； （2）首先计算立方根，零指数幂和算术平方根，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 34．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）计算： 【答案】4 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算、零指数幂、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、算术平方根和立方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据零指数幂、算术平方根和立方根的性质进行运算即可求解． 【详解】解： ． 35．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）求式中x的值： 【答案】或． 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了运用开平方根解方程．掌握开平方是关键．直接求平方根后求解可得． 【详解】解： ， ∴或， ∴或． 36．（2025·陕西西安·三模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查实数的混合运算，先运算算术平方根和零次幂，然后运算乘除，最后运算加减解题． 【详解】解： ． 37．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）求下列式子中x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）， ， 解得：． 38．（2026·江苏苏州·一模）计算：． 【答案】 11 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数的乘方运算、求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根 【分析】先分别根据算术平方根、绝对值、乘方的运算法则化简各项，再计算加减即可得到结果． 【详解】解： ． 【考点5】二次根式的性质与运算（第39-47题） · 先求被开方数取值范围保证二次根式有意义 · 化简为最简二次根式再合并同类二次根式 · 乘除用=，除法注意分母有理化 39．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、整式的混合运算 【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且，设，（），代入表达式计算a，b，c，再比较大小． 【详解】解：∵m，n，k为连续整数，且， ∴，（）． ∴， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 40．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小：_________ 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，计算即可得出结果，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 42．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为__________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 43．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．根据二次根式的意义，被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，可知， 故答案为：． 44．（24-25九年级上·河南南阳·阶段检测）若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】3 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式是同类二次根式，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：3． 45．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的乘除混合运算 【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式． （2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果． （3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简． （4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 46．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算和减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用乘法分配律先进行乘法计算，再合并即可． 【详解】解： ． 47．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，，，且，求T的值． 【答案】(1) (2) 猜想：， 证明： ； (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是； 故答案为： （2）略 （3）解：当，时， 【考点6】位置与坐标（第48-53题） · 由象限符号判断点所在位置或反推坐标符号 · 点到坐标轴距离=坐标绝对值 · 轴对称按坐标变号规律处理 48．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为6，则称点A为“顺利点”．例如：点到x轴、y轴的距离分别为2，4，距离和为6，则点B是“顺利点”．点C是一次函数图象上的“顺利点”，则点C坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征及点到坐标轴的距离，根据“顺利点”的定义，结合一次函数图象上点的特征逐项计算即可判断． 【详解】解：∵点C是一次函数图象上的“顺利点”， ∴， A、，，，则在一次函数图象上，符合题意； B、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； C、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； D、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； 故选：A． 49．（25-26八年级上·福建三明·期中）点，则点到原点的距离为________． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离公式，解题的关键在于掌握两点间的距离公式，本题易错点在于忽略横坐标的符号；根据两点间距离公式求解点到原点的距离即可． 【详解】原点坐标为，点坐标为，则点到原点的距离为． 故答案为5． 50．（23-24八年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，熟记平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数是解决问题的关键 由平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征：点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数直接求解即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 51．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）若点与点关于y轴对称，则的值为_____． 【答案】2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，得到、的值，从而计算的值． 【详解】解：点与点关于y轴对称， ． 52．（24-25八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特征，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．根据坐标轴上的点的坐标特征可求出a的值． 【详解】解：点在x轴上，则， 解得：， 故答案为：． 53．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段检测）若点A的坐标为，点B的坐标为，则线段的长为________． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握点，，则． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴线段的长为． 【考点7】一次函数的概念与图象（第54-58题） · 由k、b符号判断直线经过的象限 · 比较函数值大小：k>0时x越大y越大，k<0时相反 · 画图象取与两坐标轴交点两点连线 54．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵点都在直线上，， ∴随的增大而增大， 又∵ ∴， 故选：C． 55．（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）已知一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 在中，当时随的而增大，当时，随的增大而减小，利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：在一次函数中， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 56．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查函数的识别，根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A、能表示y是x的函数，不符合题意； B、对于部分的值，对应2个值，不能表示y是x的函数，符合题意； C、能表示y是x的函数，不符合题意； D、能表示y是x的函数，不符合题意； 故选B． 57．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若点和点都在直线上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查的是一次函数的增减性，根据，可得 y 随 x 的增大而减小，从而可得答案． 【详解】解：直线方程为 ， ∴， ∴ y 随 x 的增大而减小． ∵， ∴， 故选：B 58．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 【考点8】一次函数的性质与实际应用（第59-60题） · 会求直线与坐标轴交点坐标 · 上下平移改变b，左右平移对x作加减 · 从实际问题中抽象一次函数模型 59．（25-26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性和图象与坐标轴的交点特征是解题的关键．根据一次函数的增减性得到，再根据图象与轴的交点的位置得到，进而求出实数的取值范围． 【详解】随的增大而减小， ，即． 图象与轴的交点在轴下方， 当时，，即． 的取值范围是且，即． 故选：． 60．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）将一次函数的图像向左平移个单位长度后，其对应的函数关系式为______． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数的图像向左平移个单位长度后，其对应的函数关系式为， 故答案为：． 💯 课后巩固 【作业1】．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，若，则等于（   ） A．4 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求得，代入式子即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【作业2】．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 无理数有，， （两个1之间依次多一个6），共3个． 故选：C 【作业3】．（24-25九年级上·四川内江·期中）要使有意义，则字母x的值不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据题意，被开方数为非负数即可． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【作业4】．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．两个关于某直线对称的图形一定全等 B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧 C．两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴 D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查轴对称图形及轴对称的性质，根据性质可逐一进行判断． 【详解】解：A、符合轴对称的性质，故该选项不符合题意； B、轴对称图形的对称点有可能在对称轴上，所以该选项符合题意； C、符合轴对称的性质，故该选项不符合题意； D、由于两全等图形的位置不确定，故平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，故该选项不符合题意． 故选：B． 【作业5】．（23-24八年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、正比例函数的图象 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，理解并掌握一次函数图象与比例系数，常数项的关系是解题的关键． 一次函数中，，图象经过第一、二、三象限；，图象经过第一、三、四象限；，图象经过第一、二、四象限；，图象经过第二、三、四象限；由此即可求解． 【详解】解：、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意； 、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意； 、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项不符合题意； 、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项符合题意； 故选：． 【作业6】．（24-25九年级上·北京·开学考试）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（    ） 码数x 26 30 34 42 长度y 18 20 22 26 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．根据待定系数求出一次函数解析式，然后再将代入函数解析式，求出y的值即可． 【详解】解：设与的一次函数解析式为， 点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即与的函数解析式为， 当时，， 故选：A． 【作业7】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，若两个大正方形的面积分别为144和108，则小正方形M的边长为________． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是明确“正方形面积边长的平方”；解题时将面积关系转化为边长的平方关系，再用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵以、为边的正方形面积分别为144和108，即，， ∴， ∴小正方形的边长． 故答案为：． 【作业8】．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为______尺． 【答案】/ 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理解题．设木柱长为x尺，则绳索长为，然后根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得： ， 则， 解得：， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一个数的平方是，这个数是_______． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根概念理解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据平方根概念理解求解． 【详解】解：∵一个数的平方是， ∴这个数是， 故答案为：． 【作业10】．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是__________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故答案为：． 【作业11】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，_________． 【答案】1 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 【作业12】．（23-24七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点P在第二象限内，且P点到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，则点P的坐标为______． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离以及各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到轴的距离等于纵坐标的长度，点到轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：∵点在第二象限，且点到轴的距离是2 ，到轴的距离是1， ∴点的横坐标是，纵坐标是2， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知，是一次函数图象上的两点，且，n与b的大小关系是__________． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的增减性． 利用一次函数的增减性，得到该函数递减，结合，即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小． 又∵， ∴点的横坐标大于点的横坐标， ∴点的纵坐标小于点的纵坐标， 即． 故答案为：． 【作业14】．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段检测）一次函数（为整数）的图象在第一象限内只有个横、纵坐标均为整数的点，则的值为 _____． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与方程的关系． 由一次函数解析式可得直线与坐标轴的交点，结合图象求解． 【详解】解：将代入得， 直线与轴交点坐标为， 将代入得， 解得， 直线与轴交点坐标为． 如图， 可得， 故答案为：． 【作业15】．（第10讲 勾股定理的逆定理（2考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版））如图所示，在中，，于D．设，，，，求证： (1)； (2)以，h，为边的三角形是直角三角形． 【答案】(1) 证明：∵设，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式可知：． ∴． ∴． ∵，， ∴． (2) 证明：由（1）得：， ∴． ∴以，h，为边的三角形是直角三角形． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理、完全平方公式和面积法的应用，掌握此类问题的解题思路和方法是解题的关键． （1）将不等式两边的部分分别平方，然后结合勾股定理和三角形的面积公式进行证明； （2）利用勾股定理的逆定理进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【作业16】．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】(1) 如图，即为所求作： (2) (3)1 【知识点】最短路径问题、零指数幂、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； （3）解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 【作业17】．（23-24七年级下·湖北十堰·阶段检测）（1）已知一个正数x的两个不相等的平方根分别是和，求x的值； （2）已知的算术平方根是2，的立方根是2，求的平方根． 【答案】（1）9；（2） 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题考查算术平方根和立方根： （1）根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数，列方程求解得到a的值，即可确定正数x的值； （2）利用算术平方根和立方根的概念即可求得a和b的值，再求得的值，即可求解； 理解算术平方根，平方根，立方根的概念列出相应的方程是解题关键． 【详解】解：（1）依题意得：， 解得：， ． （2）依题意得：， 解得：， 的平方根为． 【作业18】．（21-22七年级下·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、负整数指数幂 【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可； （2）先计算同底数幂的乘除法和积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业19】．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据立方根，平方根，先化简各式，然后再进行计算即可； （2）根据立方根，平方根，绝对值先化简各式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【作业20】．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小明家、社区阅览室、博物馆依次在同一条直线上，社区阅览室离小明家1km，博物馆离小明家，小明从家出发，匀速步行了到社区阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到博物馆；在博物馆停留后，匀速骑行了返回家，给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/ 5 8 20 50 120 离家的距离/ (2)填空： ①社区阅览室到博物馆的距离为______； ②小明从博物馆返回家的速度为_______． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (4)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)，1，3； (2)①2；②； (3) (4) 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息： （1）观察函数图象即可得答案； （2）①社区阅览室离小明家，博物馆离小明家．可得答案；②用路程除以时间可得速度； （3）分段求出函数关系式即可； （4）求出当时小明的速度，进而求出对应的函数关系式即可． 【详解】（1）从图象可知，小明从家到社区阅览室的速度为：， 当时，； 由图象知．当时，；当时，； 故答案为：0．8；1；3； （2）①由图象知，社区阅览室到博物馆的距离为； ②小明从博物馆返回家的速度为； 故答案为：①2；②0．2； （3）当时，； 当时，设， 把，代入解析式得：， 解得， ， 当时，； 综上所述，当时，关于的函数解析式为 （4）解：由题意得，时，小明的速度为， ∴． 复习建议 · 勾股过关：定理与逆定理分清，实际问题先画直角三角形 · 方根过关：平方根与立方根符号不混，负数开平方要警惕 · 根式过关：二次根式先化简再合并，有意义条件先判断 · 坐标过关：象限符号、到轴距离、对称点变号要熟练 · 函数过关：k定增减b定交点，会画图象会读信息 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $