专题03 椭圆（知识&考点&公式&5高频&2易错&6重难&4模型，期中知识清单）高二数学上学期人教A版

专题03 椭圆 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(7类) 公式清单(6类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 椭圆的定义 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 知识点02 椭圆的简单几何性质 1.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝ (0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 2.椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示， 当椭圆为＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ. (1)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为． (3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0． (4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ． (6)＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc. (7)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． 知识点03 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2.直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 知识点04 二级结论 【二级结论1】椭圆的硬解定理 如果直线与曲线（m>0,n>0,）有两个交点，． 先将直线方程与曲线方程进行联立，得到， 于是判别式， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而． 特别地，对于最常见的斜截式来说，可令，，， 则有以下结论： ①判别式． ② ③． ④． 【二级结论2】椭圆的焦点三角形的内心 如图，若点I是焦点三角形的内心，则有下列结论： ①若r为焦点三角形的内切圆半径，则使用等面积法，就有． ②若的平分线交于点G，则在中， 根据角平分线定理得到． ③在中使用角平分线定理得到． 【二级结论3】椭圆弦中点问题 若直线与椭圆交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在椭圆上， 所以（点在椭圆上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，，所以． 【二级结论4】椭圆的切线 将椭圆的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，x轴上单独讨论．如图． ①易得椭圆在左右顶点处的切线方程分别为，． ②椭圆在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导），进而得到，从而椭圆在点处的切线方程为，于是（同乘）， 于是就有（点在椭圆上）， 因此椭圆在点处的切线方程为． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，椭圆在点处的切线方程为． 结合①②③可得，椭圆在点处的切线方程为． 考点01 椭圆的定义与标准方程 考点内容：椭圆的定义；焦点、焦距；椭圆的标准方程；焦点在 x 轴与焦点在 y 轴的标准方程；定义中“”的条件． 常见考法： ①用定义判断动点轨迹是否为椭圆； ②根据焦点位置设出标准方程并求解； ③由椭圆方程写出 及焦点坐标； ④处理含参数的椭圆方程，求参数范围． 考点02 椭圆的简单几何性质 考点内容：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率； 的关系；椭圆与坐标轴的交点． 常见考法： ①由方程求顶点、长轴长、短轴长、焦距、离心率； ②由几何性质求椭圆方程； ③利用对称性求点关于坐标轴的对称点． 考点03 椭圆的离心率 考点内容：离心率的定义 ；离心率与椭圆扁平程度的关系；求离心率的常用方法． 常见考法： ①由方程直接求离心率； ②由 的关系求离心率； ③由几何条件构造关于 的齐次式求离心率； ④求离心率的取值范围； ⑤由离心率求椭圆方程中的参数． 考点04 直线与椭圆的位置关系 考点内容：直线与椭圆相交、相切、相离的判定；交点个数；联立方程消元后判别式的作用． 常见考法： ①判断直线与椭圆的位置关系； ②由位置关系求参数范围； ③求直线与椭圆的交点坐标． 考点05 椭圆中的弦长与中点弦 考点内容：弦长公式；中点弦问题；点差法；弦的中点坐标与斜率关系． 常见考法： ①求直线被椭圆截得的弦长； ②用点差法求中点弦所在直线方程； ③由弦的中点求直线斜率或椭圆方程； ④处理与弦中点有关的综合问题． 考点06 椭圆中的最值与范围问题 考点内容：椭圆上点到定点、定直线的距离最值；椭圆中代数式的最值；离心率范围；参数范围． 常见考法： ①求椭圆上点到定点距离的最值； ②求椭圆上点到定直线距离的最值； ③利用椭圆范围求参数取值范围； ④综合运用函数、不等式求最值； ⑤与向量结合求最值． 考点07 椭圆的综合应用 考点内容：椭圆与向量、面积、轨迹、对称等综合问题；定义法与方程思想的运用． 常见考法： ①求动点轨迹方程并判断是否为椭圆； ②处理椭圆中的面积问题； ③椭圆与向量结合求参数或证明结论． 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 焦点在x轴 焦点为 2 焦点在y轴 焦点为 3 a、b、c 关系 最大，为半焦距 4 离心率 越接近 1，椭圆越扁 5 弦长公式 联立后使用 6 点差法求斜率 弦中点 辨析01 椭圆的定义中“”不能忽略 椭圆定义要求 ，且 。若 ，动点轨迹是线段 ；若 ，轨迹不存在。因此用定义判断轨迹时，必须先验证这一条件，不能只看到“到两定点距离之和为常数”就认定为椭圆。 辨析02 椭圆标准方程中 的大小关系不能混淆 椭圆标准方程中， 表示长半轴， 表示短半轴，恒有 。焦点在 轴时， 项分母为 ；焦点在 轴时， 项分母为 。判断焦点位置，看分母大小即可。 辨析03 的关系是 ，不是 椭圆中 是长半轴， 是半焦距，三者满足 ，即 是斜边。不要与直角三角形的勾股定理混淆成 ，也不要与双曲线中的 混淆。椭圆中 最大，双曲线中 最大。 辨析04 离心率 与椭圆扁平程度的关系 离心率 ，范围是 。 越接近 0，椭圆越接近圆； 越接近 1，椭圆越扁。当 时是圆，但圆不是椭圆（按高中定义，椭圆要求 ，）。求离心率时，关键是构造关于 的齐次式。 辨析05 直线与椭圆相切时，判别式等于零，但判别式法不一定最简便 联立直线与椭圆方程，消元后得到一元二次方程， 相交， 相切， 相离。这是代数法，适用于一般情形。但对于某些问题，用几何法或点差法更简便。注意椭圆不是圆，不能直接用“圆心到直线距离等于半径”来判断相切。 辨析06 点差法求中点弦，必须检验直线与椭圆是否相交 用点差法求中点弦所在直线方程，步骤是：设弦两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用中点坐标求斜率。但求出的直线必须检验与椭圆是否真的有两个交点，即 。否则可能求出的是“虚弦”，实际上直线与椭圆不相交。 辨析07 弦长公式中的 是直线的斜率，不是椭圆的参数 弦长公式 中， 是直线 的斜率。当直线斜率不存在时，应改用 。使用前要先判断斜率是否存在，避免漏解或套错公式。 辨析08 焦点三角形面积公式 中 是顶角 在焦点三角形 中，，即以 为顶点的角。面积公式为 。不要与 混淆，后者是通用三角形面积公式，前者是椭圆焦点三角形的专用结论。 辨析09 椭圆的范围决定了最值问题中变量的取值范围 椭圆 上点 满足 ，。求最值时，可以先把目标式表示为 或 的函数，再利用这个范围求最值。忽略范围限制，容易把最值取在椭圆外，导致错误。 辨析10 轨迹问题中，求出方程后要检验范围 求动点轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验。化简过程中可能扩大或缩小范围，因此最后必须检验。例如，由定义求出的椭圆轨迹，要说明是否包含端点、是否去掉某些点，不能只写方程而不说明范围。 【题型一】对椭圆定义的理解 【例1】（25-26高三上·山东临沂·月考）已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则 ． 【答案】 【解析】在椭圆中，， 因为、是椭圆的两个焦点，在椭圆上， 由椭圆的定义可得，故. 【变式1-1】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【解析】由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25．故选：D． 【变式1-2】（25-26高二上·浙江衢州·期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】记圆O半径为，设点A关于直线的对应点为，连接交直线于点，连接，计算，根据椭圆定义可得． 【详解】如图，圆半径为，是一条折痕，点关于的对称点在圆上，连接交直线于，则， 所以， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为． 故选：B 【题型二】椭圆的焦点三角形问题 【例2】（2025·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 . 【答案】 【解析】由题设，可得， 又为上顶点，则， 故， 所以，则，故标准方程为. 【变式2-1】（25-26高二下·广西南宁·期末）椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为 . 【答案】 【分析】利用，求出c，利用椭圆的定义即可求出焦点三角形的周长. 【详解】因为，，所以， 故的周长为. 故答案为： 【变式2-2】（2026·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，， 解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 因为平分，由角平分线定理可得，故， 所以，即， 故，所以. 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 由，得， 所以.故选：B. 【题型三】椭圆中距离和与差的最值问题 【例3】（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【详解】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用定点到圆上点距离的最值，结合椭圆的定义与三角形边长的关系即可得解. 【详解】因为曲线：可化为，为椭圆， 则，故椭圆左焦点，右焦点， 又圆：的圆心恰好是，则，    又在椭圆中，有，， 所以， 当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·湖北·月考）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 【题型四】椭圆的标准方程性质与求解 【例4-1】（25-26高二上·北京·期中）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，且焦点在x轴上， 则， 则椭圆的标准方程为 故选：D. 【例4-2】（25-26高二上·广东湛江·期中）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程. 【详解】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以， 又，则， 所以椭圆方程为， 故选:B. 【变式4-1】（25-26高二上·陕西榆林·月考）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 【变式4-2】（25-26高二上·浙江·月考）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设列式求出即可得椭圆的方程； 【详解】设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：， 又因为点在椭圆上，故，解得， 则. 所以椭圆标准方程为：. 故选：B. 【题型五】与椭圆有关的轨迹问题 【例5-1】（25-26高二上·河北沧州·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【分析】由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求. 【详解】如图， 设动圆的圆心为P，半径为r，如图， 因圆与圆外切，则， 圆，即， 因与圆内切，则， 又，因，所以点P在以，为焦点的椭圆上. 故选：A. 【例5-2】（25-26高二上·安徽·月考）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知曲线的方程为：，点是曲线上的两个动点，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用椭圆定义及其性质计算即可得. 【详解】由， 可得点到与的距离之和为，又， 由椭圆定义可知，曲线为以、为焦点，为长轴长的椭圆， 由椭圆中长轴为最长弦，故的最大值为. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解其方程. 【详解】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 【题型一】忽略直线斜率不存在致错 【例1】（25-26高三上·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 【变式1】（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆C：的离心率为右焦点为F，过F的直线l交椭圆C于M，N两点，当直线l垂直于x轴时， (1)求椭圆C的方程; (2)若点P在椭圆C上，且满足(O为坐标原点)，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题意得，解得. 故椭圆的方程为． （2）由题知直线的斜率不为零， 设直线， 则联立，可得， 由根与系数关系可知：， ， ， 又，则点坐标满足椭圆的方程，即， 解得或（舍）， 所以，故直线的方程为，即 【题型二】忽略韦达定理的前提致错 【例2】（25-26高三上·安徽·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. （2）设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为， 则，解得或，满足， 则或. 【变式2】（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的右顶点为，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题知， 且，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. （2）如图： 联立，得， 由题意，即，解得. 设，，可得，， 由，得， 即，即 即，解得. 【题型一】求椭圆离心率的取值范围 【例1】（2026·四川德阳·模拟预测）若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】记左右焦点分别为，由题意， 由椭圆的定义知， 所以， 椭圆上任意一点到焦点的距离满足：且 所以 所以椭圆离心率的取值范围为. 【变式1】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即，解得.故选：A 【题型二】椭圆中的定点问题 【例2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知是椭圆的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题意，，解得，， 所以的方程为. （2）点，显然的斜率存在，设的方程为，， 由消去整理，得 由直线与椭圆交于、两点，得 ， 则，由，得直线的斜率互为相反数， 即， 因此，整理得， 则，化简得， 所以直线的方程为 ，即过定点. 【变式2-1】（西藏自治区拉萨市2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题）已知椭圆的左､右顶点分别为，，且，点是上的一点. (1)求的方程； (2)已知点，（，不在轴上）是椭圆上不同的两点. ①求直线，的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②直线恒过点. 【分析】（1）根据椭圆长轴长，再利用待定系数法可得椭圆方程； （2）①设点，分别表示，，结合点在椭圆上，化简可得解；②易知直线斜率不为零，设直线方程为，联立直线与椭圆，结合，的斜率之积，利用韦达定理化简可得，可得直线过定点. 【详解】（1）由，得，解得， 又过点，所以，解得， 所以的方程为； （2）①由题意，得，， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线，的斜率之积为； ②设， 若直线的斜率为，则，关于轴对称， 所以， 又直线的斜率是直线的斜率的倍， 所以，即， 由，不在轴上，得，，与矛盾， 所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 由，得， 所以， 且，， 由①知，又， 所以， 所以， 即， 化简得， 将，代入上式并化简， 得， 即，解得（舍）或， 此时满足， 所以直线为，恒过点. 【变式2-2】（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知定点，，直线与相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之积为．设动点的轨迹为曲线C． (1)求曲线的方程； (2)已知直线与曲线交于点，．若以为直径的圆经过点，则是否经过某个定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2)过定点，定点为 【分析】（1）先设动点，根据已知条件写出直线、的斜率表达式，利用“斜率之积为”列出等式，对等式进行代数化简，再整理得到曲线的标准方程，并注明的限制条件（注意排除斜率不存在的点）即可； （2）先设交点和，将直线与曲线方程联立，消元得到一元二次方程； 再由韦达定理写出和的表达式， 根据“以为直径的圆过点”，转化为向量垂直的条件，代入坐标并展开，最后将韦达定理的结果代入垂直条件的等式，整理得到关于、的关系式即可. 【详解】（1）设动点的坐标为， 则的斜率，，直线的斜率，， 直线的斜率与直线的斜率之积为， ，， 即． 曲线的方程为， （2）已知直线与曲线交于点、． 设点 由  消去， 整理得：① 则，． 那么 以为直径的圆经过点， 可得，显然存在斜率，所以，即， ， 即， ，解得：或（舍去）． 当时，直线，过定点，即点，故舍去． 当时，直线，过定点 所以过定点. 【变式2-3】（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 【答案】(1); (2)直线过定点 【分析】（1）根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率； （2）写出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ恒过的定点. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为， 因为所以， 所以离心率为. （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 直线的方程为 令，解得，则， 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 令，则 所以直线过定点. 【题型三】椭圆中的定值问题 【例3】（2026高三上·山西·专题练习）已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证. 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 【变式3-1】（湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）已知椭圆过，不与轴垂直的直线交椭圆于两点，且为线段中点，设直线的斜率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若坐标原点关于点的对称点在椭圆上， （i）求的取值范围； （ii）证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法，列方程组求解即可； （2）（i）依题意，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，以及题设条件推得，代入的表达式，利用不等式的性质即可求得的取值范围；（ii）在（i）的基础上，求出到直线的距离和弦长，代入三角形的面积公式化简计算即可证明. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：, 由椭圆经过点，可得，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）（i）依题意，设直线的方程为， 由，消去，可得， 则 设，且，， 则 因为线段中点，则得, 又点关于点的对称点是，则得，即， 因点在椭圆上，则有，即，则有， 因 . 由，可得，则，故. 即的取值范围为； （ii）设到直线的距离为，则， ， 故为定值. 【变式3-2】（25-26高二上·广西·月考）已知是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，斜率不为0的直线经过点且与椭圆交于两点.当直线与轴垂直时，弦的长为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，设直线的斜率分别为，求； (3)轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由的长为得到，由离心率得到，结合计算出的值，从而得到椭圆的方程； （2）设直线的方程为设，直线和椭圆联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系写出，利用已知两点的斜率公式求出，计算得解. （3）假设轴上存在满足条件的定点，设其坐标为，求出，利用数量积的坐标公式求出，利用为定值，得到关于的等式，计算出，求出定值，从而得解. 【详解】（1）由题可知，， 所以， 故椭圆的方程为； （2）设直线的方程为设， 由得，， 故， ， ， 注意到，即， 故. （3）假设轴上存在满足条件的定点， 设其坐标为，则， ， 因为为定值，故， 得，定值为， 故轴上存在定点，使得为定值. 【题型四】椭圆中的最值与范围问题 【例4】（25-26高三上·河南南阳·期末）已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设Q的坐标为，利用两点间的距离公式建立关于的函数关系式，从而求得最大值. 【详解】为曲线上任意一点，可设， 所以 当时，最大. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． (1)求的方程； (2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为是E上一点，代入椭圆方程解得， 又，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零， 设直线的方程为，， 由消去，得，显然， 则，， 所以， 则的面积， 令，函数在上单调递增，当时，取得最小值4， 则当时，取得最小值4，， 所以的面积的最大值为. 【变式4-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，设点、，则， 因为点为线段的中点，则，即， 因为点在圆上，所以，即， 因此，点的轨迹的方程为. （2）由已知可得，设点、， 联立得， 由已知可得，得， 由韦达定理可得，， 因为，即，则，即， 所以，所以，即， 当时，不成立， 所以，代入得， 解得，因此，的取值范围是. 【题型五】椭圆中的证明问题 【例5】（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为，所以平分. 【变式5-1】（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【变式5-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）记椭圆的右顶点为,右焦点为,过F的直线l交C于D,E两点，记线段的中点分别为M,N,直线分别交于点P,Q. (1)求C的方程； (2)证明：轴； (3)若的外接圆的面积为,求直线l的方程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由题意可知,再求得,确定椭圆方程； （2）由于直线过轴上的定点，因此可设（需另外考虑斜率为0的情况），再设出两点，再根据题意依次写出直线,最后求出交点的坐标，发现两者纵坐标相同（且横坐标不同），因此得证； （3）由外接圆面积可得到半径.由题(2)可知，是水平线段，外接圆圆心在其中垂线上，因此可确定圆心的横坐标，由=4,可进而确定圆心的纵坐标，最后根据垂径定理，解出参数，确定直线. 【详解】（1）由题可知，因此,则椭圆方程. （2） 当直线的斜率为0时，此时交椭圆C于左右顶点，此时点与点或点重合，不满足题意. 因此可设直线,,则. 将直线与椭圆联立得, 由韦达定理得， 直线, 直线. 要求与的交点的坐标，可联立直线与，得 ,. 要计算的坐标，由运算的对称性可知， 注意到的横坐标不同，纵坐标相同，因此与轴垂直. （3）由题可知，的外接圆的半径为4. ,. 因此可设外接圆的圆心为,又因为,所以, 由对称性，不妨先假设 , 由垂径定理得,整理得, 解得. 由对称性，可知 故直线的方程为：或 【题型六】椭圆中的探究性问题 【例6】（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆，长轴长为4，不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过右焦点，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由题意求出，设点，，利用点差法，结合，推出，得到椭圆C方程； （2）设直线，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，求解点坐标，推出点坐标，利用弦长公式转化求解即可． 【详解】（1）由题意可知，，． 设点，，A，B在椭圆上，所以，， 两式相减得，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以椭圆C方程为． （2）椭圆右焦点，设直线， 代入椭圆方程得， 所以，， 所以，即， 假设存在点，则的直线方程为， 所以， ， ， 若为等边三角形，则， 即，解得，此时， 所以存在点，使得为等边三角形. 【变式6-1】（2026·云南怒江·模拟预测）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析 【解析】（1）因为点到点的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）由题意可知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为． 联立，得．直线l过点F，必有， 由韦达定理可得，， 所以的面积， ． 令，则，所以． 令，则在上单调递减， 所以，即面积的最大值为． 因为，所以不存在直线，使得面积为． 【变式6-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； (3)是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在，证明见解析 【解析】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，所以， 又因为椭圆的离心率为，得，∴， 所以椭圆方程为. （2）如图： 由得直线的斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程，得，∵， ∴所以直线与椭圆相切，且， 即线段的垂直平分线与恰有一个公共点. （3）假设符合条件的圆存在，由（2）知在圆上， 由对称性知也在圆上，关于右顶点的对称点也在圆上. 因为线段的垂直平分线为， 线段的垂直平分线上的点满足：， 化简即得的垂直平分线方程为. 由，且, 所以过三点的圆的方程为. 如图：    下面证明此圆符合题目条件： 设在圆上，∴， 当时，的垂直平分线方程为或与椭圆相切，符合条件； 当时，的垂直平分线方程为， 设，由得， ∵ ， ∴的垂直平分线与椭圆相切. ∴满足条件的圆存在，其方程为. 又由韦达定理得切点的横坐标， 的纵坐标，∴， ∴， ∴三点共线. 【题型一】求椭圆离心率的值的方法 求椭圆离心率的3种方法 （1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． （2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． （3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 【例1】（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，由直线，的斜率之积为，结合椭圆方程求得的关系，即，由和求得椭圆的离心率. 【详解】由题可知，，设， 则， 所以， 即．由， 得，所以， 所以． 故选：B． 【变式1-1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过三点的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得． 故选：B． 【变式1-2】（25-26高三下·云南昆明·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理解得，进而可得，在中，利用勾股定理列式求解即可. 【详解】设， 因为，则， 由椭圆的定义可得，， 因为，即， 在中，则，即， 解得，可得， 在△中，可得，即，整理得， 所以椭圆E的离心率为. 故选：B． 【变式1-3】（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解. 【详解】由椭圆的定义得， 又，故， 由，得， 又椭圆的离心率，则. 故选：B 【题型二】直线与椭圆的位置关系 1、通过联立直线与椭圆的方程，将几何位置关系转化为方程解的个数问题． （1）求解步骤：先明确直线与椭圆的方程，再联立方程消元得到一元二次方程，最后通过判别式判断； （2）特殊情况：若直线过定点，可先判断定点的位置． 2、根据直线与椭圆的位置关系求参数范围 将“位置关系”转化为“代数条件”（如判别式符号、交点坐标特征、切线公式约束等），再通过解方程或不等式求解参数范围． 【例1】（25-26高二上·河南·月考）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【分析】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 【详解】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D 【变式1-1】（25-26高二上·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对曲线方程进行分类讨论得或，直线过定点，再联立曲线方程和直线方程求解. 【详解】由题知当时，曲线方程为，当时，曲线方程为.因为时，取值与无关，所以直线恒过点. ∵如图所示,时曲线分别对应椭圆位于轴和轴上方的曲线，时曲线分别对应双曲线位于轴下方的曲线，且双曲线的渐近线方程为， ∴由图知，要使直线和曲线有两个不同交点,斜率应满足时， D正确， 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，联立椭圆方程，利用判别式求得的范围即可. 【详解】设，则，可看作是一组与椭圆有公共点的平行直线. 由，得. ，解得. 故选：B. 【题型三】椭圆的中点弦 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则． 【例1】（湖北省楚天协作体2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用点差法计算可得. 【详解】依题意直线的斜率存在，设，， 则，即， 又，所以， 即，所以， 即，所以直线的斜率为. 故选：B 【变式1-1】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，可得椭圆的方程． 【详解】由题意设椭圆的标准方程为， 联立，消元得， 设两个交点分别为，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即①， 因为焦点，所以有②， 由①②得， 所以椭圆方程为， 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可. 【详解】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 【变式1-3】（25-26高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A 【题型四】直线与椭圆相交弦长问题 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 【例1】（25-26高二上·江西九江·月考）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【详解】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C 【变式1-1】（25-26高二上·北京·期中）过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，联立方程组，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 联立方程组，解得， 如图所示，可得，所以. 故选：C.    【变式1-2】（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得，解得， 故的方程为. （2）联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 【变式1-3】（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）由题意知， 椭圆的方程为：. （2）为椭圆的焦点，当的斜率不存在时， 显然，，显然， 斜率存在且不为0，设直线的方程为，， ，， ，， 所以，， ， 此时，， ，，， ，解得或， 直线的斜率为或. 技巧 一句话要点 求椭圆标准方程——"先定焦点位置" 看焦点在 轴还是 轴，再设对应形式，避免设错分母。 由方程求 ——"先看分母大小" 分母大的对应 ，小的对应 ，再用 求 。 求离心率——"构造齐次式" 把条件转化为关于 的方程，两边同除 或 ，解出 。 求离心率范围——"找不等关系" 利用椭圆本身范围、点坐标范围或题目条件列不等式，解出 的范围。 判断直线与椭圆位置——"联立看判别式" 消元后算 ： 相交， 相切， 相离。 求中点弦——"点差法" 设两端点代入椭圆方程，两式相减，利用中点坐标求斜率，最后检验 。 求椭圆上点到定点距离最值——"转化为函数" 用椭圆方程消去一个变量，转化为一元函数，注意变量范围。 求椭圆上点到定直线距离最值——"设点 + 距离公式" 设椭圆上点坐标，代入点到直线距离公式，再求最值。 椭圆中的面积问题——"底 × 高 或 分割法" 常用弦长作底，或把图形分割成若干三角形分别求面积。 椭圆与向量结合——"坐标化" 把向量条件转化为坐标关系，再与椭圆方程联立求解。 求轨迹方程——"建、设、列、化、验" 建系、设点、列等量关系、化简、检验范围，五步缺一不可。 含参数的椭圆方程——"先保证是椭圆" 要求 、 且 ，再讨论焦点位置和参数范围。 椭圆中的对称问题——"垂直 + 中点" 点关于直线对称：连线与对称轴垂直，中点在对称轴上，列方程组求解。 椭圆中的定点问题——"分离参数法" 把含参数的直线方程整理为关于参数的方程，令参数系数和常数项分别为 0，解出定点。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(7类) 公式清单(6类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 椭圆的定义 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 知识点02 椭圆的简单几何性质 1.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝ (0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 2.椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示， 当椭圆为＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ. (1)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为． (3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0． (4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ． (6)＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc. (7)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． 知识点03 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2.直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 知识点04 二级结论 【二级结论1】椭圆的硬解定理 如果直线与曲线（m>0,n>0,）有两个交点，． 先将直线方程与曲线方程进行联立，得到， 于是判别式， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而． 特别地，对于最常见的斜截式来说，可令，，， 则有以下结论： ①判别式． ② ③． ④． 【二级结论2】椭圆的焦点三角形的内心 如图，若点I是焦点三角形的内心，则有下列结论： ①若r为焦点三角形的内切圆半径，则使用等面积法，就有． ②若的平分线交于点G，则在中， 根据角平分线定理得到． ③在中使用角平分线定理得到． 【二级结论3】椭圆弦中点问题 若直线与椭圆交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在椭圆上， 所以（点在椭圆上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，，所以． 【二级结论4】椭圆的切线 将椭圆的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，x轴上单独讨论．如图． ①易得椭圆在左右顶点处的切线方程分别为，． ②椭圆在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导），进而得到，从而椭圆在点处的切线方程为，于是（同乘）， 于是就有（点在椭圆上）， 因此椭圆在点处的切线方程为． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，椭圆在点处的切线方程为． 结合①②③可得，椭圆在点处的切线方程为． 考点01 椭圆的定义与标准方程 考点内容：椭圆的定义；焦点、焦距；椭圆的标准方程；焦点在 x 轴与焦点在 y 轴的标准方程；定义中“”的条件． 常见考法： ①用定义判断动点轨迹是否为椭圆； ②根据焦点位置设出标准方程并求解； ③由椭圆方程写出 及焦点坐标； ④处理含参数的椭圆方程，求参数范围． 考点02 椭圆的简单几何性质 考点内容：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率； 的关系；椭圆与坐标轴的交点． 常见考法： ①由方程求顶点、长轴长、短轴长、焦距、离心率； ②由几何性质求椭圆方程； ③利用对称性求点关于坐标轴的对称点． 考点03 椭圆的离心率 考点内容：离心率的定义 ；离心率与椭圆扁平程度的关系；求离心率的常用方法． 常见考法： ①由方程直接求离心率； ②由 的关系求离心率； ③由几何条件构造关于 的齐次式求离心率； ④求离心率的取值范围； ⑤由离心率求椭圆方程中的参数． 考点04 直线与椭圆的位置关系 考点内容：直线与椭圆相交、相切、相离的判定；交点个数；联立方程消元后判别式的作用． 常见考法： ①判断直线与椭圆的位置关系； ②由位置关系求参数范围； ③求直线与椭圆的交点坐标． 考点05 椭圆中的弦长与中点弦 考点内容：弦长公式；中点弦问题；点差法；弦的中点坐标与斜率关系． 常见考法： ①求直线被椭圆截得的弦长； ②用点差法求中点弦所在直线方程； ③由弦的中点求直线斜率或椭圆方程； ④处理与弦中点有关的综合问题． 考点06 椭圆中的最值与范围问题 考点内容：椭圆上点到定点、定直线的距离最值；椭圆中代数式的最值；离心率范围；参数范围． 常见考法： ①求椭圆上点到定点距离的最值； ②求椭圆上点到定直线距离的最值； ③利用椭圆范围求参数取值范围； ④综合运用函数、不等式求最值； ⑤与向量结合求最值． 考点07 椭圆的综合应用 考点内容：椭圆与向量、面积、轨迹、对称等综合问题；定义法与方程思想的运用． 常见考法： ①求动点轨迹方程并判断是否为椭圆； ②处理椭圆中的面积问题； ③椭圆与向量结合求参数或证明结论． 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 焦点在x轴 焦点为 2 焦点在y轴 焦点为 3 a、b、c 关系 最大，为半焦距 4 离心率 越接近 1，椭圆越扁 5 弦长公式 联立后使用 6 点差法求斜率 弦中点 辨析01 椭圆的定义中“”不能忽略 椭圆定义要求 ，且 。若 ，动点轨迹是线段 ；若 ，轨迹不存在。因此用定义判断轨迹时，必须先验证这一条件，不能只看到“到两定点距离之和为常数”就认定为椭圆。 辨析02 椭圆标准方程中 的大小关系不能混淆 椭圆标准方程中， 表示长半轴， 表示短半轴，恒有 。焦点在 轴时， 项分母为 ；焦点在 轴时， 项分母为 。判断焦点位置，看分母大小即可。 辨析03 的关系是 ，不是 椭圆中 是长半轴， 是半焦距，三者满足 ，即 是斜边。不要与直角三角形的勾股定理混淆成 ，也不要与双曲线中的 混淆。椭圆中 最大，双曲线中 最大。 辨析04 离心率 与椭圆扁平程度的关系 离心率 ，范围是 。 越接近 0，椭圆越接近圆； 越接近 1，椭圆越扁。当 时是圆，但圆不是椭圆（按高中定义，椭圆要求 ，）。求离心率时，关键是构造关于 的齐次式。 辨析05 直线与椭圆相切时，判别式等于零，但判别式法不一定最简便 联立直线与椭圆方程，消元后得到一元二次方程， 相交， 相切， 相离。这是代数法，适用于一般情形。但对于某些问题，用几何法或点差法更简便。注意椭圆不是圆，不能直接用“圆心到直线距离等于半径”来判断相切。 辨析06 点差法求中点弦，必须检验直线与椭圆是否相交 用点差法求中点弦所在直线方程，步骤是：设弦两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用中点坐标求斜率。但求出的直线必须检验与椭圆是否真的有两个交点，即 。否则可能求出的是“虚弦”，实际上直线与椭圆不相交。 辨析07 弦长公式中的 是直线的斜率，不是椭圆的参数 弦长公式 中， 是直线 的斜率。当直线斜率不存在时，应改用 。使用前要先判断斜率是否存在，避免漏解或套错公式。 辨析08 焦点三角形面积公式 中 是顶角 在焦点三角形 中，，即以 为顶点的角。面积公式为 。不要与 混淆，后者是通用三角形面积公式，前者是椭圆焦点三角形的专用结论。 辨析09 椭圆的范围决定了最值问题中变量的取值范围 椭圆 上点 满足 ，。求最值时，可以先把目标式表示为 或 的函数，再利用这个范围求最值。忽略范围限制，容易把最值取在椭圆外，导致错误。 辨析10 轨迹问题中，求出方程后要检验范围 求动点轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验。化简过程中可能扩大或缩小范围，因此最后必须检验。例如，由定义求出的椭圆轨迹，要说明是否包含端点、是否去掉某些点，不能只写方程而不说明范围。 【题型一】对椭圆定义的理解 【例1】（25-26高三上·山东临沂·月考）已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则 ． 【变式1-1】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【变式1-2】（25-26高二上·浙江衢州·期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【题型二】椭圆的焦点三角形问题 【例2】（2025·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 . 【变式2-1】（25-26高二下·广西南宁·期末）椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为 . 【变式2-2】（2026·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（    ） A． B． C． D． 【题型三】椭圆中距离和与差的最值问题 【例3】（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式3-2】（25-26高二上·湖北·月考）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型四】椭圆的标准方程性质与求解 【例4-1】（25-26高二上·北京·期中）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高二上·广东湛江·期中）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·陕西榆林·月考）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·浙江·月考）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【题型五】与椭圆有关的轨迹问题 【例5-1】（25-26高二上·河北沧州·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【例5-2】（25-26高二上·安徽·月考）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知曲线的方程为：，点是曲线上的两个动点，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式5-2】（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【题型一】忽略直线斜率不存在致错 【例1】（25-26高三上·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【变式1】（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆C：的离心率为右焦点为F，过F的直线l交椭圆C于M，N两点，当直线l垂直于x轴时， (1)求椭圆C的方程; (2)若点P在椭圆C上，且满足(O为坐标原点)，求直线l的方程. 【题型二】忽略韦达定理的前提致错 【例2】（25-26高三上·安徽·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【变式2】（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的右顶点为，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 【题型一】求椭圆离心率的取值范围 【例1】（2026·四川德阳·模拟预测）若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为 . 【变式1】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【题型二】椭圆中的定点问题 【例2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知是椭圆的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 【变式2-1】（西藏自治区拉萨市2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题）已知椭圆的左､右顶点分别为，，且，点是上的一点. (1)求的方程； (2)已知点，（，不在轴上）是椭圆上不同的两点. ①求直线，的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 【变式2-2】（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知定点，，直线与相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之积为．设动点的轨迹为曲线C． (1)求曲线的方程； (2)已知直线与曲线交于点，．若以为直径的圆经过点，则是否经过某个定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式2-3】（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 【题型三】椭圆中的定值问题 【例3】（2026高三上·山西·专题练习）已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 【变式3-1】（湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）已知椭圆过，不与轴垂直的直线交椭圆于两点，且为线段中点，设直线的斜率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若坐标原点关于点的对称点在椭圆上， （i）求的取值范围； （ii）证明：的面积为定值. 【变式3-2】（25-26高二上·广西·月考）已知是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，斜率不为0的直线经过点且与椭圆交于两点.当直线与轴垂直时，弦的长为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，设直线的斜率分别为，求； (3)轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由. 【题型四】椭圆中的最值与范围问题 【例4】（25-26高三上·河南南阳·期末）已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． (1)求的方程； (2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 【变式4-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【题型五】椭圆中的证明问题 【例5】（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【变式5-1】（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【变式5-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）记椭圆的右顶点为,右焦点为,过F的直线l交C于D,E两点，记线段的中点分别为M,N,直线分别交于点P,Q. (1)求C的方程； (2)证明：轴； (3)若的外接圆的面积为,求直线l的方程． 【题型六】椭圆中的探究性问题 【例6】（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆，长轴长为4，不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过右焦点，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D坐标，若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（2026·云南怒江·模拟预测）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； (3)是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 【题型一】求椭圆离心率的值的方法 求椭圆离心率的3种方法 （1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． （2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． （3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 【例1】（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三下·云南昆明·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型二】直线与椭圆的位置关系 1、通过联立直线与椭圆的方程，将几何位置关系转化为方程解的个数问题． （1）求解步骤：先明确直线与椭圆的方程，再联立方程消元得到一元二次方程，最后通过判别式判断； （2）特殊情况：若直线过定点，可先判断定点的位置． 2、根据直线与椭圆的位置关系求参数范围 将“位置关系”转化为“代数条件”（如判别式符号、交点坐标特征、切线公式约束等），再通过解方程或不等式求解参数范围． 【例1】（25-26高二上·河南·月考）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【变式1-1】（25-26高二上·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【变式1-2】（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型三】椭圆的中点弦 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则． 【例1】（湖北省楚天协作体2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式1-3】（25-26高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【题型四】直线与椭圆相交弦长问题 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 【例1】（25-26高二上·江西九江·月考）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【变式1-1】（25-26高二上·北京·期中）过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（   ） A．4 B． C．1 D． 【变式1-2】（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【变式1-3】（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率. 技巧 一句话要点 求椭圆标准方程——"先定焦点位置" 看焦点在 轴还是 轴，再设对应形式，避免设错分母。 由方程求 ——"先看分母大小" 分母大的对应 ，小的对应 ，再用 求 。 求离心率——"构造齐次式" 把条件转化为关于 的方程，两边同除 或 ，解出 。 求离心率范围——"找不等关系" 利用椭圆本身范围、点坐标范围或题目条件列不等式，解出 的范围。 判断直线与椭圆位置——"联立看判别式" 消元后算 ： 相交， 相切， 相离。 求中点弦——"点差法" 设两端点代入椭圆方程，两式相减，利用中点坐标求斜率，最后检验 。 求椭圆上点到定点距离最值——"转化为函数" 用椭圆方程消去一个变量，转化为一元函数，注意变量范围。 求椭圆上点到定直线距离最值——"设点 + 距离公式" 设椭圆上点坐标，代入点到直线距离公式，再求最值。 椭圆中的面积问题——"底 × 高 或 分割法" 常用弦长作底，或把图形分割成若干三角形分别求面积。 椭圆与向量结合——"坐标化" 把向量条件转化为坐标关系，再与椭圆方程联立求解。 求轨迹方程——"建、设、列、化、验" 建系、设点、列等量关系、化简、检验范围，五步缺一不可。 含参数的椭圆方程——"先保证是椭圆" 要求 、 且 ，再讨论焦点位置和参数范围。 椭圆中的对称问题——"垂直 + 中点" 点关于直线对称：连线与对称轴垂直，中点在对称轴上，列方程组求解。 椭圆中的定点问题——"分离参数法" 把含参数的直线方程整理为关于参数的方程，令参数系数和常数项分别为 0，解出定点。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $