专题3 一元二次不等式（讲义）-2027年新疆（“三校生升高职”考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年新疆（“三校生升高职”考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年新疆（“三校生升高职”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 一元二次不等式 【复习目标】 1.理解一元二次不等式概念，掌握三个二次（一元二次方程、二次函数、一元二次不等式）关系； 2.会用判别式求解一元二次不等式，能用区间、集合表示解集； 3.会处理二次项系数为负、简单含参、一元二次不等式的应用等题型。 【考点1 一元二次不等式的概念】 1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式． 【即时训练】 1．下列不等式中，属于一元二次不等式的是（    ）. A． B． C． D． 2．下列不等式是一元二次不等式的是（   ） A．（为常数） B． C． D． 3.试判断下列不等式中哪些是一元二次不等式，哪些不是一元二次不等式？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【考点2 解一元二次不等式】 2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 ． 3．若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 ，小于号取 ”求解集． 4．一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【即时训练】 4．二次函数的图像如图所示，则满足的取值范围为（   ）    A． B． C．或 D．或 5．已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解为（    ） A．或 B．或 C． D． 9．若，则的取值范围为________． 10．已知关于的不等式的解集是或，则的解集为__________. 11．不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是_____． 12．设实数a使方程有两个不等实根，则a的取值范围是____ 13．不等式的解集是________． 14．求下列不等式的解集 (1) (2) 15．解不等式，并把解集用区间表示出来． 16．若不等式的解集是，求和的值. 17．已知关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围． 18．已知关于x的不等式的解集为，求实数a和b的值． 19．小明家使用栅栏材料，在靠墙位置围出一块长方形的花圃，并且花圃的面积不小于，试确定与墙平行的栅栏的长度范围． 20．某工厂生产一种产品，每件成本为元，售价为元，预计销量为件，其中. (1)写出总利润关于的表达式； (2)若总利润不少于元，求售价的取值范围. 21．某学校要用一个39m长的栅栏材料围成一个中间有隔断的矩形场地来种植花草，如图所示，要求这个场地的面积不小于，请你设计一个方案，并指出方案中隔断的范围.    1.（2025年新疆）不等式的解集为____________. 2. （2024年新疆）不等式的解集为（   ） A B. C. D. 3.（2022年新疆）不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年新疆（“三校生升高职”考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年新疆（“三校生升高职”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 一元二次不等式 【复习目标】 1.理解一元二次不等式概念，掌握三个二次（一元二次方程、二次函数、一元二次不等式）关系； 2.会用判别式求解一元二次不等式，能用区间、集合表示解集； 3.会处理二次项系数为负、简单含参、一元二次不等式的应用等题型。 【考点1 一元二次不等式的概念】 1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． 【即时训练】 1．下列不等式中，属于一元二次不等式的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式，由此判断选项即可. 【详解】A选项，符合定义，是一元二次不等式. B选项，未知数最高次数为3，不是一元二次不等式. C选项，未知数最高次数为1，不是一元二次不等式. D选项，含有分式，不是整式不等式，不是一元二次不等式. 故选：A. 2．下列不等式是一元二次不等式的是（   ） A．（为常数） B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的定义判断. 【详解】选项A：不等式（为常数）中， 当时，不等式，即，未知数的最高次数是1，不满足一元二次不等式中未知数最高次数为的要求， 当时，未知数的最高次数是，不满足一元二次不等式中未知数最高次数为的要求， 故选项A错误； 选项B：不等式中，未知数的最高次数是，不满足一元二次不等式中未知数最高次数为的要求，故选项B错误； 选项C：不等式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次，符合一元二次不等式的定义，故选项C正确； 选项D：不等式中含有两个未知数和，不满足一元二次不等式只含有一个未知数的条件，故选项D错误. 故选：C. 3.试判断下列不等式中哪些是一元二次不等式，哪些不是一元二次不等式？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)不是 (2)是 (3)是 (4)不是 (5)不是 【分析】（1）根据一元二次不等式的定义判别. （2）根据一元二次不等式的定义判别. （3）根据一元二次不等式的定义判别. （4）根据一元二次不等式的定义判别. （5）根据一元二次不等式的定义判别. 【详解】（1）因为未知数x的最高次数是一次，所以此不等式不是一元二次不等式. （2）因为未知数x的最高次数是二次，所以此不等式是一元二次不等式. （3）因为未知数x的最高次数是二次，所以此不等式是一元二次不等式. （4）因为此不等式含有x，y两个未知数，所以它不是一元二次不等式. （5）因为此不等式不是整式不等式，所以它不是一元二次不等式. 【考点2 解一元二次不等式】 2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． 3．若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． 4．一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【即时训练】 4．二次函数的图像如图所示，则满足的取值范围为（   ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的图像求解即可. 【详解】由题图知二次函数的图像开口向下，两根分别为和2， 故的解集为或. 故选:C． 5．已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的关系可将不等式变形，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根是和5， 所以不等式可变形为， 又因为，所以， 解得：， 所以不等式的解集为， 故选：A. 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先进行因式分解，再求解即可. 【详解】，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，根据集合的交集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 8．不等式的解为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为不等式，即， 所以，解得， 故选：D. 9．若，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 10．已知关于的不等式的解集是或，则的解集为__________. 【答案】 【分析】根据不等式的解集可求，代入即可求解. 【详解】由不等式的解集是或， 则是方程的两根， ，解得， 可化为， 即，可得，解得， 的解集为. 故答案为：. 11．不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系，可得，解不等式可求解. 【详解】因为等式对任意实数都成立， 所以，即， 解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．设实数a使方程有两个不等实根，则a的取值范围是____ 【答案】 【分析】由题意可得，解不等式即可. 【详解】方程有两个不等实根， 则，即， 则，解得或. 因此的取值范围是. 故答案为：. 13．不等式的解集是________． 【答案】 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式，解得或， 所以解集为， 故答案为：. 14．求下列不等式的解集 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 【详解】（1）因为，即， 解得或， 即不等式的解集为； （2）因为，即， 解得， 即不等式的解集为. 15．解不等式，并把解集用区间表示出来． 【答案】 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数间的关系，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的二次项系数，对应的方程的解为， 则对应的二次函数的图像如图所示：    所以不等式的解集用区间表示为. 16．若不等式的解集是，求和的值. 【答案】 【分析】根据题意，结合二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，利用韦达定理，即可求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根， 所以，所以，解得. 17．已知关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立求解参数即可； 【详解】∵关于x的不等式的解集为R， ∴，解得， ∴实数的取值范围为. 18．已知关于x的不等式的解集为，求实数a和b的值． 【答案】 【分析】根据不等式的解集为，可得到方程的两根，将根代入到方程，得出实数的值； 【详解】∵不等式的解集为， ∴且方程的两个根为和， 代入得， 解得. 19．小明家使用栅栏材料，在靠墙位置围出一块长方形的花圃，并且花圃的面积不小于，试确定与墙平行的栅栏的长度范围． 【答案】与墙平行的栅栏长度范围时，花圃面积不小于． 【分析】设栅栏长度为，得到面积函数，建立不等式，即可求解. 【详解】设与墙平行的栅栏长度为，故花圃面积为， 而花圃面积不小于，则， 整理得，即. . 解得 故，与墙平行的栅栏长度范围时，花圃面积不小于． 20．某工厂生产一种产品，每件成本为元，售价为元，预计销量为件，其中. (1)写出总利润关于的表达式； (2)若总利润不少于元，求售价的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可得解. （）根据题意列出不等式即可得解. 【详解】（1）产品每件成本为元，售价为元，预计销量为件， 则. （2）总利润不少于元， 则， 解得， 又因为，所以 所以售价的取值范围为. 21．某学校要用一个39m长的栅栏材料围成一个中间有隔断的矩形场地来种植花草，如图所示，要求这个场地的面积不小于，请你设计一个方案，并指出方案中隔断的范围.    【答案】 【分析】设隔断长为，根据栅栏总长表示出矩形的长，利用矩形面积公式建立关于的一元二次不等式，结合边长为正数求解即可. 【详解】设隔断的长为，由图可知，矩形场地垂直于隔断的边有条，平行于隔断的边有条（含本身）. 因为栅栏材料总长为，所以矩形场地的长为. 由题意可知，场地的面积不小于，即，整理得， 即，化简得，因式分解得， 解得. 又因为矩形的边长必须为正数， 所以，解得. 综上，. 1.（2025年新疆）不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 解得，解集为. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. （2024年新疆）不等式的解集为（   ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为不等式可化为， 所以不等式的解为，化为区间表示为. 故选：A. 3.（2022年新疆）不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的基本解法求解. 【详解】∵不等式， 对应的一元二次方程为，方程的解为或， 故不等式的解集为. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $