3.2.1函数的单调性课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的单调性 第三章 3.2　3.2.1　单调性与最大(小)值 索引 课时精练 一、直观感知函数的单调性 二、利用定义证明函数的单调性 三、函数单调性的应用 课堂达标 内容索引 直观感知函数的单调性 一 探究1 观察下列两个图象,从升降趋势上看,它们有什么共同特征? 提示　从升降趋势上看,它们的图象从左向右都是上升的,反映了函数值随着自变量的增大而增大. 4 探究2 反映在数量关系上,如何理解图象是上升的?针对图2的特征,你能用数学符号语言刻画吗? 提示　当自变量x的值增大时,对应的函数值y随之增大.任意取x1,x2∈[0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2). 5 1.函数的单调性 (1)函数的单调性 知识梳理 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时 都有_____________ 都有______________ 结论 f(x)在区间I上单调递增 f(x)在区间I上单调递减 图示 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 6 (2)增函数与减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称它是_________;当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称它是_________. 增函数 减函数 2.函数的单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的____________. 单调区间 7 (1)函数的递增(或递减)是针对定义域D内的某个区间I而言的,显然I⊆D. (2)定义中x1,x2有三个特征:①x1,x2属于同一个区间;②任意性,x1与x2不能用I上的特殊值代替;③有序性,通常规定x1<x2. (3)单调递增(递减)是函数的局部性质,增(减)函数是函数的整体性质. 温馨提示 8 (链接教材P86习题3.2T2)画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出该函数的单调区间. 例1 x≥0时,y=-x2+2x+3; x<0时,y=-x2-2x+3. 画出该函数的图象如图所示,由图象知, 该函数的单调递增区间是(-∞,-1],(0,1];单调递减区间是(-1,0],(1,+∞). 9 1.求函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可作出其图象,根据图象写出其单调区间. 2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接. 思维升华 10 画出函数y=|x|(x-2)的图象,并指出函数的单调区间. 训练1 函数的图象如图实线部分所示. 由函数的图象知,函数的单调递增区间为(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间为(0,1). 11 利用定义证明函数的单调性 二 12 (链接教材P78例2)根据定义,研究函数f(x)=在x∈(-1,1)上的单调性. 例2 ∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2, 所以f(x1)-f(x2)=-==. 因为x1,x2∈(-1,1)且x1<x2, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0. 所以>0.所以f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-1,1)上单调递减. 13 思维升华 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2; (2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的关系式; (3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号; (4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与定义确定单调性. 14 (链接教材P79例3)求证:函数f(x)=1-在区间(-∞,0)上单调递增. 训练2 ∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2, 因为f(x1)-f(x2)=1--=-=, 由题设可得,x1-x2<0,x1·x2>0, 所以f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)=1-在区间(-∞,0)上单调递增. 15 函数单调性的应用 三 16 若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是____________.  例3 角度1　利用单调性求参数范围 (-∞,-4] f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1], 由f(x)在(-∞,3]上单调递增知3≤-a-1, 解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4]. －4 在本例中,若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为____________.  迁移 f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1], 由题意得-a-1=3,a=-4. 18 若函数f(x)是定义在R上的增函数,则f与f的大小关系是 ________________________.  例4 角度2　利用单调性比较大小 f≤f ∵a2+2a+=(a+1)2+≥, 函数f(x)是定义在R上的增函数, ∴f≤f . 已知f(x)是定义在区间[-2,2]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范围. 例5 角度3　利用单调性解不等式 由题意,得 解得0≤x≤3,① ∵f(x)是[-2,2]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x). 所以x-2<1-x,解得x<,② 由①,②得0≤x<.所以满足题意的不等式解集为. 思维升华 1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是:视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. 2.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. 3.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. [4,8) (1)设f(x)=若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为____________.  训练3 因为f(x)是R上的增函数, 所以解得4≤a<8. 22 (2)已知函数y=f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a2+2a)与f(-4)的大小关系为________________.  (3)若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2x-3)>f(5x-6),则x的取值范围为____________.  f(a2+2a)≥f(-4) 　 (2)∵a2+2a+4=(a+2)2≥0,且函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴f(a2+2a)≥f(-4). (3)若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数, 则由题意得解得x>, ∴x的取值范围为. 23 【课堂达标】 1.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是 √ 由图象知f(x)的单调递增区间为[-3,1]. A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 2 3 4 1 2.若函数f(x)在R上是减函数,则有 A.f(3)<f(5) B.f(3)≤f(5) C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5) √ 因为函数f(x)在R上是减函数,3<5, 所以f(3)>f(5). 2 3 4 1 3.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是____________.  当x≥1时,f(x)单调递增;当x<1时,f(x)单调递减, 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1). (-∞,1) 2 3 4 1 4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为____________.  ∵y=f(x)在(-1,1)上是减函数, 又f(1-a)<f(2a-1), ∴解之得0<a<, 故所求a的取值范围是. 　 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.(链接教材P85习题3.2T1)函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数f(x)的所有单调递减区间为 由图象知,函数f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,1]上单调递增,在区间[1,4]上单调递减, 可得f(x)的单调递减区间为[-4,-2],[1,4]. A.[-4,-2] B.[1,4] C.[-4,-2],[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.设f(x)是定义在R上的函数. ①若存在x1,x2∈R,x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则函数f(x)在R上是增函数; ②若存在x1,x2∈R,x1<x2,使f(x1)≤f(x2)成立,则函数f(x)在R上不可能是减函数; ③若存在x2>0,对于任意x1∈R,都有f(x1)<f(x1+x2)成立,则函数f(x)在R上是减函数. 以上真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 对于①,存在x1,x2∈R,x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,函数f(x)在R上是增函数,应为任意的x1,x2都有这样的关系成立,故①为假命题; 对于②,由减函数的定义知,必须有任意x1,x2∈R,x1<x2,使f(x1)>f(x2)成立,即若存在x1,x2∈R,x1<x2,使f(x1)≤f(x2)成立,则函数f(x)在R上不可能是减函数,故②为真命题; 对于③,由于x2>0,则x1+x2>x1,结合f(x1)<f(x1+x2)可知函数f(x)在R上不可能是减函数,故③为假命题. 所以真命题的个数为1,故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意两个不相等的实数a,b都有(a-b)[f(a)-f(b)]>0,则不等式f(3x-1)>f(x+5)的解集为 A.(-∞,3) B.(-∞,2) C.(3,+∞) D.(2,+∞) 不妨设a>b,因为(a-b)[f(a)-f(b)]>0, 所以f(a)>f(b),所以f(x)是R上的增函数, 所以f(3x-1)>f(x+5)⇔3x-1>x+5, 解之得x>3,故原不等式的解集为(3,+∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上单调递减,则实数a的取值范围是 A. B. C.(3,+∞) D.(-∞,-3] ∵函数y=x2+(2a-1)x+1的图象是开口向上的抛物线,直线x=为图象的对称轴, 又∵函数在区间(-∞,2]上单调递减, 故2≤,解得a≤-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.(多选)下列函数在区间(0,1)上单调递增的是 A.y=1-2x B.y=- C.y=x2-2x D.y=-x2+2x √ 显然y=1-2x在(0,1)上单调递减; ∵t=在(0,1)上单调递减,∴y=-在(0,1)上单调递增; 又y=x2-2x=(x-1)2-1的图象关于x=1对称,且图象为开口向上的抛物线, ∴y=x2-2x在(0,1)上单调递减; 由y=-x2+2x=-(x-1)2+1知,图象关于x=1对称,且图象为开口向下的抛物线, ∴y=-x2+2x在(0,1)上单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.已知函数f(x)是定义在[2,+∞)上的增函数,若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4),则实数a的取值范围是 A.∪(2,+∞) B.[2,6) C.∪[2,6) D.(0,6) √ 函数f(x)是定义在[2,+∞)的增函数,若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4), 则2≤2a2-5a+4<a2+a+4,解得0<a≤或2≤a<6, 所以实数a的取值范围是∪[2,6). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为 A. 　　　B. C. 　　　D.∪ √ ≤a<. 要使f(x)在R上是减函数,需满足: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间是__________________.  [-1,1]和[3,+∞) y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|, 作出该函数的图象,如图. 由图象可知,其单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.若函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是____________.  f(-3)>f(-π) ∵∀x1,x2∈R且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, ∴f(x)在R上是增函数,故f(-3)>f(-π). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.函数f(x)=的单调递增区间是____________.  (-∞,+∞) 当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2+1单调递增,且f(x)≥1. 又在区间(-∞,0)上,f(x)=1-x2单调递增,且f(x)<1, 故f(x)在R上为增函数, 所以f(x)递增区间是(-∞,+∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.用函数单调性的定义证明:f(x)=在(-1,1)上单调递增. ∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=, 因为+1>0,+1>0,x2-x1>0, 且x1,x2∈(-1,1),x1x2-1<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.若函数f(x)=在R上是增函数,则实数a的取值范围是 A.[-4,-] B.[,4] C.[-3,4] D.[,3] √ 函数f(x)= 在R上是增函数,所以需满足下列条件: ①y=-x2+(a2-3)x-8在(-∞,1]上单调递增,则≥1,解得a≥或a≤-; 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 ②y=ax在(1,+∞)上单调递增,则a>0; ③当x=1时,满足-1+a2-3-8≤a, 解得-3≤a≤4. 综上可得,实数a的取值范围是[,4]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.函数y=在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是____________.  (-∞,-3] y==1+, 由题意知解得a≤-3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知函数f(x)=x2+ax+b在区间(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且f(m+2)<f(2),求实数m的取值范围. ∵f(x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增, ∴-=1,∴a=-2, 如图所示. ∵f(m+2)<f(2),f(0)=f(2), ∴0<m+2<2,∴-2<m<0, 则实数m的取值范围为(-2,0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.若函数f(x)是R上的减函数,a>0,则下列不等式一定成立的是 A.f(a2)<f(a) B.f(a)<f C.f(a)<f(2a) D.f(a2)<f(a-1) √ A选项,a2-a=a(a-1),当a>1时,a2>a,所以f(a2)<f(a); 当0<a<1时,a2<a,所以f(a2)>f(a),即A不一定成立. 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 B选项,当a>1时,a>,所以f(a)<f; 当0<a<1时,a<,所以f(a)>f,即B不一定成立. C选项,当a>0时,2a>a,所以f(a)>f(2a),即C不成立. D选项,a2-(a-1)=a2-a+1=+>0, 则a2>a-1,所以f(a2)<f(a-1),即D一定成立.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足条件f(4)=1,对于任意x1,x2∈(0,+∞),有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x1≠x2时,有>0. (1)求f(16)的值; ∵对于任意x1,x2∈(0,+∞), 有f(x1x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=4, 得f(4×4)=f(4)+f(4)=2, ∴f(16)=2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)若f(x+6)+f(x)>2,求x的取值范围. 设0<x1<x2,则由>0, 得f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. 由(1)知,f(16)=2, ∴f(x+6)+f(x)>f(16), ∴f((x+6)x)>f(16),∴ 解得x>2,∴x的取值范围是(2,+∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 所以y= y=|x|(x-2)= $