【2027新考纲】合集-广西高等职业教育考试数学新增考点《背诵清单》

【2027新考纲】 新增考点合集 广西高等职业教育考试数学新增考点《背诵清单》 1 目录｜考点总览 一、不等式　｜　考点01 二、函数　｜　考点02 三、指数函数与对数函数　｜　考点03、考点04、考点05 四、三角函数　｜　考点06、考点07、考点08、考点09、考点10、考点11 五、立体几何　｜　考点12、考点13、考点14 六、数列　｜　考点15、考点16 七、平面向量　｜　考点17 八、概率与统计初步　｜　考点18、考点19、考点20、考点21、考点22、考点23、考点24、考点25、考点26、考点27、考点28 2 知识总结｜考点01·（一）一元一次不等式及其解法 定义：只含一个未知数、且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式，一般形式为 （）。 方法：解一元一次不等式的步骤是去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1。 注意：不等式两边同乘（或同除）同一个负数时，不等号的方向必须改变。 注意：解集在数轴上表示时，、 画空心圆圈，、 画实心圆点；、 向右画，、 向左画。 3 知识总结｜考点01·（二）不等式的基本性质 性质（对称性）：。 性质（传递性）：，。 性质（可加性）：。 性质（可乘性）：，；，。 特别地：，。 4 知识总结｜考点01·（三）一元一次不等式组及其解集 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 方法：先分别求出每个不等式的解集，再取各解集的公共部分，就得到不等式组的解集。 结论：同大取大，同小取小，大小交叉取中间，大小分离则无解。 公式（区间表示）：；。 公式（含无穷的区间）：，，，；实数集 ，“”读作“无穷大”。 5 知识总结｜考点02·（一）一次函数的概念与性质 定义：形如 （）的函数叫做一次函数，图像是一条直线， 叫做纵截距，直线经过点 。 特别地： 时 叫做正比例函数，图像是经过原点的一条直线。 性质： 时 随 的增大而增大（图像上升）； 时 随 的增大而减小（图像下降）。 方法：画一次函数的图像只需取两个点（通常取与坐标轴的交点），过这两点作直线即可。 6 知识总结｜考点02·（二）二次函数的概念与图像 定义：形如 （）的函数叫做二次函数，图像是一条抛物线。 性质： 时抛物线开口向上； 时抛物线开口向下。 公式：对称轴为 ；顶点坐标为 。 公式：顶点式为 ，顶点为 ；用配方法可由一般式化为顶点式。 7 知识总结｜考点02·（三）二次函数的性质 结论： 时 有最小值 ，没有最大值； 时 有最大值 ，没有最小值。 性质： 时，在 上单调递减，在 上单调递增； 时相反。 结论：图像与 轴交点的个数由判别式 决定—— 时有两个交点， 时有一个交点， 时没有交点。 注意：判断单调性、最值时先看 的正负，再结合对称轴与取值区间的位置关系。 8 知识总结｜考点03·（一）n 次方根与根式 定义：若 ，则 叫做 的 n 次方根（，）。 结论：n 为奇数时， 的 n 次方根只有一个，记作 ；n 为偶数时，若 ，则 的 n 次方根有两个，即 （它们互为相反数），若 则 ，若 则 没有意义。 定义：式子 叫做根式， 叫做根指数， 叫做被开方数（其中 表示 的非负 n 次方根）。 公式：n 为奇数时 ；n 为偶数时 。 9 知识总结｜考点03·（二）分数指数幂 公式：（， 为大于 1 的整数）。 公式：（，，）。 公式：（，，）。 规定：0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义。 10 知识总结｜考点03·（三）指数幂的运算性质与化简 公式：（，）。 公式：。 公式：。 方法：化根式为分数指数幂后，再用幂的运算性质整理，最后按题目要求化回根式。 11 知识总结｜考点04·（一）对数的概念与基本性质 定义：如果 （ 且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数。 结论：负数和零没有对数。 性质：；。 公式：（ 且 ，）。 特别地： 记作 ，叫做常用对数； 记作 ，叫做自然对数。 12 知识总结｜考点04·（二）对数的运算法则 公式：。 公式：。 公式：。 注意：只有真数的积、商、幂才能用法则化简，。 13 知识总结｜考点04·（三）换底公式及其常用结论 公式：（ 且 ， 且 ，）。 结论：（ 且 ， 且 ）。 结论：。 结论：。 结论：。 方法：化简对数式时先统一底数，把不同底的对数用换底公式化为同底，再用运算法则整理。 14 知识总结｜考点05·（一）指数式与对数式的互化 公式：（ 且 ，）。 结论：指数式与对数式是同一关系的两种写法，底数 不变，指数 与对数 互相对应，幂值 与真数 互相对应。 特别地：；。 15 知识总结｜考点05·（二）互化的应用 方法：由指数式化为对数式，可根据底数与幂值求指数。 方法：由对数式化为指数式，可根据底数与对数求真数。 公式：（ 且 ，）。 公式：（ 且 ）。 16 知识总结｜考点06·（一）任意角与象限角（1/2） 定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角；按旋转方向分为正角、负角和零角。 定义：把角的顶点与原点重合、始边与 轴正半轴重合，角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角是第几象限角。 结论：终边在坐标轴上的角不属于任何象限，叫做轴线角。 结论：第一象限角 ；第二象限角 ；第三象限角 ；第四象限角 （）。 17 知识总结｜考点06·（一）任意角与象限角（2/2） 结论：终边在 轴上的角 ；终边在 轴上的角 （）。 18 知识总结｜考点06·（二）终边相同的角 定义：与角 终边相同的角组成的集合是 。 公式：用弧度制表示为 。 注意：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。 方法：判断角所在象限，可先把角化为 （）的形式，再判断 的象限。 19 知识总结｜考点07·（一）弧度制 定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1 rad。 公式：角 的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径）。 公式：；。 特别地：；；；；；。 20 知识总结｜考点07·（二）弧长公式与扇形面积公式 公式：（ 用弧度）。 公式：。 公式：角度制下 ，（ 为圆心角的度数）。 注意：弧长公式与面积公式中的 必须用弧度，已知圆心角是角度时要先化为弧度。 21 知识总结｜考点08·（一）两角和与差的余弦公式 公式：。 公式：。 结论：把 中的 换成 ，即得 的公式（，）。 22 知识总结｜考点08·（二）两角和与差的正弦公式 公式：。 公式：。 方法：和角公式与差角公式可以互相转化，把 换成 即可。 23 知识总结｜考点08·（三）二倍角公式 公式：。 公式：。 公式：；。 公式：；。 注意：公式中的角为任意角，公式要会正用、逆用和变形用。 24 知识总结｜考点09·（一）相关概念与周期 定义：函数 （，）中， 叫做振幅， 叫做相位， 叫做初相。 公式：周期 ；频率 。 结论：值域为 ，最大值是 ，最小值是 。 25 知识总结｜考点09·（二）五点法与图像变换 方法（五点法）：令 依次取 ，求出对应的 与 ，描点后用光滑曲线连接。 方法（先平移后伸缩）：把 的图像向左（右）平移 个单位，再把横坐标变为原来的 ，最后把纵坐标变为原来的 倍。 注意（先伸缩后平移）：先伸缩后平移时，平移量是 个单位，而不是 个单位。 结论：变换顺序不同，平移的量可能不同，作图时要看清顺序。 26 知识总结｜考点09·（三）图像与性质 性质：周期为 ；对称轴为 ；对称中心为 （）。 方法：求单调区间、最值、对称轴时，把 看成一个整体，代入 的相应结论（整体代换法）。 结论：由 的图像经过平移、伸缩变换可以得到 的图像。 27 知识总结｜考点10·（一）正弦定理 公式：（ 为 外接圆的半径）。 结论：，，。 结论：。 方法：已知两角和任一边、或已知两边和其中一边的对角，用正弦定理解三角形。 28 知识总结｜考点10·（二）余弦定理 公式：；；。 公式：；同理可得 、。 方法：已知三边、或已知两边及其夹角，用余弦定理解三角形。 结论：由 的符号可以判断角 是锐角、直角还是钝角—— 为锐角， 为直角， 为钝角。 29 知识总结｜考点10·（三）三角形的面积公式与常用关系 公式：。 结论：；；。 结论：大边对大角，大角对大边。 30 知识总结｜考点11·（一）模型形式与参数确定 定义：形如 （，）的函数，可用来描述具有周期性的实际问题。 公式：；。 公式：（ 为周期）。 方法：确定初相 时，把图像上一个特殊点（如最高点、最低点或与 轴的交点）的坐标代入解析式求解。 31 知识总结｜考点11·（二）建模与求解步骤 方法：审题，找出呈周期性变化的量，明确自变量与函数值。 方法：设出模型 ，由最值求 、，由周期求 ，由特殊点求 。 方法：解模型或代入求值后，回到实际问题中作答，注意单位与实际意义。 注意：自变量的取值范围要符合实际问题的限制。 32 知识总结｜考点12·（一）棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 定义：棱柱中两个互相平行的面叫做底面（全等）；其余各面叫做侧面（都是平行四边形）；相邻侧面的公共边叫做侧棱（平行且相等）。 结论：棱柱按底面边数分为三棱柱、四棱柱等；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 33 知识总结｜考点12·（二）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 定义：棱锥中多边形面叫做底面；其余各面叫做侧面（都是三角形）；各侧面的公共顶点叫做顶点；相邻侧面的公共边叫做侧棱（相交于一点）。 定义：底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥叫做正棱锥；正棱锥的各侧面是全等的等腰三角形。 34 知识总结｜考点12·（三）相关公式（关联复习） 公式：；（ 为底面积， 为高）。 公式：表面积＝侧面积＋底面积，把各个面的面积相加。 35 知识总结｜考点13·（一）直观图与斜二测画法 定义：把空间图形画在平面内，既有立体感、又能表达出主要线段长度的图形叫做空间图形的直观图，画直观图常用斜二测画法。 方法（画轴）：原图中 轴、 轴、 轴两两垂直；直观图中 轴与 轴的夹角为 （或 ）， 轴与 轴、 轴所在平面垂直。 方法（取长）：原图中平行于坐标轴的线段，在直观图中仍平行于对应的坐标轴；平行于 轴和 轴的线段长度不变，平行于 轴的线段长度变为原来的一半。 方法（成图）：按上述规则画出各顶点，连接相应的线段，擦去辅助线，即得空间图形的直观图。 36 知识总结｜考点13·（二）口诀与面积关系 结论（口诀）：横不变、纵减半、角变 ；由直观图还原原图时，横不变、纵加倍。 结论：水平放置的平面图形，其直观图的面积等于原图形面积的 倍。 37 知识总结｜考点14·（一）异面直线所成的角 定义：设 、 是两条异面直线，经过空间任一点 分别作直线 、，则 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 与 所成的角。 结论：异面直线所成角的取值范围是 。 方法：求异面直线所成的角，常用平移法——把两条异面直线平移到相交，再在三角形中计算。 38 知识总结｜考点14·（二）直线与平面所成的角 定义：平面的斜线与它在该平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线与该平面所成的角。 结论：直线与平面所成角的取值范围是 。 特别地：直线与平面垂直时所成的角为 ；直线在平面内或与平面平行时所成的角为 。 39 知识总结｜考点14·（三）平面与平面所成的角（二面角） 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。 定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 结论：二面角的平面角 的取值范围是 。 特别地：平面角是直角的二面角叫做直二面角；一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 40 知识总结｜考点14·（四）距离 定义：点到平面的距离，是该点到平面的垂线段的长度。 定义：直线与平行平面间的距离，是这条直线上任意一点到该平面的距离。 定义：两条平行直线间的距离，是其中一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长。 定义：两个平行平面间的距离，是其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离。 41 知识总结｜考点15·（一）等差中项的定义与公式 定义：若三个数 、、 组成等差数列，则 叫做 与 的等差中项。 公式：，即 。 结论：任意两个数都有且只有一个等差中项。 42 知识总结｜考点15·（二）等差中项的应用 结论：在等差数列 中， 是 与 的等差中项，即 。 结论：若 （），则 。 方法：证明一个数列是等差数列，可用 （）恒成立来判断。 43 知识总结｜考点16·（一）等比中项的定义与公式 定义：如果三个数 、、 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项。 公式：，即 （要求 ）。 结论：同号且都不为 0 的两个数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数；异号的两个数没有等比中项。 44 知识总结｜考点16·（二）等比中项的应用 结论：在等比数列 中， 是 与 的等比中项，即 。 结论：若 （），则 。 注意：等比中项有两个，求值时要注意符号可能出现两种情况。 45 知识总结｜考点17·（一）向量的夹角 定义：已知两个非零向量 、，作 ，，则 叫做向量 与 的夹角，记作 。 结论：夹角的取值范围是 。 特别地：夹角为 时两向量同向；夹角为 时两向量反向；夹角为 时称 与 垂直，记作 。 注意：零向量与任何向量的夹角没有意义，只有两个非零向量才能谈夹角。 46 知识总结｜考点17·（二）夹角与数量积 公式：。 公式：。 公式（坐标表示）：设 ，，则 。 结论：由 的符号可以判断夹角的大小—— 为锐角， 为直角， 为钝角。 47 知识总结｜考点18·（一）两个计数原理 定义（分类计数原理，加法原理）：完成一件事有 类方案，第 1 类有 种方法，......，第 类有 种方法，则完成这件事共有 种不同的方法。 定义（分步计数原理，乘法原理）：完成一件事需要 个步骤，做第 1 步有 种方法，......，做第 步有 种方法，则完成这件事共有 种不同的方法。 注意：分类用加法，分步用乘法；分类要做到不重不漏，分步要保证每一步都完成后才做完这件事。 48 知识总结｜考点18·（二）排列与排列数 定义：从 个不同元素中取出 （）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列。 公式：排列数 。 公式（全排列）：；规定 。 注意：排列与元素的顺序有关。 49 知识总结｜考点18·（三）组合与组合数 定义：从 个不同元素中取出 （）个元素合成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。 公式：组合数 ；规定 。 性质：；。 方法：与顺序有关的问题用排列，与顺序无关的问题用组合。 50 知识总结｜考点19·（一）二项式定理 公式：（）。 公式（通项）：（）。 结论：二项展开式共有 项；每一项中 与 的指数之和都等于 ； 按降幂排列， 按升幂排列。 注意：二项式系数与项的系数不同，二项式系数只与组合数有关，项的系数还要乘上字母前面的数字因数。 51 知识总结｜考点19·（二）二项式系数的性质 性质（对称性）：。 性质：各二项式系数之和 。 性质：奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，都等于 。 性质：二项式系数先增后减，中间项最大—— 为偶数时中间一项最大， 为奇数时中间两项最大且相等。 52 知识总结｜考点20·（一）随机试验与样本空间 定义：可以在相同条件下重复进行，每次试验的可能结果不止一个、且试验前不能确定哪一个结果会出现，所有可能的结果事先已知的试验，叫做随机试验。 定义：随机试验的每一个可能结果叫做样本点；全体样本点组成的集合叫做样本空间，记作 。 定义：样本空间的子集叫做随机事件； 叫做必然事件， 叫做不可能事件。 53 知识总结｜考点20·（二）频率与概率的关系 公式：在 次试验中事件 发生了 次，则事件 发生的频率 。 结论：频率是随机的，会上下波动；概率是一个确定的常数。 结论：随着试验次数的增加，频率会稳定在某个常数附近，这个稳定值就是事件 的概率，记作 。 结论：概率的取值范围是 ；必然事件的概率 ，不可能事件的概率 。 54 知识总结｜考点21·（一）互斥事件与对立事件 定义：事件 与 不可能同时发生，即 ，则称事件 与 互斥（也叫互不相容）。 定义：事件 与 必有一个发生，且不会同时发生，即 且 ，则称事件 与 互为对立事件， 的对立事件记作 。 结论：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 55 知识总结｜考点21·（二）概率的加法公式 公式：若事件 与 互斥，则 。 公式：对立事件的概率 。 公式：若 两两互斥，则 。 方法：含“至少”“至多”的问题，常先求其对立事件的概率，再用 求解。 56 知识总结｜考点22·（一）三种抽样方法 定义（简单随机抽样）：逐个不放回地抽取，每个个体被抽到的机会相等，常用抽签法和随机数法，适用于总体容量较小的情况。 定义（系统抽样）：把总体编号后按固定的间隔抽取，步骤是编号 → 分段（间隔 ）→ 在第一段用简单随机抽样确定起始号 → 按间隔依次抽取，适用于总体容量较大的情况。 定义（分层抽样）：当总体由差异明显的几部分组成时，按各部分在总体中所占的比例进行抽取。 公式：若总体容量为 、样本容量为 、某层有 个个体，则该层应抽取 个个体。 57 知识总结｜考点22·（二）共同点与选用方法 结论：三种抽样方法中，每一个个体被抽到的机会都相等（等可能性），都是不放回抽样。 方法：总体容量小时用简单随机抽样，总体容量大时用系统抽样，总体差异明显时用分层抽样。 注意：系统抽样中若 不是整数，应先随机剔除几个个体，再用等距抽样。 58 知识总结｜考点23·（一）常见统计图表 结论（折线图）：反映数据随时间（或顺序）变化的趋势。 结论（茎叶图）：保留原始数据，便于看出数据的分布与集中情况；“茎”表示高位数字，“叶”表示低位数字。 结论（柱形图）：直观比较各类别数量的多少。 结论（扇形图）：反映各部分数量占总数量的百分比。 59 知识总结｜考点23·（二）频率分布直方图 公式：横轴表示样本数据（分组），纵轴表示 ；每个小矩形的面积等于该组的频率，各小矩形面积之和等于 1。 公式：频率＝小矩形面积＝；频数＝频率×样本容量。 方法：由直方图求数字特征——众数取最高矩形中点的横坐标；中位数使左右两边的面积各为 0.5；平均数取各组中点值乘以对应频率后求和。 注意：直方图的纵轴是 ，不是频率。 60 知识总结｜考点24·（一）样本均值、方差与标准差 公式：样本均值 。 公式：样本方差 。 公式（简算）：。 公式：标准差 。 61 知识总结｜考点24·（二）用样本估计总体 结论：方差、标准差越大，数据的波动越大、越不稳定；越小说明数据越稳定、越集中。 方法：用样本均值估计总体均值，用样本方差（或标准差）估计总体方差（或标准差）。 结论：样本容量越大，样本对总体的估计越准确。 62 知识总结｜考点25·（一）离散型随机变量与分布列 定义：随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，常用 、、、 等表示。 定义：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量。 定义：设离散型随机变量 所有可能取的值为 ，且 ，则称这样的表为 的概率分布列，简称分布列。 性质：（）；。 63 知识总结｜考点25·（二）数学期望与方差 公式：，它反映随机变量取值的平均水平。 公式：。 公式（简算）：。 公式：若 ，则 ，。 公式：若 服从两点分布（成功概率为 ），则 ，。 结论： 叫做随机变量 的标准差。 64 知识总结｜考点26·（一）相互独立事件 定义：设 、 是两个事件，如果 ，则称事件 与 相互独立。 结论：若 与 相互独立，则 与 、 与 、 与 也都相互独立。 65 知识总结｜考点26·（二）n 次独立重复试验 定义：在相同条件下重复进行的 次试验叫做 次独立重复试验。 注意： 次独立重复试验须同时满足——每次试验只有 与 两种结果，各次试验相互独立，事件 在每次试验中发生的概率相同。 66 知识总结｜考点26·（三）二项分布 公式：（）。 定义：在 次独立重复试验中，用 表示事件 发生的次数（每次发生的概率为 ），若 如上式，则称 服从二项分布，记作 。 公式：若 ，则 ，。 方法：判断随机变量是否服从二项分布，看试验能否在相同条件下独立重复进行、每次试验是否只有两个可能结果、事件 在每次试验中发生的概率是否相同。 67 知识总结｜考点27·（一）概率密度曲线 定义：描述连续型随机变量的曲线叫做概率密度曲线，曲线与 轴之间的面积表示概率，曲线与 轴之间的总面积等于 1。 68 知识总结｜考点27·（二）正态分布与正态曲线的性质 定义：若随机变量 的概率密度曲线是一条正态曲线，则称 服从正态分布，记作 ，其中 为均值，（）为标准差。 性质：曲线位于 轴上方，与 轴不相交；曲线是单峰的，关于直线 对称；曲线在 处达到峰值。 性质：曲线与 轴之间的总面积等于 1。 性质： 一定时，曲线随 的变化沿 轴平移； 一定时， 越小曲线越“瘦高”（分布越集中）， 越大曲线越“矮胖”（分布越分散）。 69 知识总结｜考点27·（三）特殊区间与 3σ 原则 公式：；；。 结论（3σ 原则）：正态总体几乎总取值于区间 之内，落在该区间之外的概率只有约 0.0027，通常认为在一次试验中几乎不可能发生。 特别地：当 、 时的正态分布叫做标准正态分布，记作 。 70 知识总结｜考点28·（一）相关关系与散点图 定义：两个变量之间存在的不确定的依赖关系叫做相关关系（区别于确定的函数关系）。 方法：把成对的数据画在平面直角坐标系中所得到的图形叫做散点图，用来观察两个变量之间的相关关系。 结论：一个变量增大时另一个变量也呈增大趋势，称为正相关；一个变量增大时另一个变量呈减小趋势，称为负相关。 71 知识总结｜考点28·（二）回归直线方程 公式： 对 的回归直线方程（也叫经验回归方程）为 。 公式：；。 性质：回归直线一定经过样本中心点 。 性质：回归直线的单调性由 的符号决定， 时 随 的增大而增大； 的实际意义是 每增大 1 个单位， 平均增大（或减小） 个单位。 72 知识总结｜考点28·（三）相关系数 公式：。 公式：相关系数 的取值范围是 ，即 。 结论： 越接近 1，两个变量的线性相关程度越强； 越接近 0，线性相关程度越弱。 结论： 时两个变量正相关， 时两个变量负相关。 73 $