北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026-2027牛栏山一中高三年级10月小结 数学试卷 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项) 1.已知集合M={x|x2-4x-5s0,N=(x|-3<x<1},则MnN=() A.(-3,5] B.[-1,I) C.(-3,-1] D.(L,5] 2.下列函数中，与函数y=x3的奇偶性和值域都相同的函数为() A.y=x3-1 B.y C.y=*+l D.y=x-sinx 3.在等差数列{an}屮，a+a6=8,a,=6,则a,=（) A.5 B.7 C.8 D.9 4.设-1<x<0<y<1,则下列不等式一定成立的是() A.1og,-loga以<0B.(分-(<0 C.x2-y2<0 D.sinx-siny<0 5.已知饭-& 的展开式中的常数项为20，则a=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 6.已知函数)=sm2x-君)，若存在0≤x<名5π，满足了)=)-房，则cos(6+)-() A.-5 B.3 c. D.克 7.己知a,B∈R则“sin(a+)=sin2a"是“B=a+2kπ(k∈Z)的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8,中国5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是蒋名的香农公式：C=W1og21+款 它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W,信道内信号的平 均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中S叫做信噪比。当信躁比比较大时，公 式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比二从1O00提 答案第1页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫App 升至5000，则C大约增加了()（附：g2s0.3010) A.20% B.23% C.28% D.50% 9.我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是y=sinx,已知某音是由3 个不同的纯齐合成的，其函数为(x)=sx+2sin2x+3sin3x,则() A)盟 B:(x)的最人值为6 C.问的最小正周期为号 D.在上单调递增 2lnx ,x>0 10.设函数f(x)= sin ox+交 若y=f八因-2拾有5个不同零点，则正实数” 6 b-元≤x≤ 的范围为() ( 二、填空题（共5小题，每小题5分，北25分） 1.函数f儿)=之++文的定义城为 2,已知ae行ma号则a+到} 13.已知函数∫(x)=si血(x+p)+sim2x的图象关于直线x=对称，则常数p的一个取值为 已知函数/内= 14. 血(x-22<x≤3 -x2+15x-36,x>3 若关于x的方程f(x)=c恰有三个互不相同 的实数解，则实数k的取值范围是 15.对定义在区间D上的函数f(x)和g(x),如果对任意x∈D,都有|f(x)-g(x)1成立， 那么称函数f(x)在区间D上可被g(x)替代，D称为“替代区间”.给出以下命题： ①f()=x2+1在区间(-0，∞)上可被g()=x2+行替代： ②-=可淡钩1-在#代价-个雪代区间为刻[公引 ③f(x)=l血x在区间[l,e]可被g(x)=x-b替代，则e-2≤b≤2： 答案第2页（共4项） CS扫描全能王 白3亿人都在用的扫猫ApP ④f(x)=g(ar2+xxeD,)g(x)=sinx(xeD2),则存在实数a(a≠0)，使得fx)在区间 D,∩D2上被g(x)替代： 其中真命题的有 三、解答题（共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16.(本题14分)已知函数∫(x)=x2+ax2+b在x=2时取得极小值4. (I)求实数a,b的值： (2)求函数f(x)在区间[-1,3]上的最值 17.(本题14分)在单位圆中，锐角a的终边与单位圆相交于 点P 连接圆心0和P得 到射线OP,将射线OP绕点O按逆时针方向旋转0后与单位圆相交于点B,记点B的横坐标为 fo,其中0[匠 (1)求锐角：的值： ②若fa+引-子，求sm29的值： (3)求函数∫()的最值 18.(本题14分)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答 ①函数/=2s加(20x+p)(0>0,p水经)的图象向右平移登个单位长度得到g闭的 12 图象，g(x)图象关于原点对称； ②函数f()=V3sin(2ox)-cos(π-2ox(w>0): ③函数f(x)=4 cos @xsin x+ 1(@>0): 6 问题：已知 函数f()的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 (I)求f(x)的单调递增区间： fa)=5,求c的值. 19.(本题14分)已知函数f(x)=x+xsinx-+cosx 答案第3页（共4页） 效9 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap (1)求曲线y=()在点(0，(O)处的切线方程： (2)求证：(x)存在极大值点： (3)求(x)的零点个数. 20.体图14分)已蜘精圆C:于+茶=6>06>0)的离心率为，并且经过P0同点 (1)求椭圆C的方程： (2)设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B,点B关于x轴的对称点 为B',直线PB交x轴于点M,求证：OMON为定值. 21.(本题15分)设数表A是一个出0和1构成的m行n列的数表，且A中所有数字之和不小 于受，所有这样的数表构成的集合记为s(m).记风()为4的第行各数之和1≤15m,C(④ 为A的第j列各数之和(1sjsm)K()为R(4),R(A),R(A)C(4)C(4),C()的最 大值 (1)对如下数表A,求K(A)的值 1 1 0 0 0 0 1 1 (2)设数表AeS(4,4),求K(4)的最小值： (3)已知t为正整数，存在A∈S(6,),若R(A)=5(1si≤6)，且A的任意两行中最多有2列各数 之和为2，求t的值. 答案第4页（共4页） C因扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2026-2027牛栏山一中高三年级10月小结 数学答案 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D B B D D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11.{x|x≥-1且x≠2}12. 713.号（答案不唯一）14.(0,3)15.①②③（错选0分，选 对一个1分，选对两个3分，选对三个5分) 16.(本题14分) 解：(1)由f(x)=x3+ax2+b得，f'(x)=3x2+2ax, 图。1m6g a=-3 因为函数f(x)在x=2时取得极小值4，所以 …6分 (2)由(1)题知f(x)=x3-3x2+8,f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=0,得x=0,x2=2, 令f'(x)>0,得x<0或x>2,所以f(x)在(-o,0),(2,+o)上单调递增， 令f'(x)<0,得0<x<2,所以f(x)在(0,2)上单调递减，如图所示， 因为f(-1)=4,f(0)=8,f(2)=4,f(3)=8, 所以函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值为8，最小值为4. f(x)=x3-3x2+8 8 …14分 答案第1页（共7页） 17.(本题14分) 解：(1)由于锐角α的终边与单位圆相交于点P 因此sina=5, 又因为a为锐角，所以a=牙 …4分 (2)由(1)知，a=子故由题意，0)=c0s0+写引 因为f0+)-os0+引-sm0=-m0=, 由5w0=-日=5， 所以如20-2如0-2x}- …9分 (3)由2)知，f1o=o(0*引[& 因为经s0≤x,所以g≤0+肾智 6 所以0+肾=x即0=行时，f@。=-山 0+号智即0=时，0m=2 1 (易知@-e0在[]上单调递减，在[小上单调递增。 ）m(4f-)-:f-} 所以(@在处取得最小值-1：在π处取得最大值-号) …14分 18.（本题14分) 解：因为函数的图象相邻两条对称斑之何的距离为所以T=2x生π，…2分 2 迭择@，则2红=元，得0=l,所以f0)=2sin(2x+), 20 所以8树=fc--2s[2x-+p=2sn2x-若+， 因为g(x)的图象关于原点对称，所以g(x)为奇函数，所以g(O)=0, 所以2sin(p-君=0，所以p-名-kr,keZ,所以p=kr+名keZ, 6 答案第2页（共7页） 因为水7所以k=0,p=若所以f=2sin2x+?, …5分 选择②， f()=/3sin(2o*)-c0s(x-2w)(o>0)-/5sin(20x:)+cos(20:)-2sin(2@x+). 所以=元，所以@=1，所以f)=2sin2x+君， …5分 20 选择③，f(x)=4 cos@xsin r+}-o>0 =4cos@x 6 =4cos@x 2 =23sin@xcos@x+2cos2@x-1 =√5sin2wx+cos2wx -22a+) 所以2元=元，所以@=1，所以f=2sn(2x+爱， …5分 20 (1)由-+2kπ≤2x+2s花+2kr,keZ, 2 62 得-T+kπ≤x≤交+kπ，k∈Z, 3 6 所以f(x)的单调递增区间为[-+kc,元+]，k∈乙. …7分 3 6 tD者a引@-5，则2m0a+会=5，即aea+身-9 因为0<a< 7,所以2<2+克<7z 6 66 所以2a+”=或2a+2=2亚，得a=或a=元 …14分 63 63 12 4 答案第3页（共7页） 19.(本题14分)(1)(1)f'(x)=3x2+sinx+xcosx--sinx=3x2+xcOSx, 则f'(0)=0,又f(0)=cos0=1, 则曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=0(x-0)+1,即y=1; …4分 (2)f(x)=3x2+xcosx=x(3x+cosx), 令g(x)=3x+cosx,则g'(x)=3-sinx>0, 故g(x)在R上单调递增， 又8(-1)=-3+cos(-1)<0,g(0)=0+c0s0=1>0, 故存在x∈(-l,0),使得g(x)=0, 当x<时，8(x)<0,当x>,时，g(x)>0, 则当x∈(-o,)U(0,+o)时，f'(x)>0,当x∈(x,0)时，f'(x)<0, 故f(x)在(-o,x)、(0,+∞)上单调递增，在(x,0)上单调递减， 故x是f(x)的极大值点； …9分 (3)由（2)得f(x)在(-o,x)、(0,+∞)上单调递增，在(x,0)上单调递减， 则f(x)>f0)=cos0=1>0, 又f(-)=-元2-πsin(-π)+cos(-)=-r-1<0, 故f(x)在(-π，0)上有一零点，在(-o,-小U[0,+o)上无零点， 故f(x)的零点个数为1. …14分 20.(本题14分) 3 =1 a=2 解：（1)由已知 解得 …5分 a 2 (2)证明：由已知斜率存在 以下给出证明： 由题意，设直线PB的方程为y=c+3(k≠0)，PO,V⑤)，B(x,y),则B'(x,-y), 答案第4项（共7页) [3x2+4y2=12, 由 y=ka+V3, 得(3+4k2)x2+8kV3x=0, 所以A=(8k3>0, 七+0=- 8k3 8k√5 8k3 3+4k2 X=- 3+4k’%=- 3+4k2 +5, 所以B 8k3 8k3 3+4k2’-3+4k2 5 即B 8k√54V3k2+3V3 3+4k2, 3+4k2 直线PB的方程为y- 4V3k2-3V53.-8kV5 3+4k2 4k3+4k2 -4W5k2-3V3)4k 令y=0得x= 所以M 33+4k2) 令y=0随y=a5=所N 所以OMON …14分 21.(本题15分) 解：(1)行和：R1(A)=2,R2(A)=2:列和：C(A)=C2(A)=C(A)=C4(A)=1. 所以K(A)=2 …4分 (2)由S(4,4)的定义，数表中数字总和≥4×4/2=8. 假设K(A)≤1，则数表的每一行和与每一列和都不超过1，特别地每一行和R(A)≤1. 于是数表中1的总个数为1∑R(A)≤4×1=4. 由A∈S(4,4),要求数字总和≥8，而4<8，出现矛盾，故假设不成立，所以K(A)≥2. 取数表 0 0 0 1 0 0 0 0 0 答案第5页（共7页） 行和均为2，列和均为2，总和为8≥8，满足A∈S(4,4),此时K(A)=2 综上，K(A)的最小值为2. …9分 (3)因为每行之和为5，共6行，所以数表中1的总个数为=1∑R:(4)=6×5=30. 由A∈S(6,t)的定义，总个数满足30≥31，即t≤10.(*) 设第j列的列和为C(1≤j≤)，则=1∑C=30 记第i行1所在的列的集合为S三{1，.，t},1S=5,由已知，对任意i<k,Sin Skl≤2. 对相交对总数N=∑1≤ik≤6lS:nSk做两种方式计数. 按行对计数：C(6,2)=15个行对，每个行对相交至多2列，故N≤15×2=30. (1) 按列计数：第j列上有C个1，这些行的两两组合都在第j列相交，故第j列贡献 Ca =C(C-1) 2 求和得N==1C,=(1号-1C)=(1XC?-30) (2) 由(1)(2)：=1∑C-30≤60，即=1∑c≤90. 由柯西不等式， j gg. 代入C:=30与(3)：900=302≤t90,解得t≥10. (**) 由(*)(*)得t=10,并验证存在性 当t=10时，柯西不等式取等，故所有列和相等，即每列和Cj=30/10=3.此时条件（1) 也取等：任意两行恰好有2列同时为1需给出具体数表验证存在性，取 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1100 0 1 1 1 0 0 101 0 0 1 0 0 1 1 0 101 0 0 1 0 1 1 0 01 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 逐条验证： 每行之和=5，即第ⅰ行恰有5个1； 每列之和=3，总和=10×3=30≥3×10=30，故A∈S(6,10): 答案第6页（共7页） 任意两行同时为1的列数：15个行对中每对都恰好2列同时为1，均不超过2. 综上，t的值为10. …15分 答案第7页（共7页）