第1章特殊平行四边形分层作业-2026-2027学年北师大版 数学九年级上册

第1章特殊平行四边形分层作业-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•昆明期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．6 B．4.5 C．3.5 D．3 2．（2026秋•碑林区校级月考）如图，在▱ABCD中，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB⊥BC B．OA＝OB C．∠BCD＝90° D．AC＝BC 3．（2026•清远一模）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．主体部分是一个菱形，如图所示，若菱形ABCD的边长为5cm，对角线BD的长为8cm，则另一条对角线AC的长为（　　） A．4cm B． C．6cm D．8cm 4．（2026秋•龙岗区月考）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE＝AD，连接BE，则∠BEC的度数为（　　） A．75° B．105° C．112.5° D．120° 5．（2025秋•海南期末）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，AD＝5，E为边BC上一点，且BE＝1，连接AE，取AE的中点F，连接OF，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2026秋•雁塔区校级同步）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，D在CG上，BC＝1，CG＝3，H是AF的中点，则CH长为（　　） A． B．2.5 C． D．2 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•亭湖区校级同步）若直角三角形斜边上的中线与高的长分别是10和8，则这个三角形面积是_______ ． 8．（2026•道外区一模）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在菱形的边上，若∠BOE＝20°，则∠AOE的度数为_____________ ． 9．（2026春•龙泉市期末）如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交AC于点E，再分别以点A，E为圆心，相同长（大于为半径作弧，两弧交于点M，作射线BM，与AC相交于点F，若∠ACB＝38°，则∠FBD＝________ ． 10．（2025秋•嘉荫县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒0.5cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 _________ ． 11．（2026春•徐汇区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD，且A（3，0），B（0，4），则点C的坐标为___________ ． 12．（2026春•湛江校级期中）如图，两个正方形的面积分别为8和17，则AB的长为_____ ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•单元）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）写出△ABE通过怎样的图形变化得到△ADF． 14．（2026•昆明模拟）如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，过点F作FD⊥BC，垂足为D，点M在FE的延长线上，MF＝BD． （1）求证：四边形BDFM是矩形； （2）若AE+ME＝8，DF＝4，BC＝10，求矩形BDFM的面积． 15．（2026春•定边县校级期末）【问题提出】 （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF． 【问题解决】 （2）如图2，有一块边长为7km的正方形绿地ABCD，凉亭E，F（大小忽略不计）分别在边AB，AD上，CE，CF是两条观光小径．已知∠ECF＝45°，小径CF的长度为，求凉亭E到绿地边BC的距离BE． 16．（2026春•安阳月考）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，点F是边CD延长线上一点，BE＝DF，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M．求证：EM＝BE+DM． 17．（2026•拱墅区校级开学）如图，正方形ABCD中，AB＝3，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F． （1）求证：EF＝BE． （2）设△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，直接写出CE的长． 18．（2026秋•达川区校级同步）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线DB的延长线上，AE＝AD，过点E作EG∥BC，且EG＝AD，连接DG． （1）求证：四边形AEGD是菱形； （2）连接AG，与DE交于点F，若∠BAF＝45°，∠FGE＝60°，AB＝4，求BE的长． 19．（2026春•遂平县期末）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H． 【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝__________________ S正方形ABCD； 【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOGS矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）； 【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分． 20．（2026•黄石模拟）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 _______ ． （2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长． 第1章特殊平行四边形分层作业-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•昆明期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．6 B．4.5 C．3.5 D．3 【解答】解：由题意可知：AB＝6cm，AD＝DB， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线， ∴CDAB＝3（cm）， 故选：D． 2．（2026秋•碑林区校级月考）如图，在▱ABCD中，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB⊥BC B．OA＝OB C．∠BCD＝90° D．AC＝BC 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， A、AB⊥BC时，能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、由AC＝BC得不到平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（2026•清远一模）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．主体部分是一个菱形，如图所示，若菱形ABCD的边长为5cm，对角线BD的长为8cm，则另一条对角线AC的长为（　　） A．4cm B． C．6cm D．8cm 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且边长为5cm，对角线BD的长为8cm， ∴， ∴根据勾股定理得，， ∴AC＝6cm， 则另一条对角线AC的长为6cm， 故选：C． 4．（2026秋•龙岗区月考）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE＝AD，连接BE，则∠BEC的度数为（　　） A．75° B．105° C．112.5° D．120° 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAC＝135°， ∵AE＝AD， ∴AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABE＝67.5°， ∴∠BEC＝∠ABE+∠BAE＝67.5°+45°＝112.5°， 故选：C． 5．（2025秋•海南期末）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，AD＝5，E为边BC上一点，且BE＝1，连接AE，取AE的中点F，连接OF，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，AD＝5，F为AE的中点，BE＝1，取AB中点M，连接OM和FM， ∴OM，FM分别为△ABD和△ABE中位线， ∴，且OM∥AD∥BC，FM∥BE， ∴O，F，M三点共线， ∴． ∴， 故选：C． 6．（2026秋•雁塔区校级同步）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，D在CG上，BC＝1，CG＝3，H是AF的中点，则CH长为（　　） A． B．2.5 C． D．2 【解答】解：如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，连接AC、CF． ∴∠ACD＝45°，∠GCF＝45°． ∵点D在CG上，∠ACF＝∠ACD+∠GCF＝90°， ∵BC＝1，CG＝3， 由勾股定理得：，， 在Rt△ACF中，由勾股定理得：， ∵H是AF的中点， ∴． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•亭湖区校级同步）若直角三角形斜边上的中线与高的长分别是10和8，则这个三角形面积是　80　 ． 【解答】解：直角三角形斜边上的中线的长是10， 则直角三角形的斜边长是20， ∴这个三角形面积为：20×8＝80， 故答案为：80． 8．（2026•道外区一模）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在菱形的边上，若∠BOE＝20°，则∠AOE的度数为　70°或110°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴菱形对角线互相垂直，即AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， 分两种情况讨论：①当点E在AB边上时，OE在∠AOB内部， ∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°； ②当点E在BC边上时，OE在∠AOB外部， ∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+20°＝110°； 综上，∠AOE的度数为70°或110°， 故答案为：70°或110°． 9．（2026春•龙泉市期末）如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交AC于点E，再分别以点A，E为圆心，相同长（大于为半径作弧，两弧交于点M，作射线BM，与AC相交于点F，若∠ACB＝38°，则∠FBD＝　14°　 ． 【解答】解：设矩形ABCD的对角线AC、BD交点为O， 根据题意，得OB＝OC， ∴∠OBC＝∠ACB＝38°， ∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝76°， 根据基本作图，得BF⊥AC， ∴∠BFE＝90°， ∴∠FBD＝90°﹣∠AOB＝14°， 故答案为：14°． 10．（2025秋•嘉荫县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒0.5cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　4或14　 ． 【解答】解：∵△DCE是直角三角形， ∴△PBC为直角三角形， ∴点P只能在AB上或者CD上， 当点P在AB上时，有BP＝CE， ∴BP＝CE＝1， ∴AP＝2， ∴t＝2÷0.5＝4， 当点P在CD上时，有CP＝CE＝1， ∴t＝（3+3+1）÷0.5＝14， 故答案为：4或14． 11．（2026春•徐汇区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD，且A（3，0），B（0，4），则点C的坐标为　（﹣5，4）　 ． 【解答】解：在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD，且A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5，BC∥AD∥x轴， ∴点C的纵坐标为4，横坐标为0﹣5＝﹣5， ∴点C的坐标为（﹣5，4）． 故答案为：（﹣5，4）． 12．（2026春•湛江校级期中）如图，两个正方形的面积分别为8和17，则AB的长为　3　 ． 【解答】解：利用勾股定理可得出AB的平方等于另外两个正方形的面积差（大的减小的）， AB2＝17﹣8＝9． 则AB＝3， 故答案为：3． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•单元）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）写出△ABE通过怎样的图形变化得到△ADF． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，点E是AD的中点， ∴AB＝AD，AEAD，∠EAB＝90°， ∵点F是BA延长线上的一点，AFAB， ∴∠FAD＝90°，AE＝AF， ∴∠EAB＝∠FAD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， △ABE≌△ADF（SAS）； （2）∵△ABE和△ADF全等， ∴将△ABE绕点A逆时针旋转90°就得到了△ADF． 14．（2026•昆明模拟）如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，过点F作FD⊥BC，垂足为D，点M在FE的延长线上，MF＝BD． （1）求证：四边形BDFM是矩形； （2）若AE+ME＝8，DF＝4，BC＝10，求矩形BDFM的面积． 【解答】（1）证明：∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC， ∵MF＝BD， ∴四边形BDFM是平行四边形， ∵FD⊥BC， ∴∠BDF＝90°， ∴四边形BDFM是矩形； （2）解：∵四边形BDFM是矩形， ∴∠BME＝90°，BM＝DF＝4， ∵AE+ME＝8， ∴设ME＝x，则BE＝AE＝（8﹣x）， ∵BM2+ME2＝BE2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∵EF是△ABC的中位线， ∴EFBC10＝5， ∴MF＝EF+ME＝5+3＝8， ∴S矩形BDFM＝BM•MF＝4×8＝32． 15．（2026春•定边县校级期末）【问题提出】 （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF． 【问题解决】 （2）如图2，有一块边长为7km的正方形绿地ABCD，凉亭E，F（大小忽略不计）分别在边AB，AD上，CE，CF是两条观光小径．已知∠ECF＝45°，小径CF的长度为，求凉亭E到绿地边BC的距离BE． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠B＝∠CDF＝90°， 在△CBE和△CDF中， ， ∴△CBE≌△CDF（SAS）， ∴CE＝CF． （2）解：如图，连接EF，延长AB至点G，使BG＝DF． ∵四边形ABCD为正方形， ∴DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠GBC＝90°， ∵DF＝BG， ∴△DCF≌△BCG（SAS）， ∴CF＝CG．∠DCF＝∠BCG， ∵∠DCB＝90°， ∴∠DCF+∠ECF+∠ECB＝90°， ∴∠BCG+∠ECF+∠ECB＝90°． ∵∠ECF＝45°， ∴∠BCG+∠ECB＝45°， ∴∠GCE＝∠FCE． ∵CG＝CF，CE＝CE， ∴△GCE≌△FCE（SAS）， ∴GE＝FE． 在Rt△CDF中，，根据勾股定理得 ∴． ∴BG＝4km，AF＝3km， 设BE＝xkm，则GE＝FE＝（x+4）km， AE＝（7﹣x）km， 在Rt△AEF中，∵AE2+AF2＝EF2， ∴（7﹣x）2+32＝（x+4）2，解得， 故凉亭E到绿地边BC的距离BE为． 16．（2026春•安阳月考）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，点F是边CD延长线上一点，BE＝DF，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M．求证：EM＝BE+DM． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； ∵AM平分∠EAF， ∴∠EAM＝∠FAM． 在△AEM和△AFM中， ， ∴△AEM≌△AFM（SAS）， ∴EM＝FM， ∵FM＝DF+DM， ∴EM＝BE+DM． 17．（2026•拱墅区校级开学）如图，正方形ABCD中，AB＝3，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F． （1）求证：EF＝BE． （2）设△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，直接写出CE的长． 【解答】（1）证明：过点E作GH∥CD，分别交AD，BC于点G，H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AD，∠D＝∠BCD＝90°， ∵GH∥CD， ∴∠FGH＝∠D＝90°，∠EHB＝∠BCD＝90°， ∴∠DGH＝180°﹣∠FGH＝90°，∠CHG＝180°﹣∠EHB＝90°， ∴∠DGH＝∠CHG＝∠D＝90°， ∴四边形CDGH是矩形， ∴GH＝CD， ∴GH＝BC， ∵∠BHE＝90° ∴∠HBE+∠HEB＝90°， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°， ∴∠HEB+∠GEF＝90°， ∴∠HBE＝∠GEF， ∵AC为正方形的对角线， ∴∠DCA＝∠BCA＝45°， ∵GH∥CD， ∴∠HEC＝∠DCE＝∠HCE＝45°， ∴CH＝EH， ∴BC﹣CH＝GH﹣EH， ∴HB＝GE， 在△HBE和△GEF中， ， ∴△HBE≌△GEF（ASA）， ∴EF＝BE； （2）解：∵△HBE≌△GEF，∴GF＝HE， ∴GF＝HC， ∵四边形CDGH是矩形， ∴DG＝CH， ∴DG＝FG＝EH； 又AD＝AB＝3， 设EH＝a，AF＝3﹣2a， ， ∵2S1＝3S2， ∴2a2﹣11a+9＝0， 解得a＝1，（舍去）， ∴CH＝EH＝1， 在Rt△CHE中，． 18．（2026秋•达川区校级同步）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线DB的延长线上，AE＝AD，过点E作EG∥BC，且EG＝AD，连接DG． （1）求证：四边形AEGD是菱形； （2）连接AG，与DE交于点F，若∠BAF＝45°，∠FGE＝60°，AB＝4，求BE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵EG∥BC， ∴AD∥EG． ∵EG＝AD， ∴四边形AEGD是平行四边形． ∵AE＝AD， ∴平行四边形AEGD是菱形； （2）解：∵四边形AEGD是菱形， ∴GF＝AF，AG⊥DE． ∴∠AFB＝∠EFG＝90°． ∴∠ABF＝90°﹣∠BAF＝45°＝∠BAF． ∴AF＝BF． 在直角三角形ABF中，由勾股定理得：AF2+BF2＝AB2， ∴， 解得：BF＝4． ∴GF＝AF＝BF＝4． ∵∠FGE＝60°， ∴∠GEF＝90°﹣∠FGE＝30°． ∴GE＝2GF＝8． 在直角三角形EFG中，由勾股定理得：， ∴． 19．（2026春•遂平县期末）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H． 【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝　　 S正方形ABCD； 【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOGS矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）； 【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分． 【解答】解：【感知】如图①， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB， 在△AOG与△BOE中， ， ∴△AOG≌△BOE（SAS）， ∴S四边形AEOG＝S△AOBS正方形ABCD； 故答案为：； 【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M， ∵S△AOBS矩形ABCD，S四边形AEOGS矩形ABCD， ∴S△AOB＝S四边形AEOG， ∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE， ∴S△BOE＝S△AOG， ∵S△BOEBE•OMmbmb，S△AOGAG•ONAG•aAG•a， ∴mbAG•a， ∴AG； 【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD， 则KL＝2OK，PQ＝2OQ， ∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ， ∴3×2OK＝5×2OQ， ∴， ∵S△AOBS平行四边形ABCD，S四边形AEOGS平行四边形ABCD， ∴S△AOB＝S四边形AEOG， ∴S△BOE＝S△AOG， ∵S△BOEBE•OK1×OK，S△AOGAG•OQ， ∴1×OKAG•OQ，∴AG， ∴当AG＝CH，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分． 20．（2026•黄石模拟）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 　12　 ． （2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°， 由旋转得：△ABE≌△ADM， ∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°， 即∠EAM＝90°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠MAN＝∠EAN， 在△AMN和△EAN中， ， ∴△AMN≌△EAN（SAS）， ∴MN＝EN． ∵EN＝BE+BN＝DM+BN， ∴MN＝BN+DM． 在Rt△CMN中，MN10， 则BN+DM＝10， 设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8， ∴x﹣6+x﹣8＝10， 解得：x＝12， 即正方形ABCD的边长是12； 故答案为：12； （2）EF2＝BE2+DF2， 理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连接EH， ∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE， ∴∠HAE＝45°＝∠EAF， 又∵AH＝AF，AE＝AE， ∴△EAH≌△EAF（SAS）， ∴HE＝EF， ∵BN＝DM，BN∥DM， ∴四边形BMDN是平行四边形， ∴DN∥BM， ∴∠AND＝∠ABM， ∵∠ADN+∠AND＝90°， ∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM， ∴BE2+BH2＝HE2， ∴EF2＝BE2+DF2； （3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM， 则四边形APQD是正方形， ∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝8， 设DM＝x，则MQ＝8﹣x， ∵PQ∥BC， ∴△ABN∽△APE， ∴， ∴PEBN， ∴EQ＝PQ﹣PE＝8， 由（1）得：EM＝PE+DMx， 在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（8﹣x）2＝（x）2， 解得：x＝4， 即DM的长是4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $