【2027新考纲】概率与统计初步-广西高等职业教育考试数学新增考点《背诵清单》

【2027新考纲】 概率统计 广西高等职业教育考试数学新增考点《背诵清单》 1 知识总结｜考点18·（一）两个计数原理 定义（分类计数原理，加法原理）：完成一件事有 类方案，第 1 类有 种方法，......，第 类有 种方法，则完成这件事共有 种不同的方法。 定义（分步计数原理，乘法原理）：完成一件事需要 个步骤，做第 1 步有 种方法，......，做第 步有 种方法，则完成这件事共有 种不同的方法。 注意：分类用加法，分步用乘法；分类要做到不重不漏，分步要保证每一步都完成后才做完这件事。 48 知识总结｜考点18·（二）排列与排列数 定义：从 个不同元素中取出 （）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列。 公式：排列数 。 公式（全排列）：；规定 。 注意：排列与元素的顺序有关。 49 知识总结｜考点18·（三）组合与组合数 定义：从 个不同元素中取出 （）个元素合成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。 公式：组合数 ；规定 。 性质：；。 方法：与顺序有关的问题用排列，与顺序无关的问题用组合。 50 知识总结｜考点19·（一）二项式定理 公式：（）。 公式（通项）：（）。 结论：二项展开式共有 项；每一项中 与 的指数之和都等于 ； 按降幂排列， 按升幂排列。 注意：二项式系数与项的系数不同，二项式系数只与组合数有关，项的系数还要乘上字母前面的数字因数。 51 知识总结｜考点19·（二）二项式系数的性质 性质（对称性）：。 性质：各二项式系数之和 。 性质：奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，都等于 。 性质：二项式系数先增后减，中间项最大—— 为偶数时中间一项最大， 为奇数时中间两项最大且相等。 52 知识总结｜考点20·（一）随机试验与样本空间 定义：可以在相同条件下重复进行，每次试验的可能结果不止一个、且试验前不能确定哪一个结果会出现，所有可能的结果事先已知的试验，叫做随机试验。 定义：随机试验的每一个可能结果叫做样本点；全体样本点组成的集合叫做样本空间，记作 。 定义：样本空间的子集叫做随机事件； 叫做必然事件， 叫做不可能事件。 53 知识总结｜考点20·（二）频率与概率的关系 公式：在 次试验中事件 发生了 次，则事件 发生的频率 。 结论：频率是随机的，会上下波动；概率是一个确定的常数。 结论：随着试验次数的增加，频率会稳定在某个常数附近，这个稳定值就是事件 的概率，记作 。 结论：概率的取值范围是 ；必然事件的概率 ，不可能事件的概率 。 54 知识总结｜考点21·（一）互斥事件与对立事件 定义：事件 与 不可能同时发生，即 ，则称事件 与 互斥（也叫互不相容）。 定义：事件 与 必有一个发生，且不会同时发生，即 且 ，则称事件 与 互为对立事件， 的对立事件记作 。 结论：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 55 知识总结｜考点21·（二）概率的加法公式 公式：若事件 与 互斥，则 。 公式：对立事件的概率 。 公式：若 两两互斥，则 。 方法：含“至少”“至多”的问题，常先求其对立事件的概率，再用 求解。 56 知识总结｜考点22·（一）三种抽样方法 定义（简单随机抽样）：逐个不放回地抽取，每个个体被抽到的机会相等，常用抽签法和随机数法，适用于总体容量较小的情况。 定义（系统抽样）：把总体编号后按固定的间隔抽取，步骤是编号 → 分段（间隔 ）→ 在第一段用简单随机抽样确定起始号 → 按间隔依次抽取，适用于总体容量较大的情况。 定义（分层抽样）：当总体由差异明显的几部分组成时，按各部分在总体中所占的比例进行抽取。 公式：若总体容量为 、样本容量为 、某层有 个个体，则该层应抽取 个个体。 57 知识总结｜考点22·（二）共同点与选用方法 结论：三种抽样方法中，每一个个体被抽到的机会都相等（等可能性），都是不放回抽样。 方法：总体容量小时用简单随机抽样，总体容量大时用系统抽样，总体差异明显时用分层抽样。 注意：系统抽样中若 不是整数，应先随机剔除几个个体，再用等距抽样。 58 知识总结｜考点23·（一）常见统计图表 结论（折线图）：反映数据随时间（或顺序）变化的趋势。 结论（茎叶图）：保留原始数据，便于看出数据的分布与集中情况；“茎”表示高位数字，“叶”表示低位数字。 结论（柱形图）：直观比较各类别数量的多少。 结论（扇形图）：反映各部分数量占总数量的百分比。 59 知识总结｜考点23·（二）频率分布直方图 公式：横轴表示样本数据（分组），纵轴表示 ；每个小矩形的面积等于该组的频率，各小矩形面积之和等于 1。 公式：频率＝小矩形面积＝；频数＝频率×样本容量。 方法：由直方图求数字特征——众数取最高矩形中点的横坐标；中位数使左右两边的面积各为 0.5；平均数取各组中点值乘以对应频率后求和。 注意：直方图的纵轴是 ，不是频率。 60 知识总结｜考点24·（一）样本均值、方差与标准差 公式：样本均值 。 公式：样本方差 。 公式（简算）：。 公式：标准差 。 61 知识总结｜考点24·（二）用样本估计总体 结论：方差、标准差越大，数据的波动越大、越不稳定；越小说明数据越稳定、越集中。 方法：用样本均值估计总体均值，用样本方差（或标准差）估计总体方差（或标准差）。 结论：样本容量越大，样本对总体的估计越准确。 62 知识总结｜考点25·（一）离散型随机变量与分布列 定义：随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，常用 、、、 等表示。 定义：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量。 定义：设离散型随机变量 所有可能取的值为 ，且 ，则称这样的表为 的概率分布列，简称分布列。 性质：（）；。 63 知识总结｜考点25·（二）数学期望与方差 公式：，它反映随机变量取值的平均水平。 公式：。 公式（简算）：。 公式：若 ，则 ，。 公式：若 服从两点分布（成功概率为 ），则 ，。 结论： 叫做随机变量 的标准差。 64 知识总结｜考点26·（一）相互独立事件 定义：设 、 是两个事件，如果 ，则称事件 与 相互独立。 结论：若 与 相互独立，则 与 、 与 、 与 也都相互独立。 65 知识总结｜考点26·（二）n 次独立重复试验 定义：在相同条件下重复进行的 次试验叫做 次独立重复试验。 注意： 次独立重复试验须同时满足——每次试验只有 与 两种结果，各次试验相互独立，事件 在每次试验中发生的概率相同。 66 知识总结｜考点26·（三）二项分布 公式：（）。 定义：在 次独立重复试验中，用 表示事件 发生的次数（每次发生的概率为 ），若 如上式，则称 服从二项分布，记作 。 公式：若 ，则 ，。 方法：判断随机变量是否服从二项分布，看试验能否在相同条件下独立重复进行、每次试验是否只有两个可能结果、事件 在每次试验中发生的概率是否相同。 67 知识总结｜考点27·（一）概率密度曲线 定义：描述连续型随机变量的曲线叫做概率密度曲线，曲线与 轴之间的面积表示概率，曲线与 轴之间的总面积等于 1。 68 知识总结｜考点27·（二）正态分布与正态曲线的性质 定义：若随机变量 的概率密度曲线是一条正态曲线，则称 服从正态分布，记作 ，其中 为均值，（）为标准差。 性质：曲线位于 轴上方，与 轴不相交；曲线是单峰的，关于直线 对称；曲线在 处达到峰值。 性质：曲线与 轴之间的总面积等于 1。 性质： 一定时，曲线随 的变化沿 轴平移； 一定时， 越小曲线越“瘦高”（分布越集中）， 越大曲线越“矮胖”（分布越分散）。 69 知识总结｜考点27·（三）特殊区间与 3σ 原则 公式：；；。 结论（3σ 原则）：正态总体几乎总取值于区间 之内，落在该区间之外的概率只有约 0.0027，通常认为在一次试验中几乎不可能发生。 特别地：当 、 时的正态分布叫做标准正态分布，记作 。 70 知识总结｜考点28·（一）相关关系与散点图 定义：两个变量之间存在的不确定的依赖关系叫做相关关系（区别于确定的函数关系）。 方法：把成对的数据画在平面直角坐标系中所得到的图形叫做散点图，用来观察两个变量之间的相关关系。 结论：一个变量增大时另一个变量也呈增大趋势，称为正相关；一个变量增大时另一个变量呈减小趋势，称为负相关。 71 知识总结｜考点28·（二）回归直线方程 公式： 对 的回归直线方程（也叫经验回归方程）为 。 公式：；。 性质：回归直线一定经过样本中心点 。 性质：回归直线的单调性由 的符号决定， 时 随 的增大而增大； 的实际意义是 每增大 1 个单位， 平均增大（或减小） 个单位。 72 知识总结｜考点28·（三）相关系数 公式：。 公式：相关系数 的取值范围是 ，即 。 结论： 越接近 1，两个变量的线性相关程度越强； 越接近 0，线性相关程度越弱。 结论： 时两个变量正相关， 时两个变量负相关。 73 $