专题01 丰富的图形世界（知识&考点&公式&5高频&3易错&4重难&7模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材北师大版

专题01 丰富的图形世界 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 常见几何体的认识 几何体 特征描述 生活实例 圆柱 上下两个底面是全等的_________，侧面是曲面 水杯、易拉罐、电线杆 圆锥 底面是_____，侧面是______，有______个顶点 冰淇淋蛋筒、漏斗、金字塔（近似） 正方体 6个面都是全等的_________，12条棱都相等 魔方、骰子、粉笔盒 长方体 6个面都是_________（可能有两个相对面是正方形） 书本、文具盒、砖头 棱柱 有两个互相平行且全等的底面，侧面都是平行四边形 笔筒、三棱镜、楼房（近似） 球 整个表面是曲面，没有平面 篮球、足球、乒乓球 组合几何体：很多物体由多个基本几何体组合而成，如蒙古包（圆柱+圆锥）、古塔（棱柱+圆锥顶）。 知识点02 棱柱的有关概念与特征 基本概念： · 棱：相邻两个面的交线叫做_________ · 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做_________ 棱柱的特征： 1. 所有侧棱长都_________ 1. 上、下底面的形状相同（全等的多边形） 1. 侧面的形状都是_________ 1. 按底面边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……n棱柱 1. 长方体、正方体都是_________棱柱 直棱柱与斜棱柱： · 直棱柱：侧面是_________（本书主要讨论直棱柱） · 斜棱柱：侧面是平行四边形（不是长方形） n棱柱的数量关系： 名称 面数 顶点数 棱数 侧棱数 三棱柱 5 6 9 3 四棱柱 6 8 12 4 五棱柱 7 10 15 5 六棱柱 8 12 18 6 n棱柱 n+2 2n 3n n 知识点03 点、线、面、体之间的关系 静态构成关系： · 图形是由_________、_________、_________构成的 · 面与面相交得到_________ · 线与线相交得到_________ 动态运动关系： · 点动成线：流星划过天空、雨丝、笔尖画线 · 线动成面：汽车雨刮器摆动、刷子刷墙、电风扇扇叶转动 · 面动成体：旋转门、长方形绕一边旋转成圆柱 面旋转成体： 平面图形 旋转轴 旋转得到的几何体 长方形 绕一边所在直线 圆柱 直角三角形 绕一条直角边所在直线 圆锥 半圆 绕直径所在直线 球 梯形（直角梯形） 绕垂直于底的腰 圆台 知识点04 展开与折叠 正方体的展开图： · 正方体有11种不同的展开图 · 四种基本类型： · "一四一"型：中间_________个面，上下各_________个面（6种） · "二三一"型：中间_________个面，上_________下_________（3种） · "三三"型：各3个面错开相连（1种） · "二二二"型：阶梯状（1种） · 判断技巧： · 相对的面不相邻，中间间隔一个正方形 · 出现"_________"字形、"_________"字形的一定不是正方体展开图 棱柱的展开图： · 由2个全等的多边形底面 + n个长方形侧面组成 · 侧面长方形的个数 = 底面多边形的边数 圆柱的展开图： · 侧面展开图是_________ · 长方形的长 = 圆柱底面圆的周长 · 长方形的宽 = 圆柱的高 圆锥的展开图： · 侧面展开图是_________ · 扇形的半径 = 圆锥的母线长 知识点05 截一个几何体（截面） 截面的定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。 常见几何体的截面形状： 几何体 可能的截面形状 说明 正方体 _________、_________（正方形/长方形/梯形）、_________、_________ 截面边数最多=6（因为正方体有6个面） 圆柱 _________、_________、_________ 平行于底面截→圆；垂直于底面截→长方形 圆锥 _________、_________、_________ 平行于底面截→圆；沿顶点垂直截→等腰三角形 球 _________ 无论怎么截，截面都是圆 正方体截面要点： · 截面三角形只能是锐角三角形（可能是等腰/等边三角形） · 截面边数最多为6，不可能是七边形或更多 · 截面是四边形时，可以是正方形、长方形、菱形、梯形 知识点06 从三个方向看物体的形状（三视图） 三个观察方向： · 从正面看（主视图）：反映物体的_________和_________ · 从左面看（左视图）：反映物体的_________和_________ · 从上面看（俯视图）：反映物体的_________和_________ 由小立方块搭成的几何体： · 俯视图中的数字表示该位置小立方块的个数 · 由俯视图+数字 → 还原主视图和左视图 · 主视图：列数 = 俯视图列数，每列高度 = 该列最大数字 · 左视图：列数 = 俯视图行数，每列高度 = 该行最大数字 考点01 几何体的识别与分类 考查形式：给出生活中的物体图片，判断类似于哪种几何体；或给一组几何体分类。 分类标准： 1. 按柱体、锥体、球体分： · 柱体：_________、_________（正方体、长方体都是四棱柱） · 锥体：_________、_________ · 球体：_________ 1. 按组成面的平或曲分： · 全是平面：正方体、长方体、棱柱 · 有曲面：圆柱（侧面曲面）、圆锥（侧面曲面）、球（全曲面） 1. 按有无顶点分： · 有顶点：圆锥、棱柱、正方体 · 无顶点：球、圆柱 解题技巧：先回忆每种几何体的特征，再逐一比对。 考点02 棱柱的棱数、面数、顶点数计算 考查形式：已知是几棱柱，求面数/顶点数/棱数；或已知棱数反推是几棱柱。 核心公式： · n棱柱：面数 =_________，顶点数 = _________，棱数 = _________ 典型例题： · 六棱柱有几个面？几个顶点？几条棱？ · 面数 = 6+2 = 8个 · 顶点数 = 2×6 = 12个 · 棱数 = 3×6 = 18条 · 一个棱柱有18条棱，它是几棱柱？ · 3n = 18 → n = 6 → 六棱柱 考点03 点线面体的动态关系（旋转成体） 考查形式：给出平面图形，判断绕轴旋转后得到什么几何体；或反过来。 必背对应关系： · 长方形绕一边 → _________ · 直角三角形绕直角边 → _________ · 半圆绕直径 → _________ 易错点：长方形绕不同的边旋转，得到的圆柱大小不同（底面半径和高互换）。 考点04 正方体的展开与折叠（高频考点） 考查形式： 1. 判断给出的图形是不是正方体展开图 1. 展开图中找相对的面 1. 折叠后判断各个面的位置关系 解题技巧： 1. 排除法：出现"_________"字格、"_________"字形、"_________"字形的一定不是 1. 相对面判断： · 同行同列隔一个正方形的两个面是_________面 · "Z"字形两端的面是_________面 1. 动手想象：在脑海中模拟折叠过程 必记结论： · 正方体有11种展开图 · 相对面不相邻，相邻面不相对 考点05 截面形状的判断 考查形式：给出几何体和截面方向，判断截面形状；或给出截面形状，反推可能是什么几何体。 解题技巧： · 截面的边数 = 平面与几何体几个面相交 · 正方体最多6个面相交 → 截面最多六边形 · 平行于底面截柱体 → 截面与底面形状相同 · 过顶点截圆锥 → 三角形 典型考法： · 用平面截正方体，截面不可能是？（七边形/圆） · 截面是圆，原来的几何体可能是？（圆柱/圆锥/球） 考点06 三视图的判断与还原（难点） 考查形式： 1. 给出几何体，画出三视图 1. 给出俯视图+数字，画主视图和左视图 1. 给出三视图，判断最少/最多需要几个小立方块 解题步骤： 1. 看俯视图定位置：先确定底层有几个小立方块，分布在哪里 1. 看数字定层数：俯视图上的数字表示该位置有几层 1. 画主视图：从前往后看，每列最高几层就画几个正方形 1. 画左视图：从左往右看，每行最高几层就画几个正方形 序号 公式/结论 说明 1 n棱柱的面数 = n + 2 2个底面 + n个侧面 2 n棱柱的顶点数 = 2n 上底面n个 + 下底面n个 3 n棱柱的棱数 = 3n n条侧棱 + 上下底面各n条 4 n棱柱的侧棱数 = n 侧面之间的交线 5 正方体展开图共11种 一四一型6种、二三一型3种、三三型1种、二二二型1种 6 圆柱侧面展开图是长方形 长=底面圆周长，宽=圆柱的高 7 圆锥侧面展开图是扇形 扇形半径=圆锥母线长 8 正方体截面最多是六边形 正方体共6个面，最多与6个面相交 辨析01 棱柱与圆柱的相关概念辨析 对比项 棱柱 圆柱 底面形状 多边形（三角形、四边形等） 圆 侧面 平面（长方形/平行四边形） 曲面 棱/侧棱 有棱，侧棱是直线 没有棱，侧面是光滑曲面 相同点 都有两个互相平行且全等的底面；都属于柱体 辨析02 直棱柱与斜棱柱的相关概念辨析 对比项 直棱柱 斜棱柱 侧面形状 长方形 平行四边形（非长方形） 侧棱与底面关系 垂直 不垂直 教材要求 本书主要讨论直棱柱 了解即可 辨析03 正方体展开图的"是"与"非" 类型 举例 是否是正方体展开图 "一四一"型 中间4个，上下各1个 ✅ 是 "二三一"型 上2、中3、下1，错开 ✅ 是 "三三"型 两行各3个，错开相连 ✅ 是 "二二二"型 阶梯状排列 ✅ 是 "田"字形 四个小正方形组成田字 ❌ 不是 "凹"字形 中间凹进去一块 ❌ 不是 "7"字形 像数字7的形状 ❌ 不是 五个面一排 一条线上有5个正方形 ❌ 不是 辨析04 截面形状判断易错 几何体 截面形状 易错提醒 正方体 三角形 ✅ 可以，但只能是锐角三角形 正方体 四边形 ✅ 可以（正方形/长方形/梯形） 正方体 五边形 ✅ 可以 正方体 六边形 ✅ 可以（最多了！） 正方体 七边形 ❌ 不可能（只有6个面） 正方体 圆 ❌ 不可能（全是平面） 圆柱 圆 ✅ 平行于底面截 圆柱 长方形 ✅ 垂直于底面截 圆锥 三角形 ✅ 沿顶点垂直截 球 圆 ✅ 怎么截都是圆 辨析05 三视图方向判定 视图名称 观察方向 反映的数据 主视图 从正面看（前面→后面） 长 + 高 左视图 从左面看（左面→右面） 宽 + 高 【题型一】点、线、面、体四者之间的关系 【例1-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在《西游记》中，齐天大圣转动金箍棒，在转速特别快时，形状近似一个圆盘，能说明这个现象的数学原理是（    ） A．点动成线 B．点动成面 C．线动成面 D．面动成体 【例1-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．汽车雨刷在挡风玻璃上划出的痕迹 C．扔出的一块小石子在空中飞行的路线 D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）九三阅兵中，飞机飞行时，飞机尾部的彩烟被气流快速拉长，形成细长的火焰状轨迹，这种现象可以用数学原理解释为点动成线；打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为________． 【变式1-2】（25-26七年级上·广东深圳·期中）学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为______． 【题型二】立体图形的分类 【例2-1】（25-26九年级下·江西景德镇·期中）如图：有A，B，C三种三角形木板，小美想将其拼接成三棱锥，以下说法正确的是（  ） A．用1块A与3块B可拼成正三棱锥 B．用1块A与3块C可拼成正三棱锥 C．用2块A与2块C可拼成三棱锥 D．用2块B与2块C可拼成三棱锥 【例2-2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列几何体中，是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-2】（25-26七年级上·河南焦作·阶段检测）如图是一个雕刻有花纹的门墩，用数学的眼光可将它看成（    ） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．圆锥 【题型三】平面图形旋转后所得的立体图形 【例3-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）图形绕虚线旋转一周得到的几何体是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图所示的是悦悦书房的笔筒，把下列图形绕直线旋转一周，能大致形成这个笔筒的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）将下列图形绕虚线旋转一周能得到如图几何体的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是开封博物馆的藏品：乾隆松石绿粉彩朵花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状的是（   ） A． B． C． D． 【题型四】从不同方向看几何体 【例4-1】（25-26七年级下·云南昆明·期中）下列几何体中，从左面看到的图形是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图所示是几个小正方体所搭几何体的从上面看的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体从正面看的形状图是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形分别从上面、左面看到的形状，那么构成这个立体图形的小正方体最多有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式4-2】（25-26六年级上·山东淄博·期中）从正面、左面、上面看一个几何体得到的三种形状都是同一张图，如图所示．那么在从上面看该几何体得到的形状图的小正方形中写上该位置的小立方块的个数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型五】几何体展开图的认识 【例5-1】（25-26七年级上·广东佛山·期中）下列图形中，不是三棱柱的表面展开图是（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26七年级上·广东汕头·期中）下列图形中，能折成棱柱的有（   ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-1】（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是______．    【变式5-2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某几何体表面的展开图形如“贪吃鱼”，则这个几何体的名称是_______． 【题型一】几何体截面问题 【例1】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，往一个密封的正方体玻璃容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．三角形 B．五边形 C．梯形 D．七边形 易错警示 · 截面多边形的边 = 平面与几何体每个相交面的交线 · n面体被平面所截，截面边数最多为n（如正方体最多截出六边形） · 截面是平面图形，所有顶点都必须落在几何体的棱上 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为（   ） ①圆锥；②圆柱；③长方体；④正三棱柱 A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．①② 【变式1-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，往一个有盖的长方体水杯中持续注入一些水，注水的过程中，可盖上盖子将水杯任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．七边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【变式1-3】（25-26七年级上·山东淄博·期中）给出以下四个几何体：①球；②圆锥；③圆柱；④三棱柱．其中能用平面截出圆的几何体共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型二】正方体几种展开图的识别 【例2】（25-26七年级上·广东梅州·期中）下列图形中，是正方体表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 易错警示 正方体共11种展开图，分四类： · "一四一"型（6种）：中间4个面，上下各1个面，上下位置可任意 · "二三一"型（3种）：中间3个面，上面2个面，下面1个面 · "二二二"型（1种）：阶梯状，每层2个面，逐层错开 · "三三"型（1种）：两行各3个面，只有中间一格相连 【变式2-1】（25-26七年级上·广东河源·期中）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）沿某些棱剪开一个正方体纸盒，得到的形状图可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型三】含图案或字的正方体的展开图 【例3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列哪一个展开图折叠起来可以形成图中的立方体?（   ） A． B． C． D． 易错警示 · 折叠时，相邻面的图案方向会发生旋转，不是原样照搬 · 一个面绕公共棱旋转90°折成立方体，图案方向也跟着转90° · 带箭头、带方向的图案，一定要动手模拟折叠后箭头指向哪里 · 先把所有面编号，再用"相间/Z端"法逐对找出3组对面 · 检查方法：三组对面必须把6个面全部用完，不能有遗漏也不能重复 · 题目问"两个带图案的面是什么关系"，先判对面再判相邻 【变式3-1】（25-26七年级上·贵州毕节·期中）如图，把正方体沿某些棱剪开，得到的展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）在学校的倡导下，同学们积极投入我市开展创造“全国文明城市”活动中，为此小萌同学特别设计了一个正方体，其展开图如图所示，则“文”在正方体中所对的字是________． 【变式3-3】（25-26七年级上·宁夏银川·期中）如图是一个正方体骰子的表面展开图，当它折成正方体时，相对面上1点对____点，2点对___点，3点对____点． 【题型一】由展开图计算几何体的表面积与体积 【例1-1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）七年级数学活动课上，“探究小组”利用一个长为，宽为的长方形纸板制作长方体纸盒，如图是纸盒的平面展开图．请结合图形解决下列问题： (1)小组成员发现，他们剪开后的平面展开图无法拼成长方体，请你帮助他们直接在图中修改，使修改后的平面展开图可以拼成长方体纸盒．若有多余面，则把多余面涂黑；若还缺少，请直接在图中补全． (2)修改后的平面展开图，拼成长方体纸盒的体积为_______，表面积为_______（用含的代数式表示）； (3)当时，制作一个这样的长方体纸盒后，纸板还剩多少？ 【例1-2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：含有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面A在长方体的上面，那么下面是______； (2)从右面看是面C，从上面看是面E，那么前面是______； (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【变式1-1】（25-26七年级上·广东佛山·期中）图①为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图②所示． (1)从图①展开至图②，一共剪开了几条棱？ (2)若被剪开的棱的棱长和为，则这个四棱柱的体积是多少？ 【变式1-2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）如图，是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体是 ． A．正方体；B．长方体；C．三棱柱；D．四棱锥． (2)依据图中数据求该几何体的体积． 【题型二】由三视图计算几何体的表面积与体积 【例1-1】（25-26七年级上·山西太原·期中）用9个大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)请依次画出它从正面、左面、上面三个方向看到的几何体的形状图（不需要标序号①）． (2)将小正方体①移走后，得到一个新的几何体，与原几何体相比，从三个方向看到的形状图没有发生变化的是___________． A．从正面和上面看到的形状图 B．从左面和上面看到的形状图 C．从正面和左面看到的形状图 D．从正面、左面、上面看到的形状图 (3)如果在原几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加___________个小正方体． (4)若小正方体的棱长为，则该几何体的表面积是___________． 【例1-2】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【变式1-1】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． 【变式1-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）请完成下列问题： (1)如图一是用若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体，在下方网格中用粗实线画出这个几何体从它的正面、左面、上面三个方向所看到的平面图形． (2)求（1）问中这个几何体的表面积（包括底面）； (3)如图二是一张长方形纸片，长为4，长为2．将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【题型三】求展开图上两点折叠后的距离 【例2-1】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2-2】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式2-1】（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【题型四】用七巧板拼图形 【例3-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·江西景德镇·期中）七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 【题型一】n棱柱数量关系模型 【模型解读】 遇到"几棱柱有几个面/顶点/棱"的问题时，不要逐个去数，直接用n棱柱的通用公式代入计算。已知棱数反推是几棱柱时，反过来解方程即可。 【结论】 已知 求面数 求顶点数 求棱数 是n棱柱 n + 2 2n 3n 有V个顶点 V/2 + 2 V 3V/2 有E条棱 E/3 + 2 2E/3 E 速记口诀：面两、顶二、棱乘三（面数=n+2，顶点=2n，棱=3n） 【例1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【变式1-1】棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【变式1-2】如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有________个面，________条棱，________个顶点；n棱锥有________个面，________条棱，________个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为________． 【变式1-3】把如图①所示的正方体切去一块，可得到如图②～⑤所示的几何体． (1)所得几何体各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？ (2)举例说明把其他形状的几何体切去一块，得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少； (3)若把几何体的面数记为，棱数记为，顶点数记为，则满足什么关系式？ 【题型二】旋转成体对应模型 【模型解读】 题目给出一个平面图形绕一条直线旋转一周，判断得到什么立体图形；或者反过来，给出一个立体图形，判断是由哪个平面图形旋转得到的。关键是抓住"面动成体"的本质——旋转轴固定，平面图形扫过的空间就是立体图形。 【结论】 平面图形 旋转轴位置 旋转得到的几何体 长方形 绕一条边所在直线 圆柱 直角三角形 绕一条直角边所在直线 圆锥 半圆 绕直径所在直线 球 直角梯形 绕垂直于底的腰 圆台 【例2】如图所示，下列图形绕着虚线旋转一周得到圆锥体的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】将一个梯形以虚线为轴从右向左旋转一周（如图），得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，将下面的三角形绕虚线旋转一周后得到的几何体是（     ） A． B． C． D． 【题型三】正方体展开图"是与非"判断模型 【模型解读】 判断一个图形能不能折成正方体，不需要真的去折，先看有没有"致命结构"，再对照11种基本类型。遇到复杂图形时，用排除法最快。 【结论】 ❌ 一定不是正方体展开图的四种情况： 1. 出现"田"字形（四个小正方形组成2×2方块） 2. 出现"凹"字形（中间凹进去一块） 3. 出现"7"字形拐角 4. 一条直线上有5个或6个正方形 ✅ 一定是正方体展开图的四种类型： 类型 形状描述 种数 一四一型 中间4个一排，上下各1个 6种 二三一型 上2、中3、下1，错开排列 3种 三三型 两行各3个，错开相连 1种 二二二型 阶梯状，每行2个错开 1种 【例3】（25-26七年级上·宁夏·期中）下列图形中是正方体展开图的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列图形中，属于正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【题型四】展开图相对面识别模型 【模型解读】 展开图中找"哪两个面是相对的"，或者折叠后判断"1对面是几"，用两条规则就能搞定，不用真折。 【结论】 规则1：同层隔一面 · 在同一行或同一列中，间隔一个正方形的两个面是相对面 · 例："1 2 3"一排 → 1和3相对（2在中间隔开） 规则2：异层"Z"两端 · 不在同一行的，找"Z"字形的两个端点，它们是相对面 · Z字的中间可以横过来拐，但拐弯处只能是一格 验证口诀：相对面不相邻，相邻面不相对；展开图里隔一个，折叠之后面对面。 【例4】如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“会”字所在的面相对的面上标的字是（     ） A．创 B．和 C．建 D．谐 【变式4-1】“学而不思则罔，思而不学则殆”源自《论语·为政》，是孔子倡导的一种读书与学习的方法．如图，将“学而不思则罔”六个字写在正方体的展开图上，折叠成正方体后，与“不”字相对的面上的字是（     ） A．学 B．思 C．更 D．罔 【变式4-2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）咸阳古城的文创团队设计了印有古城元素的正方体纪念品，其表面展开图印有“建”“设”“美”“丽”“咸”“阳”六个字（如图所示）；在这个正方体中，与“咸”字相对面的汉字是_____． 【变式4-3】在第九届国际非物质文化遗产节上，焦作市的非遗项目西陶舞狮（黄河飞龙）以飞龙在天、灵动飘逸的展演生动呈现出中华龙的精气神韵，将“守”“护”“非”“遗”“瑰”“宝”六个汉字分别写在一个正方体的各个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中、与“守”字所在面相对面上的汉字是______. 【题型五】截面形状判断模型 【模型解读】 判断用一个平面截几何体，截面是什么形状，核心思路是：截面的边数 = 平面与几何体几个面相交。和平面交几个面，截面就是几边形。 【结论】 几何体 截面边数上限 可能的截面形状 不可能的形状 正方体 6（=面数） 三角形、四边形、五边形、六边形 七边形及以上、圆 圆柱 曲面参与时可变 圆、长方形、椭圆 三角形 圆锥 曲面参与时可变 圆、三角形、椭圆 四边形（普通情况） 球 曲面 圆 任何多边形 【例5】平扫是临床常用的影像检查之一，利用射线穿透人体，通过计算机重建出人体断层图像（人体截面的扫描成像）．如图，以下几何体静止放置在水平面上，若分别对这些几何体沿水平方向在不同高度截取3个截面，则同一几何体的3个截面不可能都相同的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式5-1】用一个平面去截一个正方体，截面形状可能是下列图形中的几种：①正方形；②长方形；③三角形；④五边形；⑤六边形；⑥七边形；⑦八边形（     ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式5-2】如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，会出现很多多边形，其中可能出现边数最多的多边形是________． 【变式5-3】如图，用一个平面从不同的角度去截一个正方体，则截面大小、形状相同的是_____．（填序号） 【题型六】三视图小立方块还原模型 【模型解读】 给出俯视图（带数字），画主视图和左视图，或者反过来根据三视图判断最少/最多需要几个小立方块。关键是把俯视图当成"地基"，数字就是"楼层高度"。 【结论】 已知俯视图+数字 → 画主视图： · 主视图的列数 = 俯视图的列数（从左到右） · 主视图每列的高度 = 俯视图该列中最大的数字 已知俯视图+数字 → 画左视图： · 左视图的列数 = 俯视图的行数（从前到后） · 左视图每列的高度 = 俯视图该行中最大的数字 已知主视图+俯视图 → 求最少/最多小立方块数： · 最少个数 = 俯视图每个位置取"该列/行至少有一个达到最大值"，其余位置取1 · 最多个数 = 每个位置都取"该列最大值和该行最大值中的较小值" 【例6】一个几何体由边长为大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图． (2)请求出该几何体的体积和表面积． 【变式6-1】在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体，从上面看到它的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)在图中画出这个几何体从正面、左面与上面看到的形状图，并求这个几何体的体积； (2)如果现在还有一些棱长都为的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加_____ 个小正方体． 【变式6-2】按要求解答下列问题： (1)下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图①：________，图③：________，图②：________． (2)用几个相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． (3)如果保持（2）中几何体从正面、左面看到的形状图都不变，最多可以再添加________个小立方块． 【变式6-3】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 【题型七】展开图剪开棱数模型 【模型解读】 正方体展开成平面图形，需要剪开几条棱？这类问题看起来抽象，用"总棱数 - 相连棱数"的思路就能解。 【结论】 · 正方体共有 12条棱 · 展开后是一个连通的平面图形，6个面连成一体，需要 5条棱相连（n个面连成一串需要n-1条棱相连） · 需要剪开的棱数 = 总棱数 - 相连棱数 = 12 - 5 = 7条 推广到n棱柱： · n棱柱总棱数 = 3n · 展开图相连棱数 = (n+2) - 1 = n+1 · 需要剪开的棱数 = 3n - (n+1) = 2n - 1 【例7】如图，这是某几何体的展开图，则该几何体需要剪开的棱数为（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式7-1】将一个五棱柱的表面沿着某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开（　　）条棱． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式7-2】如图，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形，现要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为（  ） A．36 B．32 C．28 D．24 【变式7-3】如图是一个三棱柱，小明想将这个三棱柱展开成一个平面图形，至少需要剪开棱的条数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 技巧 一句话要点 判定几何体类型——"特征比对法" 先看底面形状（圆/多边形），再看侧面（平/曲），最后数顶点，三步比对定类型。 棱柱数量计算——"n棱柱公式法" 面=n+2、顶=2n、棱=3n；已知棱数反推n，直接用棱数÷3即可。 旋转成体判断——"轴面对应法" 长方形绕边→圆柱，直角三角形绕直角边→圆锥，半圆绕直径→球；先找轴，再想扫过的面。 判断展开图是否为正方体——"田凹7字排除法" 出现"田"字格、"凹"字形、"7"字拐角、一条线5个面，直接排除，不是正方体展开图。 展开图找相对面——"隔一Z端法" 同行同列隔一个正方形是相对面；不在同行的找"Z"字形两端，也是相对面。 判断截面形状——"交面数边法" 截面边数=平面与几个面相交；正方体最多交6个面→最多六边形，有曲面参与必出曲线边。 已知截面反推几何体——"特征匹配法" 截面是圆→圆柱/圆锥/球；截面是三角形→正方体/圆锥/三棱柱；截面是长方形→柱体类。 三视图还原——"俯视图定基法" 俯视图定位置，数字定层数；主视图看列取最大，左视图看行取最大。 小立方块最值计数——"极值假设法" 最少=每列/行只有一处取最大值其余取1；最多=每个位置取列最大与行最大的较小值。 展开图剪开棱数——"总棱减连棱法" 总棱数−展开图相连棱数=剪开棱数；正方体12−5=7条。 圆柱旋转侧面积比较——"侧积不变法" 同一长方形绕长、绕宽旋转，两个圆柱侧面积相等，都等于2π×长×宽。 组合几何体识别——"拆分拆解法" 复杂物体拆成基本几何体（圆柱/圆锥/棱柱/球）的组合，从下往上、从外到内逐层拆。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 丰富的图形世界 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 常见几何体的认识 几何体 特征描述 生活实例 圆柱 上下两个底面是全等的圆，侧面是曲面 水杯、易拉罐、电线杆 圆锥 底面是圆，侧面是曲面，有一个顶点 冰淇淋蛋筒、漏斗、金字塔（近似） 正方体 6个面都是全等的正方形，12条棱都相等 魔方、骰子、粉笔盒 长方体 6个面都是长方形（可能有两个相对面是正方形） 书本、文具盒、砖头 棱柱 有两个互相平行且全等的底面，侧面都是平行四边形 笔筒、三棱镜、楼房（近似） 球 整个表面是曲面，没有平面 篮球、足球、乒乓球 组合几何体：很多物体由多个基本几何体组合而成，如蒙古包（圆柱+圆锥）、古塔（棱柱+圆锥顶）。 知识点02 棱柱的有关概念与特征 基本概念： · 棱：相邻两个面的交线叫做棱 · 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱 棱柱的特征： 1. 所有侧棱长都相等 1. 上、下底面的形状相同（全等的多边形） 1. 侧面的形状都是平行四边形 1. 按底面边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……n棱柱 1. 长方体、正方体都是四棱柱 直棱柱与斜棱柱： · 直棱柱：侧面是长方形（本书主要讨论直棱柱） · 斜棱柱：侧面是平行四边形（不是长方形） n棱柱的数量关系： 名称 面数 顶点数 棱数 侧棱数 三棱柱 5 6 9 3 四棱柱 6 8 12 4 五棱柱 7 10 15 5 六棱柱 8 12 18 6 n棱柱 n+2 2n 3n n 知识点03 点、线、面、体之间的关系 静态构成关系： · 图形是由点、线、面构成的 · 面与面相交得到线 · 线与线相交得到点 动态运动关系： · 点动成线：流星划过天空、雨丝、笔尖画线 · 线动成面：汽车雨刮器摆动、刷子刷墙、电风扇扇叶转动 · 面动成体：旋转门、长方形绕一边旋转成圆柱 面旋转成体： 平面图形 旋转轴 旋转得到的几何体 长方形 绕一边所在直线 圆柱 直角三角形 绕一条直角边所在直线 圆锥 半圆 绕直径所在直线 球 梯形（直角梯形） 绕垂直于底的腰 圆台 知识点04 展开与折叠 正方体的展开图： · 正方体有11种不同的展开图 · 四种基本类型： · "一四一"型：中间4个面，上下各1个面（6种） · "二三一"型：中间3个面，上2下1（3种） · "三三"型：各3个面错开相连（1种） · "二二二"型：阶梯状（1种） · 判断技巧： · 相对的面不相邻，中间间隔一个正方形 · 出现"田"字形、"凹"字形的一定不是正方体展开图 棱柱的展开图： · 由2个全等的多边形底面 + n个长方形侧面组成 · 侧面长方形的个数 = 底面多边形的边数 圆柱的展开图： · 侧面展开图是长方形 · 长方形的长 = 圆柱底面圆的周长 · 长方形的宽 = 圆柱的高 圆锥的展开图： · 侧面展开图是扇形 · 扇形的半径 = 圆锥的母线长 知识点05 截一个几何体（截面） 截面的定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。 常见几何体的截面形状： 几何体 可能的截面形状 说明 正方体 三角形、四边形（正方形/长方形/梯形）、五边形、六边形 截面边数最多=6（因为正方体有6个面） 圆柱 圆、长方形、椭圆 平行于底面截→圆；垂直于底面截→长方形 圆锥 圆、三角形、椭圆 平行于底面截→圆；沿顶点垂直截→等腰三角形 球 圆 无论怎么截，截面都是圆 正方体截面要点： · 截面三角形只能是锐角三角形（可能是等腰/等边三角形） · 截面边数最多为6，不可能是七边形或更多 · 截面是四边形时，可以是正方形、长方形、菱形、梯形 知识点06 从三个方向看物体的形状（三视图） 三个观察方向： · 从正面看（主视图）：反映物体的长和高 · 从左面看（左视图）：反映物体的宽和高 · 从上面看（俯视图）：反映物体的长和宽 由小立方块搭成的几何体： · 俯视图中的数字表示该位置小立方块的个数 · 由俯视图+数字 → 还原主视图和左视图 · 主视图：列数 = 俯视图列数，每列高度 = 该列最大数字 · 左视图：列数 = 俯视图行数，每列高度 = 该行最大数字 考点01 几何体的识别与分类 考查形式：给出生活中的物体图片，判断类似于哪种几何体；或给一组几何体分类。 分类标准： 1. 按柱体、锥体、球体分： · 柱体：圆柱、棱柱（正方体、长方体都是四棱柱） · 锥体：圆锥、棱锥 · 球体：球 1. 按组成面的平或曲分： · 全是平面：正方体、长方体、棱柱 · 有曲面：圆柱（侧面曲面）、圆锥（侧面曲面）、球（全曲面） 1. 按有无顶点分： · 有顶点：圆锥、棱柱、正方体 · 无顶点：球、圆柱 解题技巧：先回忆每种几何体的特征，再逐一比对。 考点02 棱柱的棱数、面数、顶点数计算 考查形式：已知是几棱柱，求面数/顶点数/棱数；或已知棱数反推是几棱柱。 核心公式： · n棱柱：面数 = n+2，顶点数 = 2n，棱数 = 3n 典型例题： · 六棱柱有几个面？几个顶点？几条棱？ · 面数 = 6+2 = 8个 · 顶点数 = 2×6 = 12个 · 棱数 = 3×6 = 18条 · 一个棱柱有18条棱，它是几棱柱？ · 3n = 18 → n = 6 → 六棱柱 考点03 点线面体的动态关系（旋转成体） 考查形式：给出平面图形，判断绕轴旋转后得到什么几何体；或反过来。 必背对应关系： · 长方形绕一边 → 圆柱 · 直角三角形绕直角边 → 圆锥 · 半圆绕直径 → 球 易错点：长方形绕不同的边旋转，得到的圆柱大小不同（底面半径和高互换）。 考点04 正方体的展开与折叠（高频考点） 考查形式： 1. 判断给出的图形是不是正方体展开图 1. 展开图中找相对的面 1. 折叠后判断各个面的位置关系 解题技巧： 1. 排除法：出现"田"字格、"凹"字形、"7"字形的一定不是 1. 相对面判断： · 同行同列隔一个正方形的两个面是相对面 · "Z"字形两端的面是相对面 1. 动手想象：在脑海中模拟折叠过程 必记结论： · 正方体有11种展开图 · 相对面不相邻，相邻面不相对 考点05 截面形状的判断 考查形式：给出几何体和截面方向，判断截面形状；或给出截面形状，反推可能是什么几何体。 解题技巧： · 截面的边数 = 平面与几何体几个面相交 · 正方体最多6个面相交 → 截面最多六边形 · 平行于底面截柱体 → 截面与底面形状相同 · 过顶点截圆锥 → 三角形 典型考法： · 用平面截正方体，截面不可能是？（七边形/圆） · 截面是圆，原来的几何体可能是？（圆柱/圆锥/球） 考点06 三视图的判断与还原（难点） 考查形式： 1. 给出几何体，画出三视图 1. 给出俯视图+数字，画主视图和左视图 1. 给出三视图，判断最少/最多需要几个小立方块 解题步骤： 1. 看俯视图定位置：先确定底层有几个小立方块，分布在哪里 1. 看数字定层数：俯视图上的数字表示该位置有几层 1. 画主视图：从前往后看，每列最高几层就画几个正方形 1. 画左视图：从左往右看，每行最高几层就画几个正方形 序号 公式/结论 说明 1 n棱柱的面数 = n + 2 2个底面 + n个侧面 2 n棱柱的顶点数 = 2n 上底面n个 + 下底面n个 3 n棱柱的棱数 = 3n n条侧棱 + 上下底面各n条 4 n棱柱的侧棱数 = n 侧面之间的交线 5 正方体展开图共11种 一四一型6种、二三一型3种、三三型1种、二二二型1种 6 圆柱侧面展开图是长方形 长=底面圆周长，宽=圆柱的高 7 圆锥侧面展开图是扇形 扇形半径=圆锥母线长 8 正方体截面最多是六边形 正方体共6个面，最多与6个面相交 辨析01 棱柱与圆柱的相关概念辨析 对比项 棱柱 圆柱 底面形状 多边形（三角形、四边形等） 圆 侧面 平面（长方形/平行四边形） 曲面 棱/侧棱 有棱，侧棱是直线 没有棱，侧面是光滑曲面 相同点 都有两个互相平行且全等的底面；都属于柱体 辨析02 直棱柱与斜棱柱的相关概念辨析 对比项 直棱柱 斜棱柱 侧面形状 长方形 平行四边形（非长方形） 侧棱与底面关系 垂直 不垂直 教材要求 本书主要讨论直棱柱 了解即可 辨析03 正方体展开图的"是"与"非" 类型 举例 是否是正方体展开图 "一四一"型 中间4个，上下各1个 ✅ 是 "二三一"型 上2、中3、下1，错开 ✅ 是 "三三"型 两行各3个，错开相连 ✅ 是 "二二二"型 阶梯状排列 ✅ 是 "田"字形 四个小正方形组成田字 ❌ 不是 "凹"字形 中间凹进去一块 ❌ 不是 "7"字形 像数字7的形状 ❌ 不是 五个面一排 一条线上有5个正方形 ❌ 不是 辨析04 截面形状判断易错 几何体 截面形状 易错提醒 正方体 三角形 ✅ 可以，但只能是锐角三角形 正方体 四边形 ✅ 可以（正方形/长方形/梯形） 正方体 五边形 ✅ 可以 正方体 六边形 ✅ 可以（最多了！） 正方体 七边形 ❌ 不可能（只有6个面） 正方体 圆 ❌ 不可能（全是平面） 圆柱 圆 ✅ 平行于底面截 圆柱 长方形 ✅ 垂直于底面截 圆锥 三角形 ✅ 沿顶点垂直截 球 圆 ✅ 怎么截都是圆 辨析05 三视图方向判定 视图名称 观察方向 反映的数据 主视图 从正面看（前面→后面） 长 + 高 左视图 从左面看（左面→右面） 宽 + 高 【题型一】点、线、面、体四者之间的关系 【例1-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在《西游记》中，齐天大圣转动金箍棒，在转速特别快时，形状近似一个圆盘，能说明这个现象的数学原理是（    ） A．点动成线 B．点动成面 C．线动成面 D．面动成体 【答案】C 【分析】本题考查了根据线动成面进行解答即可．金箍棒可视为线段，快速旋转时形成圆盘状平面，体现了线动成面的原理． 【详解】解：∵金箍棒是棒状，近似一条线段，当它绕一端点快速旋转时，线段扫过的区域形成一个圆面， ∴这说明了线动成面的数学原理． 故选：C． 【例1-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．汽车雨刷在挡风玻璃上划出的痕迹 C．扔出的一块小石子在空中飞行的路线 D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键． “面动成体”指平面图形运动形成立体图形，分析各选项，只有D选项中的门旋转时，作为面运动形成体． 【详解】解：A选项流星划过是点动成线，不符合题意； B选项雨刷划痕是线动成面，不符合题意； C选项石子飞行路线是点动成线，不符合题意； D选项门旋转痕迹是面动成体，符合题意； 故选D． 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）九三阅兵中，飞机飞行时，飞机尾部的彩烟被气流快速拉长，形成细长的火焰状轨迹，这种现象可以用数学原理解释为点动成线；打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为________． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了几何变换原理，解题的关键是掌握点移动形成线，线移动形成面． 题干中点动成线为例，折扇中扇骨（线）移动形成扇面（面），故答案为线动成面． 【详解】解：打开折扇时，扇骨移动形成扇面是线动成面的实例， 故答案为：线动成面． 【变式1-2】（25-26七年级上·广东深圳·期中）学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为______． 【答案】线动成面 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，解题的关键是理解“线动成面”的几何原理． 分析画卷展开过程中图形的运动形式，对应“线动成面”的几何概念． 【详解】解：画卷展开时，可看作一条线（画卷的边缘）沿着一定方向移动， 因为线的移动会形成面，这种几何变换称为“线动成面”， 所以这个展开过程用数学知识解释为线动成面． 故答案为：线动成面． 【题型二】立体图形的分类 【例2-1】（25-26九年级下·江西景德镇·期中）如图：有A，B，C三种三角形木板，小美想将其拼接成三棱锥，以下说法正确的是（  ） A．用1块A与3块B可拼成正三棱锥 B．用1块A与3块C可拼成正三棱锥 C．用2块A与2块C可拼成三棱锥 D．用2块B与2块C可拼成三棱锥 【答案】B 【分析】根据相邻面的公共边长度必须相等，才能无缝拼接成封闭的三棱锥，判断即可． 【详解】解：选项A：用1块A作底面，3块B作侧面，不能拼成正三棱锥； 选项B：用1块A作底面，3块C作侧面，可拼成正三棱锥； 选项C：用1块A作底面，2块C和1块A作侧面，不能拼成三棱锥； 选项D：用1块B作底面，2块C和1块B作侧面，不能拼成三棱锥． 【例2-2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列几何体中，是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的特征，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；因此此题可根据棱柱的特征进行求解． 【详解】解：A、是圆柱，故不符合题意； B、是圆锥，故不符合题意； C、是长方体，故符合题意； D、是四棱锥，故不符合题意； 故选C． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查棱柱，掌握相关知识是解决问题的关键．棱柱有两个互相平行且全等的多边形底面，侧面为四边形且相邻边平行，侧棱平行且相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据棱柱的定义第一个图形是四棱柱， 第四个图形是三棱柱， 第五个图形是五棱柱， 而第二个图形是圆柱，第三个图形是圆锥， ∴共有3个棱柱． 故选：B． 【变式2-2】（25-26七年级上·河南焦作·阶段检测）如图是一个雕刻有花纹的门墩，用数学的眼光可将它看成（    ） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．圆锥 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形的认识，根据“门墩”的形状即可解答． 【详解】解：用数学的眼光可以将“门墩”看成棱柱． 故选：A． 【题型三】平面图形旋转后所得的立体图形 【例3-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）图形绕虚线旋转一周得到的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面图形旋转后所得的立体图形．根据面动成体进行解答即可． 【详解】解：由面动成体可知，选项C中的几何体符合题意， 故选：C． 【例3-2】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图所示的是悦悦书房的笔筒，把下列图形绕直线旋转一周，能大致形成这个笔筒的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点、线、面、体，根据“面动成体”进行解答即可，理解“面动成体”是正确解答的关键． 【详解】解：笔筒可以近似看作圆柱体， 选项C中的平面图形绕直线旋转一周，可以得到圆柱体， 故选：C． 【变式3-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）将下列图形绕虚线旋转一周能得到如图几何体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟悉并判断出旋转后的立体图形是解题的关键． 根据面动成体判断出如图所示的图形旋转得到立体图形即可得解． 【详解】解：A中图形旋转后得到圆锥，不符题意； B中图形旋转后得到圆台，不符题意； C中图形旋转后得到半球体，不符题意； D中图形旋转后得到圆柱，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是开封博物馆的藏品：乾隆松石绿粉彩朵花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，根据题干的图形以及旋转的性质，进行作答即可． 【详解】 解：依题意，绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状， 故选：C 【题型四】从不同方向看几何体 【例4-1】（25-26七年级下·云南昆明·期中）下列几何体中，从左面看到的图形是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、从左面看到的图形是正方形，不符合题意； B、从左面看到的图形是长方形，不符合题意； C、从左面看到的图形是三角形，符合题意； D、从左面看到的图形是圆形，不符合题意． 【例4-2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图所示是几个小正方体所搭几何体的从上面看的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体从正面看的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． 根据从上面看的形状图可知，这个几何体从正面看的形状图左数第一行有两层，第二、三行有一层，进而作图即可． 【详解】解：这个几何体从正面看的形状图是 ． 故选：B． 【变式4-1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形分别从上面、左面看到的形状，那么构成这个立体图形的小正方体最多有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，对学生有一定的空间想象力的要求．在从上面看的图形中标出最多的情况数即可． 【详解】解：如图，所示： 那么构成这个立体图形的小正方体最多有（个）， 故选：D． 【变式4-2】（25-26六年级上·山东淄博·期中）从正面、左面、上面看一个几何体得到的三种形状都是同一张图，如图所示．那么在从上面看该几何体得到的形状图的小正方形中写上该位置的小立方块的个数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是：由三视图确定几何体中小立方块的个数，核心是理解三视图之间的对应关系：主视图和左视图反映层数(高度)，俯视图反映底层分布，结合三者可以确定每个位置的小立方块数量 【详解】解：从上面看的形状里，左上角的位置(第一行第一列)有个小立方块(因为正面和左面看这个位置有两层)， 左下角(第二行第一列)有个， 右下角(第二行第二列)有个， 所以对应选项里，小正方形中该位置的小立方块个数正确的是选项． 故选：B． 【题型五】几何体展开图的认识 【例5-1】（25-26七年级上·广东佛山·期中）下列图形中，不是三棱柱的表面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三棱柱的表面展开图．棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧．利用棱柱及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图． D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有． 故D不能围成三棱柱． 故选：D． 【例5-2】（25-26七年级上·广东汕头·期中）下列图形中，能折成棱柱的有（   ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，利用展开图的形状是解题关键，注意几何体的上底面与下底面相对．根据棱柱展开图的形状，可得答案． 【详解】解：第1个图能折成圆柱，第2个图能折成四棱柱，第3个图能折成五棱柱，第4个图能折成圆锥，第5个图不能折成立体图形， 则共有2个展开图能折成棱柱． 故选：C． 【变式5-1】（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是______．    【答案】25 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 则底面正方形的面积是 故答案为： 【变式5-2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某几何体表面的展开图形如“贪吃鱼”，则这个几何体的名称是_______． 【答案】圆锥体 【分析】本题考查了几何体的平面展开图． 根据几何体表面的展开图判断即可． 【详解】解：“贪吃鱼”右边为一个圆，左边将两线段重合进行折叠可得到一个无底面的圆锥体， 可知这个几何体的名称是圆锥体． 故答案为：圆锥体． 【题型一】几何体截面问题 【例1】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，往一个密封的正方体玻璃容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．三角形 B．五边形 C．梯形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体，几何体的截面，掌握正方体的截面形状是解题的关键．正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，进而可得出所有可能的情况． 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 所得水平面形状可能是三角形、四边形（梯形是四边形）、五边形和六边形，不可能出现七边形． 故选：D． 易错警示 · 截面多边形的边 = 平面与几何体每个相交面的交线 · n面体被平面所截，截面边数最多为n（如正方体最多截出六边形） · 截面是平面图形，所有顶点都必须落在几何体的棱上 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为（   ） ①圆锥；②圆柱；③长方体；④正三棱柱 A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．①② 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的截面形状， 明确不同几何体被平面截取时的截面可能性（结合截面的角度、方向） 是解题的关键． 判断每个几何体是否可能被平面截出三角形截面，即可确定正确选项． 【详解】 ①圆锥：用一个平面通过顶点切割，截面可为三角形； ②圆柱：无论平面如何截取，截面都不可能为三角形； ③长方体：用一个平面切割一个角，截面可为三角形； ④正三棱柱：用一个平面平行于底面或适当角度切割，截面可为三角形； ∴ 可能的有①③④． 故选：B． 【变式1-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，往一个有盖的长方体水杯中持续注入一些水，注水的过程中，可盖上盖子将水杯任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．七边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】A 【分析】本题考查了长方体的截面，长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案，解题的关键是熟练掌握面面相交得到线． 【详解】解：∵长方体有六个面，用一个平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形， 故选：A． 【变式1-3】（25-26七年级上·山东淄博·期中）给出以下四个几何体：①球；②圆锥；③圆柱；④三棱柱．其中能用平面截出圆的几何体共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】该题考查了用平面截几何体，熟悉常见几何体的截面形状是解题关键，需掌握基本几何体的截面特性． 通过判断每个几何体是否可以用平面截出圆形截面．球、圆锥、圆柱都可以通过特定方式截出圆，而三棱柱只能截出多边形，不能截出圆． 【详解】解：∵球被任意平面（非相切）所截截面均为圆；圆锥被垂直于轴的平面所截截面为圆；圆柱被垂直于轴的平面所截截面为圆；三棱柱被平面所截截面为多边形，无法得到圆． ∴能用平面截出圆的几何体有①、②、③，共3个． 故选：B． 【题型二】正方体几种展开图的识别 【例2】（25-26七年级上·广东梅州·期中）下列图形中，是正方体表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察A选项、B选项、C选项，它们经过折叠后，下边没有面，不可以围成正方体， 观察D选项，是正方体表面展开图． 易错警示 正方体共11种展开图，分四类： · "一四一"型（6种）：中间4个面，上下各1个面，上下位置可任意 · "二三一"型（3种）：中间3个面，上面2个面，下面1个面 · "二二二"型（1种）：阶梯状，每层2个面，逐层错开 · "三三"型（1种）：两行各3个面，只有中间一格相连 【变式2-1】（25-26七年级上·广东河源·期中）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，根据正方体展开图分析即可求解． 【详解】解：如图， ④的对面是⑤，故不能裁掉④． 故选：D． 【变式2-2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）沿某些棱剪开一个正方体纸盒，得到的形状图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图进行排除选项即可． 【详解】 解：沿某些棱剪开一个正方体纸盒，得到的形状图可能是； 故选B． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图，根据正方体的表面展开图一一判断即可得出答案． 【详解】解：第一个图形可以围成无盖正方体， 第二个图形不能围成正方体， 第三个图形可以围成无盖正方体， 第四个图形可以围成有盖的正方体， 故第一个图形和第三个图形可以围成无盖正方体， 故选C 【题型三】含图案或字的正方体的展开图 【例3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列哪一个展开图折叠起来可以形成图中的立方体?（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立体几何的展开图，解题的关键在于把握立方体展开图中相邻面与相对面的位置逻辑，通过逐一验证选项中各面的相邻关系，确定符合目标立方体结构的展开图． 【详解】解：A．选项A中展开图折叠后可以形成所给的几何体，因此选项A符合题意； B．根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，选项B中的图形不是正方体的表面展开图，因此选项B不符合题意； C．选项C中的展开图折叠后虽然能折叠成正方体，但“红桃的尖”所对的面不是“深”而是“您”，因此选项C不符合题意； D．选项D中的展开图折叠后虽然能折叠成正方体，但“红桃的尖”所对的面不是“深”而是“圳”，因此选项D不符合题意； 故选：A． 易错警示 · 折叠时，相邻面的图案方向会发生旋转，不是原样照搬 · 一个面绕公共棱旋转90°折成立方体，图案方向也跟着转90° · 带箭头、带方向的图案，一定要动手模拟折叠后箭头指向哪里 · 先把所有面编号，再用"相间/Z端"法逐对找出3组对面 · 检查方法：三组对面必须把6个面全部用完，不能有遗漏也不能重复 · 题目问"两个带图案的面是什么关系"，先判对面再判相邻 【变式3-1】（25-26七年级上·贵州毕节·期中）如图，把正方体沿某些棱剪开，得到的展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案正方形所在的位置正好与图中的位置相反，所以能得到的图形是C． 故选：C． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）在学校的倡导下，同学们积极投入我市开展创造“全国文明城市”活动中，为此小萌同学特别设计了一个正方体，其展开图如图所示，则“文”在正方体中所对的字是________． 【答案】城 【详解】解：根据正方体表面展开图的特点， “全”与“明”是相对面， “国”与“市”是相对面， “文”与“城”是相对面． 【变式3-3】（25-26七年级上·宁夏银川·期中）如图是一个正方体骰子的表面展开图，当它折成正方体时，相对面上1点对____点，2点对___点，3点对____点． 【答案】 6 5 4 【分析】根据正方体平面展开图中相对面的位置规律进行解题即可． 【详解】解：在正方体的平面展开图中，相对的两个面在展开图中不相邻，且中间相隔一个正方形， 当它折成正方体时，相对面上1点对点，2点对点，3点对点． 【题型一】由展开图计算几何体的表面积与体积 【例1-1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）七年级数学活动课上，“探究小组”利用一个长为，宽为的长方形纸板制作长方体纸盒，如图是纸盒的平面展开图．请结合图形解决下列问题： (1)小组成员发现，他们剪开后的平面展开图无法拼成长方体，请你帮助他们直接在图中修改，使修改后的平面展开图可以拼成长方体纸盒．若有多余面，则把多余面涂黑；若还缺少，请直接在图中补全． (2)修改后的平面展开图，拼成长方体纸盒的体积为_______，表面积为_______（用含的代数式表示）； (3)当时，制作一个这样的长方体纸盒后，纸板还剩多少？ 【答案】(1) 有多余的面，将图中涂阴影部分的面去掉即可； (2)，； (3)． 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）根据长方体体积、表面积的计算方法进行计算即可； （3）求出长方体的表面积，再进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：将修改后的展开图折叠成的几何体是长为，宽为，高为的长方体， 所以长方体的体积为，表面积为， 故答案为：，； （3）解：当，时，纸盒的表面积为， 纸板还剩， 答：纸板还剩． 【例1-2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：含有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面A在长方体的上面，那么下面是______； (2)从右面看是面C，从上面看是面E，那么前面是______； (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，即“相间、端是对面”进行判断即可； （2）根据各个面之间的相邻、相对关系进行判断即可； （3）根据长方体表面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由长方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“”与“”是对面，如果面在长方体的上面，那么下面是， 故答案为：； （2）解：从右面看是面，从上面看是面，那么前面是， 故答案为：； （3）解：由题意得，长方体的长为、宽为，D面的宽为， 所以这个长方体的表面积是， 答：这个长方体的表面积为． 【变式1-1】（25-26七年级上·广东佛山·期中）图①为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图②所示． (1)从图①展开至图②，一共剪开了几条棱？ (2)若被剪开的棱的棱长和为，则这个四棱柱的体积是多少？ 【答案】(1)7条棱 (2) 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键． （1）根据总棱数为12，展开图相连的还有5条棱，得出剪开的是7条棱即可； （2）根据题中数据求出原四棱柱的高即可得出原四棱柱的体积． 【详解】（1）解：∵四棱柱共12条棱，展开图相连的还有5条棱， ∴一共剪开了7条棱． （2）解：， ． ∴这个四棱柱的体积是． 【变式1-2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）如图，是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体是 ． A．正方体；B．长方体；C．三棱柱；D．四棱锥． (2)依据图中数据求该几何体的体积． 【答案】(1)B (2)6立方米 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，熟知长方体的表面展开图是解题的关键． （1）根据几何体的展开图进行判断即可； （2）根据长方体的体积公式计算求解． 【详解】（1）解：由展开图可知，该几何体是长方体． 故答案为：B． （2）解：（立方米）， 答：该几何体的体积为6立方米． 【题型二】由三视图计算几何体的表面积与体积 【例1-1】（25-26七年级上·山西太原·期中）用9个大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)请依次画出它从正面、左面、上面三个方向看到的几何体的形状图（不需要标序号①）． (2)将小正方体①移走后，得到一个新的几何体，与原几何体相比，从三个方向看到的形状图没有发生变化的是___________． A．从正面和上面看到的形状图 B．从左面和上面看到的形状图 C．从正面和左面看到的形状图 D．从正面、左面、上面看到的形状图 (3)如果在原几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加___________个小正方体． (4)若小正方体的棱长为，则该几何体的表面积是___________． 【答案】(1) (2)C (3)2 (4) 【分析】（1）画从正面、左面、上面三个方向看到的几何体的形状图：确定观察方向，正面看统计每列最高层数绘出形状，左面看统计每列最高层数绘出形状，上面看统计行列分布绘出形状． （2）移走小正方体①后判断看到的形状图的变化：分别对比原几何体和新几何体的正面、左面、上面看到的形状图，判断是否发生改变，对应选择选项． （3）添加小正方体问题：结合原几何体的正面、左面看到的形状图，确定每个位置最多可堆叠的小正方体层数，统计可新增的数量． （4）计算表面积：分别统计几何体前、后、左、右、上、下六个方向可见的正方形面数，求和后乘以单个正方形的面积． 【详解】（1）解：从正面看到的形状图：共3列，从左到右小正方形的层数依次为3层、1层、2层； 从左面看到的形状图：共２列，从左到右小正方形的层数依次为3层、2层； 从上面看到的形状图：呈现底层小正方体的分布，共2行3列， 第一行每一列的位置都有小正方形，第二行第一列、第三列的位置有小正方形． （2）解：移走小正方体①后，从正面看原本①的位置能看到它后面的小正方体，不影响正面看到的形状图； 从左面看①，它前面的小正方体把它遮挡，不影响左面看到的形状图； 但从上面观察①时，原本是可见的底层方块，移走后从上面看到的形状图会改变， ∴共有正面和左面看到的形状图没有变化，对应选项C． （3）解：要保持从正面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，结合原几何体的底层布局，在不超出从正面看到的形状图、从左面看到的形状图规定的层数限制的前提下， 如图，应在从正面看到的形状图中A、B的位置可各添加一个小正方体， ∴最多可以新增2个小正方体． （4）解：小正方体单个面的面积为， 分别统计几何体前、后、左、右、上、下六个方向的外露面总数共个， ∴总表面积为． 【例1-2】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2)这个几何体的表面积为． 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， 这个几何体的表面积为． 【变式1-1】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 【分析】本题考查从不同方向看几何体． （1）根据从不同方向看到的几何体的画法画出相应的图形即可； （2）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的表面积． 【详解】（1）略 （2）解：露出表面的面一共有（个）， 则这个几何体喷漆的面积为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）请完成下列问题： (1)如图一是用若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体，在下方网格中用粗实线画出这个几何体从它的正面、左面、上面三个方向所看到的平面图形． (2)求（1）问中这个几何体的表面积（包括底面）； (3)如图二是一张长方形纸片，长为4，长为2．将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1) 解：从它的正面、左面、上面三个方向所看到的平面图形如下图所示： (2) (3) 【分析】本题考查从不同方向看几何体，几何体的表面积，面动成体，圆柱体积公式． （1）将从不同方向看几何体得到的图形画出来即可； （2）结合从不同方向看几何体得到的图形判断出表面正方形的个数即可得到答案． （3）根据面动成体得到长方形纸片绕边所在直线旋转一周形成的几何体，再结合圆柱体积公式求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：这个几何体的表面积为：； （3）解：此长方形纸片绕边所在直线旋转一周，形成的几何体为圆柱， 长为4，长为2， 该几何体的体积为：． 【题型三】求展开图上两点折叠后的距离 【例2-1】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【例2-2】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【变式2-1】（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 【答案】和 【分析】根据正方体展开图的特征，确定各面的相对位置，通过折叠想象或标记法找出与点M重合的顶点． 【详解】解：设含点M的正方形为前面，则其上方的正方形为上面，左边的正方形为左面，右边的第一个正方形为右面，右面的第二个正方形为后面，后面下方的正方形为下面， ∵点M位于前面的左下角， ∴与点M重合的点应位于左面的左下角或下面的右下角， ∵左面的左下角为点A，下面的右下角为点D， ∴与点M重合的点是点A和点D． 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 【题型四】用七巧板拼图形 【例3-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的运算 ，根据图形得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故选：C． 【例3-2】数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积， 图2中阴影三角形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 【变式3-1】（25-26七年级下·江西景德镇·期中）七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【答案】 【分析】阴影部分的面积等于边长为1的正方形面积减去一个直角边的长为1的等腰直角三角形的面积，再减去一个直角边的长为的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可 【详解】解：， ∴阴影部分的面积为． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】7 【分析】此题考查了求阴影面积，首先求出正方形的面积，然后依次求出的面积，的面积，平行四边形的面积，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为 ∴的面积为， ∴的面积为，平行四边形的面积为， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：7． 【题型一】n棱柱数量关系模型 【模型解读】 遇到"几棱柱有几个面/顶点/棱"的问题时，不要逐个去数，直接用n棱柱的通用公式代入计算。已知棱数反推是几棱柱时，反过来解方程即可。 【结论】 已知 求面数 求顶点数 求棱数 是n棱柱 n + 2 2n 3n 有V个顶点 V/2 + 2 V 3V/2 有E条棱 E/3 + 2 2E/3 E 速记口诀：面两、顶二、棱乘三（面数=n+2，顶点=2n，棱=3n） 【例1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)共有9个面；侧面是长方形 (2)21，14 (3)这个棱柱的侧面积之和是 (4)直n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查棱柱的组成，理解棱柱各部分的数量是解题的关键． （1）直接观察七棱柱即可解答； （2）观察七棱柱即可解答； （3）将根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量7个即可解答； （4）由七棱柱的规律，总结即可解答． 【详解】（1）这个直七棱柱有7个侧面，2个底面，共有9个面；侧面是长方形； （2）七棱柱一共有21条棱，一共有14个顶点． 故答案为：21，14； （3）， 故这个棱柱的侧面积之和是； （4）直n棱柱共有个顶点，共有条棱． 【变式1-1】棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 【变式1-2】如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有________个面，________条棱，________个顶点；n棱锥有________个面，________条棱，________个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为________． 【答案】 3n 2n 2n 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有个面，3n条棱，2n个顶点；n棱锥有个面，2n条棱，个顶点． 故答案为：，3n，2n，，2n，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如下： 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 六棱柱 12 18 8 根据上表总结出这个关系为． 故答案为：． 【变式1-3】把如图①所示的正方体切去一块，可得到如图②～⑤所示的几何体． (1)所得几何体各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？ (2)举例说明把其他形状的几何体切去一块，得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少； (3)若把几何体的面数记为，棱数记为，顶点数记为，则满足什么关系式？ 【答案】(1)题图②有7个面、15条棱、10个顶点；题图③有7个面、14条棱、9个顶点；题图④有7个面、13条棱、8个顶点；题图⑤有7个面、12条棱、7个顶点． (2)（答案不唯一，合理即可），得到的几何体有5个面、9条棱、6个顶点． (3) 【分析】本题主要考查几何体的面、棱、顶点的概念，以及欧拉公式的探索. 通过观察切割后的正方体，数出每个几何体的面数、棱数、顶点数； 选取其他几何体（如三棱柱）进行切割，分析其面、棱、顶点数量； 根据，的数据，归纳出面数、棱数、顶点数的关系式． 【详解】（1）解：分析图②～图⑤的几何体： 题图②有个面、条棱、个顶点； 题图③有个面、条棱、个顶点； 题图④有个面、条棱、个顶点； 题图⑤有个面、条棱、个顶点； 故答案为：题图②有个面、条棱、个顶点；题图③有个面、条棱、个顶点；题图④有个面、条棱、个顶点；题图⑤有个面、条棱、个顶点． （2）解：如图所示：得到的几何体有个面、条棱、个顶点． 故答案为：如图所示：得到的几何体有个面、条棱、个顶点． （3）解：根据中各几何体的面数、棱数、顶点数的关系式.计算： 题图②：； 题图③：； 题图④：； 题图⑤：． 结合的例子，归纳得关系式：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的面、棱、顶点的认识以及欧拉公式，解题关键是通过观察、计数，归纳出几何体的面数、顶点数、棱数之间的规律． 【题型二】旋转成体对应模型 【模型解读】 题目给出一个平面图形绕一条直线旋转一周，判断得到什么立体图形；或者反过来，给出一个立体图形，判断是由哪个平面图形旋转得到的。关键是抓住"面动成体"的本质——旋转轴固定，平面图形扫过的空间就是立体图形。 【结论】 平面图形 旋转轴位置 旋转得到的几何体 长方形 绕一条边所在直线 圆柱 直角三角形 绕一条直角边所在直线 圆锥 半圆 绕直径所在直线 球 直角梯形 绕垂直于底的腰 圆台 【例2】如图所示，下列图形绕着虚线旋转一周得到圆锥体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．图形绕着虚线旋转一周得到圆台，故A不符合题意； B．图形绕着虚线旋转一周得到球，故B不符合题意； C．图形绕着虚线旋转一周得到圆柱，故C不符合题意； D．图形绕着虚线旋转一周得到圆锥，故D符合题意． 【变式2-1】将一个梯形以虚线为轴从右向左旋转一周（如图），得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：将以虚线为轴从右向左旋转一周，得到的图形是． 【变式2-2】如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察立体图形可知，其顶面和底面是由两条线段旋转得到的两个大小不同的圆，其侧面是由向内凹陷的曲线旋转而成， 观察四个选项可知，选项A中的图形绕虚线旋转一周可以得到这个立体图形． 【变式2-3】如图，将下面的三角形绕虚线旋转一周后得到的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形得出旋转一周后得到的几何体是由两个底面重合的圆锥组成的立体图形，从而得解． 【详解】解：将下面的三角形绕虚线旋转一周后得到的几何体是由上下两个圆锥组成，如图： ． 【题型三】正方体展开图"是与非"判断模型 【模型解读】 判断一个图形能不能折成正方体，不需要真的去折，先看有没有"致命结构"，再对照11种基本类型。遇到复杂图形时，用排除法最快。 【结论】 ❌ 一定不是正方体展开图的四种情况： 1. 出现"田"字形（四个小正方形组成2×2方块） 2. 出现"凹"字形（中间凹进去一块） 3. 出现"7"字形拐角 4. 一条直线上有5个或6个正方形 ✅ 一定是正方体展开图的四种类型： 类型 形状描述 种数 一四一型 中间4个一排，上下各1个 6种 二三一型 上2、中3、下1，错开排列 3种 三三型 两行各3个，错开相连 1种 二二二型 阶梯状，每行2个错开 1种 【例3】（25-26七年级上·宁夏·期中）下列图形中是正方体展开图的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】正方体的展开有以下几种类型： 141型（分3行，中间4个，上下各1个，共6种情况）； 132型（分3行，中间3个，上行1个，下行2个连在一起，共3种情况）； 222型（每行2个，呈阶梯状，1种情况）； 33型（每行3个，下一行跟末尾一个相连）； 由此可知，只有选项B符合题意． 【变式3-1】下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形结构，判断是否符合正方体展开图的11种特征． 【详解】解： A项属于“222”型，是正方体展开图，故此选项不符合题意； B项属于“33”型，是正方体展开图 ，故此选项不符合题意； C项折叠后会出现重叠面，不是正方体展开图，故此选项符合题意； D项属于“141”型，是正方体展开图，故此选项不符合题意． 【变式3-2】下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的“”、“”、“”等常见类型及“一线不过四，田凹应弃之”的口诀进行判断． 【详解】解： A、属于“”型，能折叠成正方体 ． B、属于“”型，能折叠成正方体 ． C、属于“”型，能折叠成正方体． D、属于“凹”字型结构，折叠后会有两个面重合，不能围成正方体． 【变式3-3】下列图形中，属于正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3−3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：属于正方体的展开图的是： 【题型四】展开图相对面识别模型 【模型解读】 展开图中找"哪两个面是相对的"，或者折叠后判断"1对面是几"，用两条规则就能搞定，不用真折。 【结论】 规则1：同层隔一面 · 在同一行或同一列中，间隔一个正方形的两个面是相对面 · 例："1 2 3"一排 → 1和3相对（2在中间隔开） 规则2：异层"Z"两端 · 不在同一行的，找"Z"字形的两个端点，它们是相对面 · Z字的中间可以横过来拐，但拐弯处只能是一格 验证口诀：相对面不相邻，相邻面不相对；展开图里隔一个，折叠之后面对面。 【例4】如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“会”字所在的面相对的面上标的字是（     ） A．创 B．和 C．建 D．谐 【答案】A 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，原正方体中与“会”字所在的面相对的面上标的字是创． 【变式4-1】“学而不思则罔，思而不学则殆”源自《论语·为政》，是孔子倡导的一种读书与学习的方法．如图，将“学而不思则罔”六个字写在正方体的展开图上，折叠成正方体后，与“不”字相对的面上的字是（     ） A．学 B．思 C．更 D．罔 【答案】D 【分析】根据正方体相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面． 【详解】解：由题意得，与“不”字相对的面上的字是“罔”． 【变式4-2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）咸阳古城的文创团队设计了印有古城元素的正方体纪念品，其表面展开图印有“建”“设”“美”“丽”“咸”“阳”六个字（如图所示）；在这个正方体中，与“咸”字相对面的汉字是_____． 【答案】建 【分析】根据正方体展开图中“相对的面之间一定隔一个正方形”这一规律解答即可． 【详解】解：在这个正方体中，与“咸”字相对面的汉字是建． 【变式4-3】在第九届国际非物质文化遗产节上，焦作市的非遗项目西陶舞狮（黄河飞龙）以飞龙在天、灵动飘逸的展演生动呈现出中华龙的精气神韵，将“守”“护”“非”“遗”“瑰”“宝”六个汉字分别写在一个正方体的各个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中、与“守”字所在面相对面上的汉字是______. 【答案】非 【详解】解：正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形， 由图可知，与“守”字所在面相对面上的汉字是“非”． 【题型五】截面形状判断模型 【模型解读】 判断用一个平面截几何体，截面是什么形状，核心思路是：截面的边数 = 平面与几何体几个面相交。和平面交几个面，截面就是几边形。 【结论】 几何体 截面边数上限 可能的截面形状 不可能的形状 正方体 6（=面数） 三角形、四边形、五边形、六边形 七边形及以上、圆 圆柱 曲面参与时可变 圆、长方形、椭圆 三角形 圆锥 曲面参与时可变 圆、三角形、椭圆 四边形（普通情况） 球 曲面 圆 任何多边形 【例5】平扫是临床常用的影像检查之一，利用射线穿透人体，通过计算机重建出人体断层图像（人体截面的扫描成像）．如图，以下几何体静止放置在水平面上，若分别对这些几何体沿水平方向在不同高度截取3个截面，则同一几何体的3个截面不可能都相同的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】分别根据柱体和球的截面特征解答即可． 【详解】解：由题意②长方体、③三棱柱、④圆柱这三个都是柱体，沿水平方向在不同高度截取3个截面得到的分别是相同的正方形、三角形和圆， 而①球沿水平方向在不同高度截取3个截面得到的是三个半径不同的圆，故①符合要求． 【变式5-1】用一个平面去截一个正方体，截面形状可能是下列图形中的几种：①正方形；②长方形；③三角形；④五边形；⑤六边形；⑥七边形；⑦八边形（     ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】截面边数等于平面与正方体相交的面数，正方体共6个面，故截面最多为六边形． 【详解】解：∵正方体有6个面， ∴平面截正方体时，最少与3个面相交，最多与6个面相交，对应截面边数最少为3，最多为6， ①平行于正方体的面截取，可得正方形，可能； ②平行于正方体的一条棱截取，且与4个面相交，使相邻边长度不等，可得长方形，可能； ③截去正方体的一个顶角，平面与3个面相交，可得三角形，可能； ④平面与正方体的5个面相交，可得五边形，可能； ⑤平面与正方体的6个面均相交，可得六边形，可能； ⑥七边形、⑦八边形均不可能，因截面最多为六边形； 综上，可能的形状共5种． 【变式5-2】如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，会出现很多多边形，其中可能出现边数最多的多边形是________． 【答案】六边形 【分析】正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，进而可得出所有可能的情况． 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形， ∴可能出现边数最多的多边形是六边形． 【变式5-3】如图，用一个平面从不同的角度去截一个正方体，则截面大小、形状相同的是_____．（填序号） 【答案】 ①③ 【分析】观察四个图形中截面与正方体棱、面的位置关系，判断截面的形状及边长特征，进而比较大小和形状． 【详解】解：①长方形，长等于对角线长，宽等于棱长； ②正方形，边长等于棱长； ③长方形，长等于对角线长，宽等于棱长； ④长方形，长、宽无法判断， ∴截面大小、形状相同的是①③． 【题型六】三视图小立方块还原模型 【模型解读】 给出俯视图（带数字），画主视图和左视图，或者反过来根据三视图判断最少/最多需要几个小立方块。关键是把俯视图当成"地基"，数字就是"楼层高度"。 【结论】 已知俯视图+数字 → 画主视图： · 主视图的列数 = 俯视图的列数（从左到右） · 主视图每列的高度 = 俯视图该列中最大的数字 已知俯视图+数字 → 画左视图： · 左视图的列数 = 俯视图的行数（从前到后） · 左视图每列的高度 = 俯视图该行中最大的数字 已知主视图+俯视图 → 求最少/最多小立方块数： · 最少个数 = 俯视图每个位置取"该列/行至少有一个达到最大值"，其余位置取1 · 最多个数 = 每个位置都取"该列最大值和该行最大值中的较小值" 【例6】一个几何体由边长为大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图． (2)请求出该几何体的体积和表面积． 【答案】(1) (2)体积为，表面积为 【分析】（1）根据从上面看到的形状图上小立方块的个数可以得到从正面观察这个几何体得到的形状图是3列，每列从左到右小正方块个数依次为4，3，3，从左面观察这个几何体得到的形状图是3列，每列从左到右小正方块个数依次为2，4，3，据此作图即可； （2）该几何体的体积为所有小正方块体积之和，表面积为从三个方向看到的正方形个数之和乘以2再乘以每一个小正方形的面积，最后加上4个小正方形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：该几何体的体积为； 表面积为． 【变式6-1】在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体，从上面看到它的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)在图中画出这个几何体从正面、左面与上面看到的形状图，并求这个几何体的体积； (2)如果现在还有一些棱长都为的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加_____ 个小正方体． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查从不同位置看简单组合体、几何体的体积等知识点． （1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，4；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为4，3，据此画出图形即可，然后根据小正方体的个数即可求出这个几何体的体积； （2）在从上面看到的形状图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多即可解答． 【详解】（1）解：如图， 几何体的体积为； （2）解：保持这个几何体从上面和左边看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小立方块（见从上面看到的图中的数字）. 【变式6-2】按要求解答下列问题： (1)下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图①：________，图③：________，图②：________． (2)用几个相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． (3)如果保持（2）中几何体从正面、左面看到的形状图都不变，最多可以再添加________个小立方块． 【答案】(1)圆锥，五棱柱，长方体 (2)解：如图所示： (3)3 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）从正面看有三列，第一列有2个正方形，第二列有3个正方形，第三列有2个正方形；从左面看有两列，第一列有2个正方形，第二列有3个正方形； （3）根据从正面、左面看到的形状图分析即可． 【详解】（1）解：由立体图形的展开图可知，图①：圆锥，图②：长方体，图③：五棱柱； （2）解：略 （3）解：在从上面看到的图形的相应位置标注所能添加的小正方体的个数，如图，可得最多可以再添加3个小立方块． 【变式6-3】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 画图如下． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．根据题意可得，从正面看有3列，每列小正方体数目分别为4，2，3；从左面看有3列，每列小正方体数目分别为2，4，3，据此即可画出图形． 【详解】略 【题型七】展开图剪开棱数模型 【模型解读】 正方体展开成平面图形，需要剪开几条棱？这类问题看起来抽象，用"总棱数 - 相连棱数"的思路就能解。 【结论】 · 正方体共有 12条棱 · 展开后是一个连通的平面图形，6个面连成一体，需要 5条棱相连（n个面连成一串需要n-1条棱相连） · 需要剪开的棱数 = 总棱数 - 相连棱数 = 12 - 5 = 7条 推广到n棱柱： · n棱柱总棱数 = 3n · 展开图相连棱数 = (n+2) - 1 = n+1 · 需要剪开的棱数 = 3n - (n+1) = 2n - 1 【例7】如图，这是某几何体的展开图，则该几何体需要剪开的棱数为（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】D 【分析】此题考查了三棱柱的展开图，掌握三棱柱的展开图是解题的关键． 首先得到这个几何体是三棱柱，然后根据三棱柱的棱数和展开图中没有剪开的棱数求解即可． 【详解】根据题意的，这个几何体是三棱柱 ∵三棱柱共有9条棱，展开图中有4条棱没有剪开 ∴该几何体需要剪开的棱数为（条）． 故选：D． 【变式7-1】将一个五棱柱的表面沿着某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开（　　）条棱． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】五棱柱有15条棱，观察五棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是6条，相减即可求出需要剪开的棱的条数． 【详解】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是6条， 则至少需要剪开的棱的条数是：15﹣6＝9（条）． 故至少需要剪开的棱的条数是9条． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了立体图形的展开与折叠，准确分析判断是解题的关键． 【变式7-2】如图，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形，现要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为（  ） A．36 B．32 C．28 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查的是认识立体图形，能够得出三棱柱没有剪开的棱的条数是解答此题的关键． 三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是4条，相减即可求出需要剪开的棱的条数，进而可求解． 【详解】解：如图所示的几种展开图： 由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条， 则至少需要剪开的棱的条数是： (条)， 故至少需要剪开的棱的条数是5条， 需剪开棱的棱长的和的最大值为：， 故答案为：B． 【变式7-3】如图是一个三棱柱，小明想将这个三棱柱展开成一个平面图形，至少需要剪开棱的条数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是4条，相减即可求出需要剪开的棱的条数．此题考查了几何体的展开图，关键是数出三棱柱没有剪开的棱的条数． 【详解】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条， 则至少需要剪开的棱的条数是：（条）． 故至少需要剪开的棱的条数是5条． 故选：B． 技巧 一句话要点 判定几何体类型——"特征比对法" 先看底面形状（圆/多边形），再看侧面（平/曲），最后数顶点，三步比对定类型。 棱柱数量计算——"n棱柱公式法" 面=n+2、顶=2n、棱=3n；已知棱数反推n，直接用棱数÷3即可。 旋转成体判断——"轴面对应法" 长方形绕边→圆柱，直角三角形绕直角边→圆锥，半圆绕直径→球；先找轴，再想扫过的面。 判断展开图是否为正方体——"田凹7字排除法" 出现"田"字格、"凹"字形、"7"字拐角、一条线5个面，直接排除，不是正方体展开图。 展开图找相对面——"隔一Z端法" 同行同列隔一个正方形是相对面；不在同行的找"Z"字形两端，也是相对面。 判断截面形状——"交面数边法" 截面边数=平面与几个面相交；正方体最多交6个面→最多六边形，有曲面参与必出曲线边。 已知截面反推几何体——"特征匹配法" 截面是圆→圆柱/圆锥/球；截面是三角形→正方体/圆锥/三棱柱；截面是长方形→柱体类。 三视图还原——"俯视图定基法" 俯视图定位置，数字定层数；主视图看列取最大，左视图看行取最大。 小立方块最值计数——"极值假设法" 最少=每列/行只有一处取最大值其余取1；最多=每个位置取列最大与行最大的较小值。 展开图剪开棱数——"总棱减连棱法" 总棱数−展开图相连棱数=剪开棱数；正方体12−5=7条。 圆柱旋转侧面积比较——"侧积不变法" 同一长方形绕长、绕宽旋转，两个圆柱侧面积相等，都等于2π×长×宽。 组合几何体识别——"拆分拆解法" 复杂物体拆成基本几何体（圆柱/圆锥/棱柱/球）的组合，从下往上、从外到内逐层拆。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $