28.2.3 关于原点对称的点的坐标 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

28.2.3 关于原点对称的点的坐标 教学设计 课题 28.2.3 关于原点对称的点的坐标 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 掌握关于原点对称的点的坐标特点，会写出某点关于原点对称的点的坐标；2. 能够运用全等知识验证关于原点对称的点的坐标特点；3. 会运用关于原点对称的点的坐标特点作出某图形关于原点对称的图形. 教学重点 关于原点对称的点的坐标特点的探究和应用. 教学难点 关于原点对称的点的坐标特点的验证和应用. 教学方法 探究式教学、数形结合、讲练结合 教学准备 直尺、三角板、多媒体课件 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 知识回顾 一、知识回顾 1．把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作　　　　　　，这个点就是它的　　　　　　. 答案：中心对称图形；对称中心. 2．线段　　　中心对称图形，对称中心是它的　　　　. 答案：是；中点. 3．平行四边形　　　中心对称图形，对称中心是　　　　　　　　. 答案：是；它的对角线的交点. 4．中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上的对称点的连线都　　　　　　，且被对称中心所　　　　，即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是　　　　； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是　　　　　　. 答案：经过对称中心；平分；对称点；全等图形. 5．判断一个图形是否为中心对称图形的两个方法： （1）若一个图形上存在这样的一个　　　，使整个图形绕着这个　　　旋转 180° 后能够与原来的图形重合，则这个图形就是中心对称图形； （2）若图形中的　　　　　　都经过同一个点，并且被这个点　　　　，则这个图形就是中心对称图形. 答案：点；点；对应点的连线；平分. 【设计意图】系统回顾中心对称图形的概念、性质与判断方法，为本节课在坐标系中研究关于原点对称的点的坐标做好知识准备. 学生完成 18 个填空，回顾中心对称图形的概念、实例、性质与判断方法. 激活旧知，为由“图形”向“坐标”的研究过渡作准备. 环节二 复习引入 轴对称规律 二、复习引入（关于坐标轴对称的点的坐标） 【问题】我们之前学过，在直角坐标系中，分别以 x 轴和 y 轴为对称轴时，一对对称点的坐标之间的关系. 你还记得它们的内容吗？ 【师生活动】教师引导学生回顾关于坐标轴对称的点的相关知识，并追问记忆方法（关于谁对称，谁不变另一个变号）. 【答案】点 P(x，y) 关于 x 轴对称的点的坐标为　　　　　　；点 P(x，y) 关于 y 轴对称的点的坐标为　　　　　　. 答案：(x，−y)；(−x，y). 【追问】若先关于 y 轴对称、再关于 x 轴对称，与先关于 x 轴、再关于 y 轴的顺序交换，最终结果相同吗？ 【答案】预设：相同. 两种顺序都是横、纵坐标各变号一次，最终都得到 (−x，−y). 【设计意图】检验学生对关于坐标轴对称的点的特点的掌握情况，为下文引入关于原点对称的点的坐标特点作准备. 学生回顾“关于 x 轴 (x，−y)、关于 y 轴 (−x，y)”的坐标规律，理解“谁对称谁不变”. 复习轴对称坐标规律，为两次轴对称叠加出原点对称作铺垫. 环节三 新知探究 规律探究 三、新知探究（坐标规律的探究） 【问题】在平面直角坐标系中，先画出点 A 关于 x 轴对称的点 B，再画出点 B 关于 y 轴对称的点 C. 点 A 与点 C 有什么关系？点 A 与点 C 的坐标相比，有什么区别？ 探究题图 【师生活动】学生运用已学知识画图后作答，教师补充并讲解新知. 分层设问：①A(3，2) 关于 x 轴对称的点 B 的坐标是什么？②点 B(3，−2) 关于 y 轴对称的点 C 的坐标是什么？③对比 A 与 C 的横、纵坐标，你发现了什么？ 【答案】如图. 两次轴对称的解答图 点 A 与点 C 关于　　　　对称；点 A 与点 C 的横坐标和纵坐标都　　　　　　. 答案：原点；互为相反数. 【新知】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y) 关于原点的对称点为 P′(−x，−y). 【追问】“横、纵坐标互为相反数”的两个点一定关于原点对称吗？需要排除什么情况？ 【答案】预设：一定. 若两点的横、纵坐标都互为相反数，则这两点要么关于原点对称，要么重合于原点本身；除原点外，坐标互为相反数与关于原点对称等价. 【设计意图】通过两次运用轴对称得到点的坐标的特点，引入关于原点对称的点的坐标特点，体现“以旧引新”的探究路径与数形结合思想. 学生通过 A(3，2)→B(3，−2)→C(−3，−2) 的两次轴对称，发现 A 与 C 关于原点对称、坐标互为相反数. 以旧引新，用两次轴对称叠加探究原点对称的坐标规律. 环节四 新知探究 规律验证 四、新知探究（坐标规律的验证） 【问题】你能对上述结论进行验证吗？ 【师生活动】教师引导学生提出问题并进行解答，师生共同完成几何证明. 【答案】求证：在直角坐标系中，点 A(x，y) 与点 B(−x，−y) 关于原点中心对称. 验证题图 分析：由中心对称的定义知，要证明 A，B 两点关于原点 O 对称，只需证明 A，O，B 三点共线，且 AO＝BO 即可. 证明：如图，连接 AO，BO，作 AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，C，D 为垂足. ∵|x|＝|−x|，|y|＝|−y|，∴CO＝DO，AC＝BD. ∴Rt△AOC≌Rt△BOD（SAS）. ∴AO＝BO，∠AOC＝∠BOD. ∴∠BOD+∠AOD＝∠AOC+∠AOD＝180°. 即 A，O，B 在一条直线上. 当将点 A 绕点 O 旋转 180° 时，点 A 与点 B 重合. 所以点 A，B 关于原点中心对称. 验证辅助线图 【追问】验证过程中，为什么必须同时证明“三点共线”和“AO＝BO”两个条件？ 【答案】预设：只有等距不能保证方向相反（可能绕 O 转了别的角度），只有共线不能保证距离相等（可能在对称位置但远近不同）；二者结合才是“绕 O 旋转 180° 后重合”的充要刻画. 【设计意图】通过几何证明验证坐标规律，使学生更加理解关于原点对称的点的坐标特点，体会数形结合与推理证明的价值. 学生运用全等（SAS）证明 A，O，B 三点共线且 AO＝BO，完成坐标规律的几何验证. 以几何证明巩固规律，培养推理能力与严谨态度. 环节五 新知探究 作图归纳 五、新知探究（作图方法归纳） 【归纳】利用上述规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形. 对于一些规则几何图形，与在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形类似，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）关于原点对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于原点对称的图形. 【新知】在平面直角坐标系中，作关于原点中心对称的图形的步骤： （1）写出　　　　　　　　　　关于原点对称的点的坐标； （2）在坐标平面内　　　　这些对称点的位置； （3）　　　　　　各点即为所求作的对称图形. 答案：关键点；描出；顺次连接. 【追问】与上一课时“连旋转中心、延长一倍”的尺规作图相比，坐标法有什么优势？适用条件是什么？ 【答案】预设：坐标法不需要作图工具逐步旋转，只要算出对称点坐标即可描点作图，快捷且准确；适用条件是图形顶点（关键点）的坐标已知或易求，即图形放置在坐标系中. 【设计意图】归纳坐标法作中心对称图形的步骤，体会坐标法与尺规作图的联系与差异，发展运算与作图并重的技能. 学生归纳坐标法作图三步骤（求坐标→描点→顺次连接），比较坐标法与尺规作图的优劣. 形成坐标法作图的操作程序，渗透算法化思维. 环节六 典例精讲 六、典例精讲 【例1】（1）已知点 M 的坐标为(3，−5)，则点 M 关于 x 轴对称的点的坐标为　　　　　　，关于 y 轴对称的点的坐标为　　　　　　，关于原点对称的点的坐标为　　　　　　； （2）点 A(−2，−4) 与点 B(2，4) 关于　　　　对称. 【师生活动】学生口答并说明依据，教师追问“关于谁对称谁不变”的判断要领. 【答案】（1）(3，5)；(−3，−5)；(−3，5).（2）原点. 【追问】若一点与它关于某直线的对称点重合，这一点在哪里？关于原点对称呢？ 【答案】预设：关于坐标轴对称且重合的点在坐标轴上；关于原点对称且重合的点只能是原点本身. 【设计意图】检验学生对关于坐标轴和原点对称的点的特点的掌握情况，三种对称一题对比，强化辨析. 【例2】如图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC 关于原点对称的图形. 例2题图 【师生活动】学生独立完成，教师巡视，请一名学生板演坐标计算过程，师生共同订正描点与连线. 分层设问：①需要求出哪些点的对称点？②A(−4，1) 关于原点的对称点是什么？③描点后按什么顺序连线？ 【答案】解：点 P(x，y) 关于原点的对称点为 P′(−x，−y)，因此△ABC 的三个顶点 A(−4，1)，B(−1，−1)，C(−3，2) 关于原点的对称点分别为 A′(4，−1)，B′(1，1)，C′(3，−2)，依次连接 A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC 关于原点对称的△A′B′C′. 例2解答图 【追问】如果不画出△A′B′C′，你能直接判断它与△ABC 的位置关系吗？两三角形全等吗？ 【答案】预设：能. △A′B′C′ 与△ABC 关于原点对称，位于原点的另一侧、与△ABC 形状大小完全相同（全等），因为旋转 180° 不改变图形的形状和大小. 【设计意图】让学生掌握在直角坐标系内作中心对称的图形的步骤，体会“先算坐标、再描点连线”的坐标法优势. 学生完成三种对称的坐标互化与△ABC 关于原点对称的作图，掌握坐标法作图流程. 巩固坐标规律的应用，训练“算坐标→描点→连线”的作图规范. 环节七 课堂小结 七、课堂小结 【课堂小结】（1）关于原点对称的两个点的坐标有什么关系？（2）如何验证这一规律？（3）如何用坐标法作出一个图形关于原点对称的图形？ 知识结构图 【归纳】①坐标特点：点 P(x，y) 关于原点的对称点为 P′(−x，−y)，横、纵坐标均互为相反数；②验证：利用全等证明 A，O，B 三点共线且 AO＝BO，从而由中心对称定义得证；③应用：求对称点坐标、判定对称关系、坐标法作图（求坐标→描点→顺次连接）；④联系：关于 x 轴对称 (x，−y)、关于 y 轴对称 (−x，y)，连续两次轴对称叠加即得原点对称. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生对照知识结构图梳理坐标特点、验证方法与作图应用，课后独立完成作业. 整理知识体系，巩固数形结合思想. 板书设计 28.2.3 关于原点对称的点的坐标 一、关于原点对称的点的坐标 P(x，y) → P′(−x，−y)：横、纵坐标均互为相反数 二、坐标特点的验证 AC⊥x 轴，BD⊥x 轴 → Rt△AOC≌Rt△BOD（SAS）→ 三点共线且等距 三、相关应用 求对称点坐标；判定对称关系；坐标法作图：求坐标 → 描点 → 顺次连接 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $