专题1.2 命题、充要条件（考点精讲）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

专题1.2 命题、充要条件 一、课标要求 1. 了解充分条件、必要条件、充要条件的概念. 2. 了解命题中条件与结论的关系. 3. 掌握充要条件和集合关系的转化，会利用充要条件求参数的范围. 二、知识架构 三、知识清单 1．命题的概念 (1)命题的结构 ①命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． ②确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． (2)逆命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互为逆命题。把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题。“若p则q”表示原命题结构，用“若q则p”表示逆命题结构。然后强调互为逆否中的“互”字。 (3)否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题。用“若p则q”表示原命题结构，用“若¬p则¬q”表示否命题结构。然后强调互否中的“互”字。 (4)逆否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题。用“若p则q”表示原命题结构，用“若¬q，¬p”表示逆否命题结构，然后强调互为逆否中的“互”字。 2．四种命题间的相互关系 (1)四种命题间的相互关系图 (2)四种命题之间的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。 3．充分条件和必要条件 (1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p是q的充分必要条件，简称充要条件． (3)若p⇒q，但qp，此时称p是q的充分不必要条件． (4)若pq，但q⇒p，此时称p是q的必要不充分条件． (5)若pq，且q⇒p，此时称p是q的既不充分也不必要条件． 总结:充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法： ①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． (2)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 4．充分条件和必要条件与集合的关系（Venn图表示） 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}． 总结：在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围． 根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 (1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}； (2)若p是q的充分不必要条件，则M⇒N，若p是q的必要不充分条件，则N⇒M，若p是q的充要条件，则M＝N； (3)根据集合的关系列不等式(组)； (4)求出参数的范围． 5．充要条件的传递性 1．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． 2．若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 四、考点精练 考点一：命题 【例1】命题“若，则且”为（    ） A．真命题 B．不是命题 C．恒等式 D．假命题 【变式探究】语句“若，则”是（   ） A．不是命题 B．真命题 C．假命题 D．不能判断真假 【例2】命题“若，则”是（    ） A．真命题 B．不是命题 C．假命题 D．恒等式 【变式探究】下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 且 D．若，则 【例3】命题“若，则且”是（    ） A．真命题 B．不是命题 C．无法判断 D．假命题 【变式探究】命题“若，则”是______命题. 技巧点拨 （1）判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断． （2）在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”． 考点二：充要条件的判定 【例1】是的（    ） A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式探究】下列说法正确的是（　　） A． 是 的充分条件 B． 是 的充分条件 C． 是 的必要条件 D． 是 的充分条件 【例2】设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】设不同直线，，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】“或”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 技巧点拨 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法 (1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论． (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题． (3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断. 考点三：充要条件与集合的关系 【例1】设是集合，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】若且，则这是的______条件. 【例2】已知且，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【变式探究】设，，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 技巧点拨 用集合法解决充要条件的问题时，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若AB，则p是q的充分不必要条件； ③若B⊆A，则p是q的必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若A＝B，则p是q的充要条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 考点四：充要条件的综合应用（与其他知识点交汇） 【例1】在中，三个内角所对的边分别为，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】已知且，“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】已知，. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【例4】已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 五、真题精练 1．（2026年安徽职教高考真题）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026年重庆职教高考真题）已知集合，均为非空集合，则是的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2021年吉林职教高考真题）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026年江苏职教高考真题）已知数列，则“”是“是递增数列”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026年湖南职教高考真题）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026年湖北职教高考真题） 是 的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7．（2026年河北职教高考真题）设A、B为两个集合，则是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026年辽宁职教高考真题）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．（2025年山东职教高考真题）已知，则是的什么条件（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 10．（2025年浙江职教高考真题）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 命题、充要条件 一、课标要求 1. 了解充分条件、必要条件、充要条件的概念. 2. 了解命题中条件与结论的关系. 3. 掌握充要条件和集合关系的转化，会利用充要条件求参数的范围. 二、知识架构 三、知识清单 1．命题的概念 (1)命题的结构 ①命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． ②确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． (2)逆命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互为逆命题。把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题。“若p则q”表示原命题结构，用“若q则p”表示逆命题结构。然后强调互为逆否中的“互”字。 (3)否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题。用“若p则q”表示原命题结构，用“若¬p则¬q”表示否命题结构。然后强调互否中的“互”字。 (4)逆否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题。用“若p则q”表示原命题结构，用“若¬q，¬p”表示逆否命题结构，然后强调互为逆否中的“互”字。 2．四种命题间的相互关系 (1)四种命题间的相互关系图 (2)四种命题之间的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。 3．充分条件和必要条件 (1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p是q的充分必要条件，简称充要条件． (3)若p⇒q，但qp，此时称p是q的充分不必要条件． (4)若pq，但q⇒p，此时称p是q的必要不充分条件． (5)若pq，且q⇒p，此时称p是q的既不充分也不必要条件． 总结:充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法： ①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． (2)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 4．充分条件和必要条件与集合的关系（Venn图表示） 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}． 总结：在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围． 根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 (1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}； (2)若p是q的充分不必要条件，则M⇒N，若p是q的必要不充分条件，则N⇒M，若p是q的充要条件，则M＝N； (3)根据集合的关系列不等式(组)； (4)求出参数的范围． 5．充要条件的传递性 1．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． 2．若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 四、考点精练 考点一：命题 【例1】命题“若，则且”为（    ） A．真命题 B．不是命题 C．恒等式 D．假命题 【答案】D 【解析】反例：，此时，但，不满足且， 该命题是可以判断真假的陈述句，是命题，但为假命题. 故选：D 【变式探究】语句“若，则”是（   ） A．不是命题 B．真命题 C．假命题 D．不能判断真假 【答案】B 【解析】成立，故“若，则”是真命题， 故选：B． 【例2】命题“若，则”是（    ） A．真命题 B．不是命题 C．假命题 D．恒等式 【答案】C 【解析】，解得， 所以“若，则”是假命题， 故选：. 【变式探究】下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 且 D．若，则 【答案】B 【解析】A选项，取，满足，，，故不符合题意. B选项，，两边同时乘正数，得到，又因为，可得，故符合题意. C选项，，只需或，不必同时为零，故不符合题意. D选项，取，满足，但，故不符合题意. 故选：B. 【例3】命题“若，则且”是（    ） A．真命题 B．不是命题 C．无法判断 D．假命题 【答案】D 【解析】若，则，此时， 所以若，则且是假命题. 故选：D. 【变式探究】命题“若，则”是______命题. 【答案】真 【解析】若，则，即，所以必有， 所以命题“若则”是真命题， 故答案为：真. 技巧点拨 （1）判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断． （2）在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”． 考点二：充要条件的判定 【例1】是的（    ） A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】由解得， 若，一定满足，充分性成立， 若，取，满足，但，不能推出，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：B 【变式探究】下列说法正确的是（　　） A． 是 的充分条件 B． 是 的充分条件 C． 是 的必要条件 D． 是 的充分条件 【答案】B 【解析】对A，因为不一定得到，又， 所以 是 的必要不充分条件，故A错误； 对B，因为，又不一定得到， 所以 是 的充分条件，故B正确； 对C，因为，又， 所以 是 的充分不必要条件，故C错误； 对D，因为，又， 所以 是的必要不充分条件，故D错误. 故选：B. 【例2】设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，即，，即，解得， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：A. 【变式探究】设不同直线，，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线，，因为，则， 又或， ， 解得， 又，则直线，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【例3】“或”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若或时，则，即或； 若时，则或， 即或. 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 技巧点拨 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法 (1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论． (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题． (3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断. 考点三：充要条件与集合的关系 【例1】设是集合，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由“”可以推出“”；又“”也可以推出“”， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式探究】若且，则这是的______条件. 【答案】充要 【解析】若且，说明和包含的元素完全一样，即， 所以且是的充分条件， 由于和元素相同，那么必然有且， 所以且是的必要条件， 综上，且是 的充要条件. 故答案为：充要. 【例2】已知且，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】． 【解析】令， 因为若p是q的充分不必要条件，所以， 所以，且等号不能同时取得，所以， 所以实数m的取值范围是． 【变式探究】设，，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】解：假设，由题意，是B的真子集， 所以必有成立. 故答案为：. 技巧点拨 用集合法解决充要条件的问题时，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若AB，则p是q的充分不必要条件； ③若B⊆A，则p是q的必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若A＝B，则p是q的充要条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 考点四：充要条件的综合应用（与其他知识点交汇） 【例1】在中，三个内角所对的边分别为，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】在任意三角形中，边长与对角的大小关系一致，即当且仅当． 因此，“”是“”的充要条件． 故选：C． 【例2】已知且，“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由“指数函数为增函数”可得； 由“一次函数为减函数”可得，即； 所以由“指数函数为增函数”可推得“一次函数为减函数”, 由“一次函数为减函数”可推得“指数函数为增函数”, 即“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的充要条件. 故选：C. 【例3】已知，. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵是真命题，∴，∴，解得， ∴的取值范围是. （2）由（1）知：：，， 是的必要不充分条件 当时，，故满足，即， 当时，，满足条件； 当时，，故满足，即. 综上所述的取值范围是. 【例4】已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1），故，， 或. （2）若“”是“”的充分条件，则， 当时，， 当时，，解得， 综上，. 五、真题精练 1．（2026年安徽职教高考真题）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，不一定成立，故充分性不成立； 当时，一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：. 2．（2026年重庆职教高考真题）已知集合，均为非空集合，则是的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若，则或，故充分性不成立， 因为，则，故必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：A. 3．（2021年吉林职教高考真题）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，解得或， 当时，无法推出，故充分性不成立； 当时，成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：. 4．（2026年江苏职教高考真题）已知数列，则“”是“是递增数列”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】递增数列的定义是对任意，都有， 因此若是递增数列，必有，必要性成立； 但仅无法保证所有后项均大于前项（如数列），充分性不成立； 所以“”是“是递增数列”的必要而不充分条件， 故选：. 5．（2026年湖南职教高考真题）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，取，此时满足，但，不满足，故充分性不成立， 若，又，从而，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6．（2026年湖北职教高考真题） 是 的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】充分性：若，则，充分性成立； 必要性：若，则，不一定为，必要性不成立. 因此是的充分不必要条件. 故选：A. 7．（2026年河北职教高考真题）设A、B为两个集合，则是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为A、B为两个集合， 所以由，可以得出集合A为集合B的子集，，所以充分性成立， 由，可以得出，所以必要性成立， 综上，是“”的充要条件. 故选：C. 8．（2026年辽宁职教高考真题）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，故充分性成立， 若，则或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 9．（2025年山东职教高考真题）已知，则是的什么条件（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】因为，所以 当时，有，即充分性成立； 当时，即，所以必要性成立， 所以是的充要条件， 故选：C. 10．（2025年浙江职教高考真题）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为当时，一定有，即，则“”是“”的充分条件； 但当时，不一定有，即，则“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 第 2 页 共 11 页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $