3.1.4平均数与方差 课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第3章 数据分析 （新教材）鲁教版五四制 · 八年级上册 3.1.4 平均数与方差 主讲人： 1.7.2013 ‹#› 01 学习目标 会计算一组数据的平均数、方差，能综合运用平均数与方差描述数据特征、比较两组数据的优劣。 理解“组内离差平方和”的概念，掌握“使组内离差平方和达到最小”的二分法分组方法，能对一组数据完成分组。 1.7.2013 ‹#› 01 旧知回顾 1. 上节课我们学习了方差和标准差。请说一说：方差的计算公式是什么？方差刻画一组数据的什么特征？ 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。标准差就是方差的算术平方根。 s2 = [ (x1- x)2 + (x2 -x)2 + … + (xn -x)2 ] 1 n 方差刻画一组数据的离散（波动）程度，方差越小，数据越稳定。 2. 标准差与方差有什么关系？ 标准差是方差的算术平方根，即，单位与原数据一致。 3. 若一组数据的每个数据都加上同一个常数，方差变吗？ 不变 1.7.2013 ‹#› 01 新知探究 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛。最近的10次选拔赛成绩（单位：cm）如下： 甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601； 乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624。 问题（1）：甲、乙的平均成绩分别是多少？ 探究一：综合运用平均数与方差作决策 1.7.2013 ‹#› 01 新知探究 问题（2）甲、乙这10次选拔赛成绩的方差分别是多少？ 探究一：综合运用平均数与方差作决策 1.7.2013 ‹#› 01 新知探究 问题（3）这两名运动员的选拔赛成绩各有什么特点？ 甲的平均成绩更高（601.6＞599.3），且方差更小（65.84＜284.21），成绩稳定；乙方差大、成绩波动明显，但个别场次跳得很高。 问题（4）①历届比赛成绩表明，成绩达到5.96 m就很有可能夺冠，为了夺冠应选谁？②如果成绩达到6.10 m就能打破纪录，为了打破纪录应选谁？ 探究一：综合运用平均数与方差作决策 达标标准 甲（次） 乙（次） 5.96 m（596 cm） 9 5 6.10 m（610 cm） 3 4 决策结论 夺冠选甲 破纪录选乙 1.7.2013 ‹#› 01 新知探究 目标不同，选择标准不同： 求“稳”要兼顾平均水平与方差， 求“上限”要看极端成绩与达标频率。 换句话说，决策不能一概而论 ——求稳定、保名次，选方差小、发挥稳的； ——冲纪录、搏上限，选上限高、有冲击力的。 要用数据说话，结合目标作判断。 探究一：综合运用平均数与方差作决策 为什么两次选择不同？你得到什么启发？ 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究二：数据分组——组内离差平方和最小 思考·交流 现有10个苹果，它们的直径（单位：mm）分别是80，69，81，80，70，65，78，76，76，75。 （1）请在图3-6中依次描出上述数据所对应的点。 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究二：数据分组——组内离差平方和最小 思考·交流 （2）若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？说说你分组的理由。 第一组苹果编号1、3、4、7；第二组苹果编号2、5、6、8、9、10． 理由是将直径数值集中在一定范围、较为接近的苹果分为一组，使每组内苹果“个头”(直径)差不多． 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究二：数据分组——组内离差平方和最小 思考·交流 （3）一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，你认为应遵循怎样的分组原则？与同伴进行交流。 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”． 多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和． 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究二：数据分组——组内离差平方和最小 例题精讲 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图3-6中的10个苹果按直径大小分成两组。 解：①将10个数据由小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81。 ②把10个数据分成两组，共有9种情况： 第一组1个{65}、第二组9个{69，…，81}； 第一组2个{65，69}、第二组8个{70，…，81}； ……； 第一组9个{65，…，80}、第二组1个{81}。 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究二：数据分组——组内离差平方和最小 例题精讲 ③以第2种分组情况为例计算： 第一组{65，69}的平均数为67， 组内离差平方和S₁²＝(65−67)²＋(69−67)²＝8； 第二组{70，75，76，76，78，80，80，81}的平均数为77， 组内离差平方和S₂²＝(70−77)²＋(75−77)²＋…＋(81−77)²＝90。 故第2种情况的组内离差平方和S²＝S₁²＋S₂²＝8＋90＝98。 ④同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究二：数据分组——组内离差平方和最小 例题精讲 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组9个 146.889 第一组2个，第二组8个 98 第一组3个，第二组7个 48 第一组4个，第二组6个 74.25 第一组5个，第二组5个 98 第一组6个，第二组4个 107.583 第一组7个，第二组3个 136.095 第一组8个，第二组2个 182.375 第一组9个，第二组1个 218 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究二：数据分组——组内离差平方和最小 例题精讲 ⑤计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小。 因此，把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}与{75，76，76，78，80，80，81}。 【追问1】为什么不是“平均分成5个＋5个”？ 数据分布有疏密，直观的均匀分并不一定最优。 【追问2】第2种（2＋8）与第5种（5＋5）的组内离差平方和都是98，说明了什么？ 不同分组可能得到相同的组内离差平方和。 1.7.2013 ‹#› 新知探究 现有10个快递，它们的质量（单位：kg）分别是10，6，11，10，7，6，8，12，11，9。请按“组内离差平方和达到最小”的原则进行分组。 随堂练习 【思路提示】 排序：6，6，7，8，9，10，10，11，11，12； 枚举9种分组并比较组内离差平方和，最小值为8.25，对应分组为{6，6，7，8}与{9，10，10，11，11，12}。 1.7.2013 ‹#› ( 新知探究 某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下： 甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67； 乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75。 （1）甲、乙两名运动员的平均成绩分别是多少？ （2）这两人中，谁的成绩更为稳定？ （3）经预测，跳高成绩达到1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得跳高比赛冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳高成绩达到1.70 m方可夺得冠军呢？ 随堂练习 1.7.2013 ‹#› ( 新知探究 （1）解： 随堂练习 ∴ 甲运动员的平均成绩是1.69m，乙运动员的平均成绩是1.69m。 1.7.2013 ‹#› ( 新知探究 随堂练习 ，∴甲的成绩更为稳定。 1.7.2013 ‹#› ( 新知探究 随堂练习 （3） 跳高成绩达到 1.65 m 就很可能获得冠军时，可选甲参赛。 因为甲 8 次成绩都达到或超过 1.65 m，而乙有 2 次成绩低于 1.65 m。 跳高成绩达到 1.70 m 才能夺得冠军时，可选乙参赛。 因为乙有 5 次成绩达到或超过 1.70 m，甲只有 3 次。 1.7.2013 ‹#› ( 巩固练习 1. 为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差。根据表中数据，应该选择（　　） A．甲　　B．乙　　C．丙　　D．丁 甲 乙 丙 丁 平均数/cm 155 155 155 150 方差/cm² 2.7 2.2 2.3 3.1 B 1.7.2013 ‹#› ( 巩固练习 2. 某校九年级的甲、乙两名学生都进行了两次中考数学模拟测试，下列关于他们测试成绩的平均数和方差的描述中，能说明甲的成绩较好且更稳定的是（　　） A．＞且＞　　 B．＞且＜ C．且＞　　 B．且＜ B 1.7.2013 ‹#› ( 巩固练习 3. 已知一组数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，方差为3，则数据2a1＋3，2a2＋3，2a3＋3，2a4＋3的平均数和方差分别为（　　） A．11和12　　B．8和12　　C．11和3　　D．8和3 A 4. 下列哪种情况适用“组内离差平方和最小”原则的分组方法？ （　　） A．比较两种药物的疗效　　B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动　　D．预测天气变化 B 5. 现有一组数据：12，15，18，20，22，25，将其分成两组{12，15}和{18，20，22，25}，则这种分组情况的组内离差平方和为________。 1.7.2013 ‹#› ( 巩固练习 6. 某校开展了以“书香校园”为主题的读书活动。八(1)班班长统计了该班其中一个小组5名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），分别为5，6，10，14，20。现要依据阅读量把这5名学生分成两组，班长给出了四种分组方式，并计算出了不同分组方式的组内离差平方和（保留两位小数），你认为其中分组最合理的方式是 。 分组 分组情况 组内离差平方和 ① {5}和{6，10，14，20} 107.00 ② {5，6}和{10，14，20} 51.17 ③ {5，6，10}和{14，20} 32.00 ④ {5，6，10，14}和{20} 50.75 ③ 1.7.2013 ‹#› 课堂小结 知识梳理 01 知识层面 ①平均数刻画数据的平均水平，方差刻画数据的波动大小； ②分析两组数据要综合看“平均水平＋稳定性＋目标需求”； ③数据分组常用“组内离差平方和最小”的原则。 02 方法层面 数据决策的一般流程： 收集数据→整理数据→计算统计量→分析特征→作出决策； “排序—枚举—比较—择优”的枚举比较法。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 课后作业 基础作业 1. 完成课本P64页习题3.1.3知识技能第1、2、3题 2. 完成同步练习册基础巩固部分 提升作业 1. 完成同步练习册能力提高部分 2. 完成本章习题3（小明、小华射箭问题），根据图中两人成绩折线的波动情况，估计谁是新手并说明理由。 拓展作业 从生活实际中收集一组数据（如一周气温、全班同学一分钟跳绳次数），求其平均数与方差，向同伴说明这组数据的特点。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 谢谢！ 1.7.2013 同学们好！今天，让我们一起踏上一段穿越时空的数学之旅，回到古代中国，探寻几何的源头。我们将要学习的“三角形”，不仅是现代数学的基础，更是我们祖先在丈量土地、观测星象、建造宫殿时智慧的结晶。这节课，我们将从现代的视角出发，结合古代的智慧，重新认识这个熟悉又陌生的图形。 ‹#› $