精品解析：山东聊城第二中学（春考班）2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

高三春考班数学第一次月考试题 一、单选题（3分分） 1. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 2. 如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 3. 已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是（ ） A. B. C. D. 4. 若底面半径为6的圆柱与半径为6的球的体积相等，则该圆柱的高是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 5. 一个正三棱柱高为，底面边长为2，则该正三棱柱的体积为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 6. 在正四面体中，异面直线，与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 某学校随机抽取200名学生，调查其每日体育锻炼的时间（单位：小时），根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中体育锻炼时间的范围是，分组区间是，，，.根据此频率分布直方图，这200名学生中，每日体育锻炼时间不少于1小时的人数为（ ） A. 40 B. 90 C. 110 D. 160 8. 甲、乙、丙3位同学在5个兴趣小组中任选一个参加，任意2人不同组的选法种数有（ ） A. B. C. D. 9. 现有4支救援队前往3个受灾点执行救援任务．若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法数是（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 56 10. 甲、乙、丙三位同学从 7 处不同的景点中各自选 2 处旅游，则三人恰好选择一个相同的景点，且他们各自选择的另一个景点互不相同的选法共有（     ） A. 840 种 B. 420 种 C. 210 种 D. 140 种 11. 有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）． A. 32种 B. 64种 C. 96种 D. 144种 12. 甲、乙、丙、丁四位同学排成一排，要求甲不能站排头，乙不能站排尾，满足这种要求的排法有（ ） A. 15种 B. 14种 C. 13种 D. 12种 13. 将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 0.2 若，则的值为（ ） A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.1 15. 如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 16. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 17. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 26 C. D. 30 18. 在的展开式中，下列说法错误的是（ ） A. 展开式中所有项的系数和为 B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为 C. 展开式中二项式系数的最大项为第五项 D. 展开式中含项的系数为 19. 甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 20. 某中学从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（4分分） 21. 二项式的展开式中的系数为15，则__________________． 22. 已知随机变量且，则________________________． 23. 某电商平台统计了5次促销活动中，优惠券发放数量（万张）与当日订单量（万单）的样本数据，如下表：若变量，的经验回归方程为，则__________________． 1 2 3 4 5 2 5 7 9 12 24. 计划从560袋某品牌食品中抽取8袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1个号码段中抽出的编号应是__________. 25. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 三、解答题 26. 如图，已知点为所在平面外一点，若平面，， （1）求证：面面； （2）若与面所成的角的大小为，，求点到平面的距离． 27. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，，且点为的中点． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 28. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 29. 二项式展开式的二项式系数和为64 （1）求的值； （2）求展开式中各项的系数和； （3）求展开式中的常数项； （4）求二项式系数最大的项 30. 某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究．他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并得到如下资料： 日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 温差x（度） 10 11 13 12 9 发芽数y（颗） 15 16 17 14 13 参考数据，，其中； （1）请根据3月1日至3月5日的数据，求出关于的线性回归方程．据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数．（结果保留整数） （2）从3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望和方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三春考班数学第一次月考试题 一、单选题（3分分） 1. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系及相关判定定理和性质定理，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A，若，，此时可能平行于，也可能，该选项错误； 选项B，若，，则与的位置关系有，，与相交（包括垂直）等多种情况，该选项错误； 选项C，若，，，根据直线与平面平行的性质定理可得，该选项正确； 选项D，若，，，则与没有公共点，那么与的位置关系是平行或异面，该选项错误， 故选：C. 2. 如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则求出原正方形的面积，再通过面积比例关系得到直观图的面积. 【详解】原正方形的对角线的长度等于直观图中的长度，即， 设正方形的边长为，根据勾股定理，可得， 那么正方形的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 3. 已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求出母线长，利用半圆的弧长为圆锥底面的周长即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则，解得， 圆锥的侧面展开图是一个半圆，则半圆的弧长为圆锥底面的周长， ，解得， 所以底面半径为， 故选：. 4. 若底面半径为6的圆柱与半径为6的球的体积相等，则该圆柱的高是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱和球的体积公式求解. 【详解】已知圆柱底面半径，球的半径，设圆柱的高为， 圆柱与球的体积相等，即，可得， 则，解得， 故选：B. 5. 一个正三棱柱高为，底面边长为2，则该正三棱柱的体积为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱柱的体积公式即可得解. 【详解】正三棱柱高为，底面边长为2， 则底面面积为，所以该正三棱柱的体积为， 故选：. 6. 在正四面体中，异面直线，与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出图像，结合直线与平面垂直的判定定理及性质即可得解. 【详解】 如图所示，取中点，连接， 因为在正四面体中，，是中点，所以， 又因为，是中点，所以， ，平面， 所以平面，平面，所以， 则与所成角为， 故选：. 7. 某学校随机抽取200名学生，调查其每日体育锻炼的时间（单位：小时），根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中体育锻炼时间的范围是，分组区间是，，，.根据此频率分布直方图，这200名学生中，每日体育锻炼时间不少于1小时的人数为（ ） A. 40 B. 90 C. 110 D. 160 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率分布直方图求出每日体育锻炼时间不少于小时的频率，再结合总人数计算出相应的人数. 【详解】由频率分布直方图可知， 每日体育锻炼时间在区间的频率为； 时间在区间的频率为， 所以每日体育锻炼时间不少于小时的频率为， 已知总人数为人，可得每日体育锻炼时间不少于小时的人数为人. 故选：B. 8. 甲、乙、丙3位同学在5个兴趣小组中任选一个参加，任意2人不同组的选法种数有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据排列数公式求解即可. 【详解】甲同学先选，有5种选法； 乙不能和甲同组，所以乙同学有4种选法； 丙同学不能和甲、乙同学同组，则只有3种选法， 所以任意2人不同组的选法种数有. 故选：C. 9. 现有4支救援队前往3个受灾点执行救援任务．若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法数是（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】先将支救援队分成组，再将分好的组全排列安排到个受灾点. 【详解】从支救援队中选支为一组，其余支各为一组，共有种分法， 将分好的组全排列，安排到个受灾点，共有种排法， 所以不同的安排方法数为（种）. 故选：B. 10. 甲、乙、丙三位同学从 7 处不同的景点中各自选 2 处旅游，则三人恰好选择一个相同的景点，且他们各自选择的另一个景点互不相同的选法共有（     ） A. 840 种 B. 420 种 C. 210 种 D. 140 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理和排列组合公式列式计算即得. 先从7处不同景点中选出1处作为三人共同选择的景点，再从剩下的6个景点中选出3个不同的景点， 并将其分配给甲、乙、丙三人作为各自的另一个景点，则满足题意的选法种数为 . 故选： A. 11. 有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）． A. 32种 B. 64种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】利用捆绑法将两位老师看作一个整体，再结合老师的位置限制和学生的全排列来计算排法总数. 【详解】名学生进行全排列的排法有种， 因为两位老师不能分开，所以把两位老师看作一个整体，两位老师之间的排列方式有种， 老师不排在首尾，那么老师这个整体只能排在学生中间的个位置，有种排法， 所以不同的排法共有种. 故选：D. 12. 甲、乙、丙、丁四位同学排成一排，要求甲不能站排头，乙不能站排尾，满足这种要求的排法有（ ） A. 15种 B. 14种 C. 13种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分类讨论甲站在排尾和甲不站在排尾两种情况，结合排列数的计算即可得解. 【详解】甲、乙、丙、丁四位同学排成一排，要求甲不能站排头，乙不能站排尾， 则当甲站在排尾时，其余同学全排列，排法有种； 当甲不站在排尾时， 甲在中间两个位置选一个为；乙不能在排尾，排法有；其余两人全排列为， 则共有种， 综上所述，共有种， 故选：. 13. 将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出事件的对立事件的概率，再利用对立事件概率之和为来计算事件的概率. 【详解】每次抛掷硬币都有种结果（正面或反面），连续抛掷次，所有可能的结果数为种， 事件为“至少出现一次正面向上”，那么它的对立事件为“三次都是反面向上”， 而“三次都是反面向上”只有种情况，其概率为， 所以. 故选：C. 14. 已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 0.2 若，则的值为（ ） A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质以及数学期望的定义求解. 【详解】根据分布列性质可得：，即①， ，即②， 联立①②解得，， 故选：A. 15. 如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，由二面角平面角的定义可知，是二面角的平面角，再结合已知条件计算该平面角的大小. 【详解】取的中点，连接，. 因为和都是等边三角形，可知，， 由二面角平面角的定义可知，是二面角的平面角. 已知，则， 等边和的边长均为，为中点， 所以， 在中，， 所以是等边三角形，所以. 故选：C. 16. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出、、展开式中项的系数，然后将它们相加. 【详解】，展开式中没有项； 展开式的通项为， 令，可得项的系数为， 展开式的通项为, 令，可得项的系数为, 所以展开式中项的系数为， 故选：C. 17. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 26 C. D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，找到得到含的项的相乘组合即可得解. 【详解】展开式的通项公式为， 令，则含的项的系数为； 令，则含的项的系数为， 要得到含的项，有两种相乘组合： 乘以展开式中含的项，此时系数为； 或者乘以展开式中含的项，此时系数为， 则的展开式中的系数是， 故选：. 18. 在的展开式中，下列说法错误的是（ ） A. 展开式中所有项的系数和为 B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为 C. 展开式中二项式系数的最大项为第五项 D. 展开式中含项的系数为 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合二项式定理的性质即可得解. 【详解】的展开式中， 令，则展开式中所有项的系数和为，故错误； 展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故正确； 的展开式有项，则二项式系数的最大项为第五项，故正确； 的展开式的通项公式为， 令，解得， 此时含项的系数为，故正确， 故选：. 19. 甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合插空法即可得解. 【详解】由题意可知，先排另外人，有种排法， 产生的个空位选两个，排甲乙，并要求甲在乙的前面，此时的排法有种， 所以共有种排法， 故选：. 20. 某中学从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数公式及古典概型的概率公式计算. 【详解】从人中任选人的总选法有种， “既有男生又有女生”包含“男女”和“男女”两种情况， “男女”的选法有种； “男女”的选法有种， 所以既有男生又有女生的选法共有种， 则选出的人中既有男生又有女生的概率为. 故选：B. 二、填空题（4分分） 21. 二项式的展开式中的系数为15，则__________________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出的系数，进而求解的值. 【详解】根据题意，展开式的通项为， 令，即，所以的系数为， 已知的系数为，即，可得，解得或， 因为，所以舍去，故. 故答案为：6. 22. 已知随机变量且，则________________________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态分布对称性结合已知条件即可求解. 【详解】因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称， 则，因为， 所以， 则． 故答案为：. 23. 某电商平台统计了5次促销活动中，优惠券发放数量（万张）与当日订单量（万单）的样本数据，如下表：若变量，的经验回归方程为，则__________________． 1 2 3 4 5 2 5 7 9 12 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意求出样本中心点的坐标，代入回归方程中即可得解. 【详解】由表格中的数据可得，， 所以这组数据的样本中心点的坐标为， 代入经验回归方程得，解得． 故答案为：. 24. 计划从560袋某品牌食品中抽取8袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1个号码段中抽出的编号应是__________. 【答案】60 【解析】 【分析】根据题意，结合系统抽样的方法，求得分段间隔和段数，继而求解. 【详解】由题意，总数量为560，抽样数为8，分段间隔为， 段数依次为， 所以编号550是第8段抽到的号码， 设从第1个号码段中抽出的编号为x，则， 解得. 即从第1个号码段中抽出的编号应是60. 25. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可判断随机变量，利用二项分布的概率公式计算，即与的概率之和. 因为是有放回地取产品，所以每次取产品（试验）取得次品（成功）的概率为， 从中取3次（做3次试验），为取得次品（成功）的次数，则， ． 故答案为： 三、解答题 26. 如图，已知点为所在平面外一点，若平面，， （1）求证：面面； （2）若与面所成的角的大小为，，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理可得平面平面； （2）由平面得是与面所成的角，根据面面垂直的性质定理可得平面，可知点到平面的距离为，求解即可. 【小问1详解】 由平面，平面，得， 而，，平面， 则平面，又平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 由平面，得是与面所成的角，则， 而，，则，可得， 在平面内过A作于D， 由（1）知，平面平面，平面平面，因此平面， 所以点A到平面的距离为． 27. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，，且点为的中点． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）平行，证明见解析 【解析】 【分析】（）根据题意作出辅助线，利用直线与平面平行的判定定理即可得解. （）根据直线与平面平行的性质及判定定理即可得解. 【小问1详解】 设F为的中点，连接． 又因为E为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 28. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明过程见解析. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合线面垂直的性质及判定定理即可得解. （）设出，根据题意找到线面角，求出所需线段的长度算出线面角的正弦值即可得解. 【小问1详解】 四棱锥中，底面为正方形，底面， 底面，则， 又因为，平面，， 所以平面，平面，则， 又因为底面，则， 为为的中点，则, 因为平面，，所以平面. 【小问2详解】 连接 设，则， 因为平面，则是直线与平面所成角， 在中，，为的中点，则， 因为平面，所以， 在中，， 因为，所以. 29. 二项式展开式的二项式系数和为64 （1）求的值； （2）求展开式中各项的系数和； （3）求展开式中的常数项； （4）求二项式系数最大的项 【答案】（1）6 （2）4096 （3）960 （4） 【解析】 【分析】（）根据二项式系数和公式即可得解. （）根据题意令即可得解. （）根据二项展开式的通项公式即可得解. （）根据二项式系数最大的项为第4项，结合通项公式即可得解. 【小问1详解】 由题意，二项式展开的所有二项式系数之和为， 解得． 【小问2详解】 令，得，则展开式中各项的系数和为4096． 【小问3详解】 展开式的通项为， 令，得， 则展开式中的常数项为． 【小问4详解】 由于为偶数， 则二项式系数最大的项为第4项，即为. 30. 某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究．他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并得到如下资料： 日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 温差x（度） 10 11 13 12 9 发芽数y（颗） 15 16 17 14 13 参考数据，，其中； （1）请根据3月1日至3月5日的数据，求出关于的线性回归方程．据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数．（结果保留整数） （2）从3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望和方差． 【答案】（1）15 （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（）根据表格求出，结合题意求出的值即可求出回归方程，将代入回归直线方程中即可得解. （）根据题意分别求出取值为0，1，2的概率，写出分布列，代入期望公式方差公式即可得解. 【小问1详解】 由，， ，， ， 又回归直线过样本中心点，则， 所以所求的线性回归方程为：， 当时，， 即3月6日浸泡的30颗种子的发芽数约为15颗． 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2， 从5天中选2天有种选法， 当时，即是从1，4，5日选2天，有种选法，此时概率为； 当时，即是从2，3日选1天，从1，4，5日选1天，有种选法，此时概率为； 当时，即是从2，3日选2天，只有1种选法，此时概率为； 其分布列为： 0 1 2 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $