单棒与双杆模型 递进式问题链 作业设计 -2027届高考物理一轮复习

单棒与双棒模型全套练习题及详解 第一部分：单棒模型 题型一·单棒电阻类模型 第1题（水平光滑导轨） 如图所示，两水平放置的平行光滑导轨处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度为 ，两导轨间的距离为 ，金属棒  可沿导轨向右滑动，摩擦不计。 的质量为 ，电阻为 ，开始时静止于电阻右侧  处，外接电阻的阻值为 。若金属棒  在恒力  作用下从静止开始向右滑动，经过距离  后，撤去外力，此时金属棒已经达到最大速度。求： (1) 电路中相当于电源的是______，______为电源正极； (2) 达到最大速度时，导体棒所受的安培力； (3) 达到最大速度时，通过导体棒的感应电流； (4) 达到最大速度时，导体棒产生的感应电动势； (5) 达到最大速度时，导体棒  两点的电压； (6) 金属棒所能达到的最大速度（尝试画出  图像）； (7) 金属棒的速度为  时，金属棒的加速度； (8) 达到最大速度时，金属棒消耗的电功率； (9) 达到最大速度时，电路中消耗的电功率； (10) 导体棒通过前  的这段时间内整个电路产生的热量； (11) 导体棒通过前  的这段时间内外电阻  产生的热量； (12) 撤去外力后，金属棒后续运动过程中产生的热量； (13) 导体棒通过前  的这段时间内通过电阻  的电荷量； (14) 撤去外力后，通过金属棒的电荷量及金属棒还能滑行的距离； (15) 若金属棒从静止开始以  的加速度做匀加速直线运动，应该给导体棒施加怎样的外力？ (16) 磁感应强度从 ，每秒递增 ，为使导体棒处于静止状态，应该给导体棒施加一个怎样的外力？ (17) 若导体棒向右以  的速度做匀速直线运动，磁感应强度的初始值为 ，为使电路中始终没有电流，试求磁场随时间变化的关系式。 第1题详细解答 (1)金属棒；端 (2)，方向水平向左 (3) (4) (5) (6) 图像：从0开始加速度减小的加速运动，最后趋近于的水平直线。 (7)时： ，， (8) (9) (10)由动能定理： (11) (12)撤去外力后，动能全部转化为热量： （其中金属棒产生） (13) (14)由动量定理： 滑行距离： (15)匀加速：，，， 由得： 外力随时间线性增大。 (16)磁场变化： 感应电动势： 感应电流： 安培力： 外力与安培力平衡：，方向水平向右。 (17)无电流⇒磁通量不变： 代入，，，约去： 解得： 第2题（倾斜光滑导轨） 如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为 ，导轨平面与水平面夹角 ，导轨电阻不计。磁感应强度为  的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为  的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好。ab的质量为 ，电阻为 ，外接电阻的阻值为 。若金属棒ab在沿导轨向上的恒力  作用下从静止开始滑动，经过距离  金属棒达到最大速度，撤去外力后运动到最高点。（，，）求： (1) 电路中相当于电源的是______，______为电源正极； (2) 达到最大速度时，导体棒所受的安培力； (3) 达到最大速度时，通过导体棒的感应电流； (4) 达到最大速度时，导体棒产生的感应电动势； (5) 达到最大速度时，导体棒ab两点的电压； (6) 金属棒所能达到的最大速度； (7) 金属棒的速度为  时，金属棒的加速度； (8) 达到最大速度时，金属棒消耗的电功率； (9) 达到最大速度时，电路中消耗的电功率； (10) 导体棒通过前  的这段时间内整个电路产生的热量； (11) 导体棒通过前  的这段时间内外电阻  产生的热量； (12) 撤去外力后，金属棒后续上升运动过程中产生的热量； (13) 导体棒通过前  的这段时间内通过电阻  的电荷量； (14) 撤去外力后，通过金属棒的电荷量及金属还能滑行的距离； (15) 若金属棒从静止开始以  的加速度做匀加速直线运动，应该给导体棒施加怎样的外力？ (16) 磁感应强度从  开始，每秒递增 ，为使导体棒处于静止状态，应该给导体棒施加一个怎样的外力？ (17) 若导体棒沿导轨向上以  的速度做匀速直线运动，磁感应强度的初始值为 ，为使电路中始终没有电流，试求磁场随时间变化的关系式。 第2题详细解答 (1)金属棒ab切割磁感线，相当于电源。由右手定则（磁场垂直导轨向上，棒沿导轨向上运动），感应电流方向为 ，电源内部电流从负极到正极，故  端为电源正极。 答案： 金属棒ab；b端 (2)最大速度时棒做匀速直线运动，合力为零。 沿导轨方向受力平衡： 方向沿导轨向下（与运动方向相反）。 答案： ，方向沿导轨向下 (3)由安培力公式 ： 答案：  (4)感应电动势  答案：  (5)ab两端电压为路端电压： 答案：  (6)最大速度时 ： 答案：  (7)当  时： 沿导轨方向由牛顿第二定律： 答案：  (8)金属棒消耗的电功率（即内阻  的热功率）： 答案：  (9)电路中消耗的总电功率： 答案：  (10)对前  过程，由动能定理： 其中  为整个电路产生的热量。 答案：  (11)串联电路中热量与电阻成正比： 答案：  (12)撤去外力后，棒继续向上运动到最高点。设撤去外力时的位置为初态（速度 ，沿导轨向上），最高点时速度为零。此过程中安培力做负功，将机械能转化为电路的热量 。 由能量守恒定律： 其中  为撤去外力后棒沿导轨向上滑行的距离。 答案：  (13)通过电阻  的电荷量等于通过整个回路的电荷量： 答案：  (14)撤去外力后，棒只受重力下滑分力和安培力，做减速运动。设撤去外力后通过金属棒的电荷量为 ，沿导轨向上滑行的距离为 ，运动时间为 。 由动量定理（取沿导轨向上为正方向）： 其中 ，故： 即 又由电磁感应定律，通过金属棒的电荷量与滑行距离的关系： 联立以上两式，并结合能量守恒方程（第12问），可求解  和 。 答案： (15)匀加速运动 ，。 感应电动势  感应电流  安培力  沿导轨方向由牛顿第二定律： 代入数据： 答案： ，方向沿导轨向上 (16)磁场变化： 感应电动势由磁场变化产生（导体棒静止，无动生电动势）： 注意：图中静止时棒在某一位置，设棒到导轨底端的距离为某值，但题中未给出，通常取回路面积 ，其中  为静止时棒到电阻所在位置沿导轨的距离。由于  未知，一般假设初始时回路面积为 ，则感应电动势 。 若取 （参考第1题初始距离1m），则： 安培力  棒静止，合力为零。沿导轨方向：外力  需平衡重力下滑分力和安培力。 重力下滑分力  沿导轨向下，安培力  的方向由楞次定律判断（磁场增强，感应电流产生的磁场阻碍增强，故安培力沿导轨向下或向上？需具体分析。通常此类题中安培力方向与外力方向相反，为使棒静止，外力应沿导轨向上）。 答案： ，方向沿导轨向上 (17)无电流 ⇒ 回路中磁通量不变。 设初始时刻  时，磁感应强度 ，导体棒在导轨上某位置，设此时回路面积为 ，其中  为棒到某固定点的沿导轨距离。 棒以  沿导轨向上匀速运动，则  时刻棒的位置 。 磁通量 。 令  恒成立： 消去 ： 取 （参考第1题）： 答案：  第3题（水平粗糙导轨） 如图所示，两水平放置的平行光滑导轨（注：题中后面有动摩擦因数，应为粗糙导轨）处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度为 ，两导轨间的距离为 ，金属棒  可沿导轨滑动，动摩擦因数 。 的质量为 ，电阻为 ，外接电阻的阻值为 。若金属棒  在恒力  作用下从静止开始向右滑动，经过距离  后，撤去外力，此时金属棒已经达到最大速度。（）求： (1) 电路中相当于电源的是______，______为电源正极； (2) 达到最大速度时，导体棒所受的安培力； (3) 达到最大速度时，通过导体棒的感应电流； (4) 达到最大速度时，导体棒产生的感应电动势； (5) 达到最大速度时，导体棒  两点的电压； (6) 金属棒所能达到的最大速度； (7) 金属棒的速度为  时，金属棒的加速度； (8) 达到最大速度时，金属棒消耗的电功率； (9) 达到最大速度时，电路中消耗的电功率； (10) 导体棒通过前  的这段时间内整个电路产生的热量； (11) 导体棒通过前  的这段时间内外电阻  产生的热量； (12) 假设撤去外力后  金属棒停下，求撤去外力后金属棒后续运动过程中产生的热量； (13) 导体棒通过前  的这段时间内通过电阻  的电荷量； (14) 撤去外力后，已知金属棒经过  停下，求通过金属棒的电荷量及金属还能滑行的距离； (15) 若金属棒从静止开始以  的加速度做匀加速直线运动，应该给导体棒施加怎样的外力？ (16) 磁感应强度从  开始，每秒递增 ，为使导体棒处于静止状态，应该给导体棒施加一个怎样的外力？ (17) 若导体棒向右以  的速度做匀速直线运动，磁感应强度的初始值为 ，为使电路中始终没有电流，试求磁场随时间变化的关系式。 第3题答案 (1)金属棒  切割磁感线，相当于电源。由右手定则（磁场垂直纸面向里，棒向右运动），感应电流方向为 ，电源内部电流从负极到正极，故  端为电源正极。 答案： 金属棒 ； 端 (2)最大速度时棒做匀速直线运动，合力为零。水平方向受力平衡： 方向水平向左。 答案： ，方向水平向左 (3)由安培力公式 ： 答案：  (4)感应电动势  答案：  (5) 两端电压为路端电压： 答案：  (6)最大速度时 ： 答案：  (7)当  时： 水平方向由牛顿第二定律： 答案：  (8)金属棒消耗的电功率（即内阻  的热功率）： 答案：  (9)电路中消耗的总电功率： 答案：  (10)对前  过程，由动能定理： 其中  为整个电路产生的热量。 答案：  (11)串联电路中热量与电阻成正比： 答案：  (12)撤去外力后，棒受摩擦力和安培力做变减速运动，已知  停下。设撤去外力时速度为 ，滑行距离为 。 由动量定理（取向右为正方向）： 其中  为通过金属棒的电荷量，且 。 代入数据： 由能量守恒：撤去外力时的动能转化为摩擦生热和电路产生的热量 。 答案：  (13)通过电阻  的电荷量等于通过整个回路的电荷量： 答案：  (14)已知撤去外力后，金属棒经过  停下。设撤去外力时速度为 ，滑行距离为 ，通过金属棒的电荷量为 。 由动量定理（取向右为正方向）： 代入数据： 又由电磁感应定律： 答案： ， (15)匀加速运动 ，。 感应电动势  感应电流  安培力  水平方向由牛顿第二定律： 代入数据： 答案： ，方向水平向右 (16)磁场变化： 设初始时回路面积为 ，取 ，则 。 感应电动势由磁场变化产生（棒静止，无动生电动势）： 安培力  棒静止，合力为零。水平方向外力需平衡摩擦力和安培力： 方向水平向右（与安培力方向相反，克服摩擦和安培力）。 答案： ，方向水平向右 (17)无电流 ⇒ 回路中磁通量不变。 设初始时刻  时，磁感应强度 ，导体棒在导轨上某位置，设此时回路面积为 ，取 。 棒以  向右匀速运动，则  时刻棒的位置 。 磁通量 。 令  恒成立： 消去 ： 答案：  第4题（竖直光滑导轨） 如图所示，两足够长竖直放置的平行光滑导轨处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度为 ，两导轨间的距离为 ，金属棒  可沿导轨滑动，摩擦不计，。 的质量为 ，电阻为 ，外接电阻的阻值为 。若金属棒  在竖直向上的恒力  作用下从静止开始滑动，经过距离  后，撤去外力，此时金属棒已经达到最大速度。假设撤去外力后，金属棒继续上升的高度为 。（） 求： (1) 电路中相当于电源的是______，______为电源正极； (2) 达到最大速度时，导体棒所受的安培力； (3) 达到最大速度时，通过导体棒的感应电流； (4) 达到最大速度时，导体棒产生的感应电动势； (5) 达到最大速度时，导体棒  两点的电压； (6) 金属棒所能达到的最大速度； (7) 金属棒的速度为  时，金属棒的加速度； (8) 达到最大速度时，金属棒消耗的电功率； (9) 达到最大速度时，电路中消耗的电功率； (10) 导体棒通过前  的这段时间内整个电路产生的热量； (11) 导体棒通过前  的这段时间内外电阻  产生的热量； (12) 撤去外力后，金属棒后续运动过程中产生的热量； (13) 导体棒通过前  的这段时间内通过电阻  的电荷量； (14) 撤去外力后，通过金属棒的电荷量及金属还能滑行的距离（上升高度已知为 ，安培力方向竖直向下）； (15) 若金属棒从静止开始以  的加速度做匀加速直线运动，应该给导体棒施加怎样的外力？ (16) 磁感应强度从  开始，每秒递增 ，为使导体棒处于静止状态，应该给导体棒施加一个怎样的外力？（设回路面积 ， 时棒在  处） (17) 若导体棒向上以  的速度做匀速直线运动，磁感应强度的初始值为 ，为使电路中始终没有电流，试求磁场随时间变化的关系式。（ 时棒在  处） 第4题答案 (1)金属棒  切割磁感线，相当于电源。由右手定则（磁场垂直纸面向里，棒向上运动），感应电流方向为 ，电源内部电流从负极到正极，故  端为电源正极。 答案： 金属棒 ； 端 (2)最大速度时棒做匀速直线运动，合力为零。竖直方向受力平衡（取向上为正）： 方向竖直向下。 答案： ，方向竖直向下 (3)由安培力公式 ： 答案：  (4)感应电动势  答案：  (5) 两端电压为路端电压： 答案：  (6)最大速度时 ： 答案：  (7)当  时： 竖直方向由牛顿第二定律（取向上为正）： 答案： ，方向竖直向上 (8)金属棒消耗的电功率（即内阻  的热功率）： 答案：  (9)电路中消耗的总电功率： 答案：  (10)对前  过程，由动能定理（合外力做功等于动能增量）： 其中  为整个电路产生的热量。 答案：  (11) 串联电路中热量与电阻成正比： 答案：  (12)撤去外力后，棒继续上升至最高点（上升高度 ）。此过程中，安培力做负功，将机械能转化为电路的热量 。 取撤去外力时（速度 ）为初态，最高点（速度为零）为末态，由能量守恒： 答案：  (13)通过电阻  的电荷量等于通过整个回路的电荷量： 答案：  (14)撤去外力后，棒继续上升高度 。此过程中，安培力方向竖直向下（阻碍棒向上运动）。通过金属棒的电荷量： 滑行距离即为上升高度 （题中已假设）。 答案： ，滑行距离  (15)匀加速运动 ，。 感应电动势  感应电流  安培力  竖直方向由牛顿第二定律（取向上为正）： 代入数据： 答案： ，方向竖直向上 (16)磁场变化：，回路面积 （恒定，因为棒静止）。 感应电动势由磁场变化产生： 安培力  棒静止，合力为零。竖直方向外力需平衡重力和安培力（安培力方向由楞次定律判断，磁场增强时感应电流产生的磁场阻碍增强，安培力方向竖直向上）： 方向竖直向上。 答案： ，方向竖直向上 (17)无电流 ⇒ 回路中磁通量不变。 初始时刻  时，磁感应强度 ，棒在  处，回路面积 。 棒以  向上匀速运动，则  时刻棒的位置 。 磁通量 。 令  恒成立： 答案：  题型二：单棒电源类 题目1（水平光滑导轨 + 直流电源版，后改为电阻） 如图所示，两水平放置的平行光滑导轨处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度为 ，两导轨间的距离为 ，金属棒  可沿导轨滑动，摩擦不计，初始时离左端 。 的质量为 ，电阻为 。 电路中接有直流电源，电动势 ，内阻 ，另有一个定值电阻 。闭合开关后，金属棒  从静止开始运动，最终达到最大速度。求： (1) 电路中电源的正极方向，闭合开关瞬间金属棒所受安培力的大小与方向； (2) 达到最大速度时，导体棒所受的安培力； (3) 达到最大速度时，通过导体棒的电流； (4) 达到最大速度时，导体棒产生的感应电动势； (5) 达到最大速度时，导体棒  两点的电压； (6) 金属棒所能达到的最大速度； (7) 金属棒的速度为  时，金属棒的加速度； (8) 达到最大速度时，金属棒消耗的电功率； (9) 达到最大速度时，电路中电源消耗的总电功率； (10) 金属棒从静止到速度为  的过程中，整个电路产生的焦耳热； (11) 金属棒从静止到速度为  的过程中，定值电阻  产生的热量； (12) 最大速度后断开电源（即将电源替换为一个阻值为  的电阻），金属棒后续运动过程中产生的总热量； (13) 金属棒从静止到最大速度的过程中，通过电阻  的电荷量； (14) 最大速度后断开电源（回路总电阻为 ），通过金属棒的电荷量及金属还能滑行的距离； (15) 若要使金属棒从静止开始以  的加速度做匀加速直线运动，电源电动势应满足怎样的变化规律？ (16) 磁感应强度从  开始，每秒递增 ，为使导体棒保持静止，电源电动势应如何调整？（设回路面积 ） (17) 若金属棒向右以  的速度匀速运动，为使电路中电流恒定为 ，求电源电动势的大小。 题目1 解答 (1)闭合开关瞬间，棒静止，无动生电动势。 回路总电阻： 初始电流： 安培力： 方向：由左手定则（磁场垂直纸面向里，电流从电源正极流出经  进入棒），安培力向右。 答案： 电源正极接  端；，方向水平向右 (2)最大速度时，棒匀速运动，感应电动势与电源电动势平衡，回路中电流为零，因此安培力为零。 答案：  (3)最大速度时  答案：  (4)最大速度时，感应电动势等于电源电动势（无电流，无内压降）： 答案：  (5) 两点电压等于感应电动势（此时无电流）： 答案：  (6)由 ： 答案：  (7) 时： 回路电流： 安培力： 加速度： 答案：  (8)最大速度时 ，金属棒消耗的电功率： 答案：  (9)最大速度时 ，电源消耗的总电功率： 答案：  (10)设速度  时，由动量定理： 其中  为从静止到该时刻通过回路的电荷量。 由能量守恒：电源提供的电能  转化为棒的动能和焦耳热 ： 答案：  (11)焦耳热按电阻分配： 答案：  (12)最大速度 ，断开电源（替换为  电阻），回路总电阻仍为 。 后续过程中，棒的动能全部转化为焦耳热： 答案：  (13)从静止到最大速度，由动量定理： 通过电阻  的电荷量等于回路总电荷量： 答案：  (14)断开电源后（回路总电阻 ），由动量定理： 滑行距离  由电荷量公式： 答案： ， (15)匀加速 ，。 感应电动势  回路电流  安培力  由牛顿第二定律 ： 代入数据： 答案：  (16)磁场变化 ，感生电动势： 为使棒静止，动生电动势为零，回路电流由感生电动势产生。 设电源电动势为 ，则回路总电动势为 （方向需抵消）。 为使棒受安培力为零（静止且无电流），需 ？不对，若电流为零则棒不受力，但感生电动势存在时若无电源则会有电流。 正确：要使棒静止，需安培力为零 ⇒  ⇒ 回路总电动势为零： 但  为感生电动势，与  无关，因此  应为恒定 ？题目说“磁感应强度递增”，为使棒保持静止，应调整电源电动势使其与感生电动势时刻相等。若初始 ，则需逐渐减小： 答案： （设初始 ） (17)棒匀速 ，动生电动势 。 回路电流 ，由闭合电路欧姆定律（电流方向需与电源一致）： 答案：  题目2（倾斜光滑导轨 + 直流电源） 如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为 ，导轨平面与水平面夹角 ，导轨电阻不计。磁感应强度为  的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为  的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好。ab的质量为 ，电阻为 ，外接直流电源电动势 、内阻 ，定值电阻 。闭合开关后，金属棒ab从静止开始沿导轨向上运动，最终达到最大速度。（，，） 求： (1) 电路中电源的正极方向，闭合开关瞬间金属棒所受安培力的大小与方向； (2) 达到最大速度时，导体棒所受的安培力； (3) 达到最大速度时，通过导体棒的电流； (4) 达到最大速度时，导体棒产生的感应电动势； (5) 达到最大速度时，导体棒ab两点的电压； (6) 金属棒所能达到的最大速度； (7) 金属棒的速度为  时，金属棒的加速度； (8) 达到最大速度时，金属棒消耗的电功率； (9) 达到最大速度时，电路中电源消耗的总电功率； (10) 金属棒从静止到速度为  的过程中， ，整个电路产生的焦耳热； (11) 金属棒从静止到速度为  的过程中， ，定值电阻  产生的热量； (12) 金属棒从静止开始运动，经过  时 ，通过电阻  的电荷量。 题目2 解答 (1)闭合开关瞬间，棒静止，无动生电动势。 回路总电阻： 初始电流： 安培力： 方向：由左手定则（磁场垂直导轨向上，电流从电源正极流出，经棒中 ），安培力沿导轨向上。 答案： 电源正极接  端；，方向沿导轨向上 (2)最大速度时棒匀速运动，合力为零。沿导轨方向： 方向沿导轨向下（与运动方向相反）。 答案： ，方向沿导轨向下 (3)由 ： 答案：  (4)最大速度时，由闭合电路欧姆定律： (5)ab两端电压为路端电压（电源两端电压）： 答案：  (6)由 ： 答案：  (7) 时： 回路电流： 安培力： 沿导轨方向由牛顿第二定律（取向上为正）： 答案：  (8)金属棒消耗的电功率（内阻  的热功率）： 答案：  (9)电源消耗的总电功率： 答案：  (10)设速度  时，棒沿导轨上滑的距离为 ，所用时间为 。 由动量定理（沿导轨向上为正）： 其中  为从静止到该时刻通过回路的电荷量，且 。 由能量守恒：电源提供的电能  转化为棒的动能、重力势能和焦耳热 ： 联立以上两式可消去  和 。 由  及 ，代入能量守恒得： 取题中未给出的时间  无法直接求数值。此处若补充条件（如  或已知 ）可算出具体值。为满足“方便计算”，假设 ，则： 答案（以  为例）：  (11)焦耳热按电阻分配： 答案（以  为例）：  (12)  时 （方便计算），则： 由动量定理： 通过电阻  的电荷量等于回路总电荷量 。 答案（设  时 ）：  题型三：单棒电容器类（回路中无电阻也不能有电阻） 说明：电容器模型中，为使金属棒做匀加速运动，回路中不能有电阻。 题目1（水平导轨 + 电容器） 如图所示，两水平放置的平行光滑导轨处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度 ，导轨间距 。金属棒  质量 ，可沿导轨无摩擦滑动。导轨间接入电容  的平行板电容器，初始不带电。 有恒力作用阶段：金属棒电阻不计，在恒力  作用下从静止开始滑动。 撤去外力后：当金属棒速度达到  时，撤去恒力 ，同时： · 电容器突然失去所有电荷（即瞬间放电至 ，电容器两端电压为 0）； · 金属棒的电阻变为 （之前不计）。 忽略导轨电阻和接触电阻。此后金属棒在安培力作用下运动。 求： 一、有恒力作用阶段（金属棒电阻不计，v 从 0 到 ） 1. 金属棒在恒力  作用下的运动性质，并求加速度 。 2. 求金属棒速度从 0 增加到  所需的时间 。 3. 当  时，求电容器两端的电压 。 4. 当  时，求电容器的带电量 。 5. 从静止到  的过程中，求恒力  做的功 。 6. 从静止到  的过程中，求金属棒动能的增量 。 7. 从静止到  的过程中，求电容器储存的电场能 。 8. 从静止到  的过程中，验证能量守恒。 二、撤去外力后（电容器初始带电量 ，棒电阻 ，初速度 ） 9. 撤去外力后，金属棒最终会达到什么运动状态？最终速度  是多少？ 10. 求最终稳定时电容器两端的电压  和带电量 。 11. 求撤去外力后，通过金属棒的总电荷量 （从开始减速到最终匀速过程中，流过棒的电荷量）。 12. 求撤去外力后，金属棒上产生的焦耳热 。 13. 若撤去外力后，金属棒从初速度  到最终匀速所用时间为 ，求这段时间内的平均电流 。 三、其他条件 14. 若要使金属棒在恒力  作用下做  的匀加速运动，求  的大小。 15. 若磁感应强度随时间变化 ，金属棒保持静止，回路面积 ，求电容器的带电量 。 16. 若金属棒向右以  匀速运动（金属棒电阻不计，电容器与棒并联），求电容器的带电量  和电路中的电流 。 题目1 答案 一、有恒力作用阶段 1. 匀加速直线运动。 加速度： 2. 3. 4. 5. 位移： 6. 7. 8. 两者相等，能量守恒成立。 二、撤去外力后（电容器初始 ，棒有电阻 ） 9. 撤去外力后，棒有初速度 ，切割磁感线产生动生电动势，对电容器充电。充电电流使棒受安培力减速。当棒速度减到某一值  时，电容器电压 ，充电电流为零，安培力为零，棒此后做匀速运动。 最终稳定时，回路中电流 ，电容器电压等于棒感应电动势： 由电荷守恒：电容器最终带电量 ，且  等于从开始到稳定过程中流过棒的电荷量 。 对棒应用动量定理（取向右为正），安培力的冲量等于棒动量变化： 同时 。 代入： 代入数据： 答案： 最终做匀速运动，（由于 ，几乎不变）。 10. 11. 通过金属棒的总电荷量等于电容器最终带电量： 12. 由能量守恒：初始动能转化为最终动能 + 电容器电场能 + 焦耳热： 13. 平均电流： 三、其他条件 14. 匀加速  所需恒力： 15. 感生电动势： 电容器电压 ，带电量： 16. 匀速运动 ，棒电阻不计： 电路中的电流 （电压恒定，电容器不充电也不放电）。 题目2（倾斜光滑导轨 + 电容器） 如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距 ，导轨平面与水平面夹角 ，导轨电阻不计。磁感应强度  的匀强磁场垂直导轨平面向上。金属棒ab质量 ，电阻不计，垂直于导轨放置且始终与导轨接触良好。导轨间接入电容  的平行板电容器，初始不带电。金属棒由静止释放，沿导轨下滑。取 ，，。 求： 一、基本运动与状态量 1. 金属棒下滑时的运动性质，并求其加速度大小 。 2. 推导金属棒速度  与时间  的关系式（用已知符号表示）。 3. 当金属棒速度  时，求： (a) 导体棒产生的感应电动势  (b) 电容器的带电量  (c) 电路中的充电电流  (d) 导体棒所受的安培力  (e) 金属棒的加速度  二、能量与电荷量（从静止到位移 ） 4. 从静止下滑位移  的过程中，求： (a) 整个电路产生的焦耳热  (b) 电容器储存的电场能  (c) 通过金属棒的电荷量  三、施加外力后的运动 5. 若在金属棒速度达到  时，施加一个沿导轨向上的恒力 ，定性分析金属棒接下来的运动情况。 四、控制与变化条件 6. 若要使金属棒从静止开始以  的加速度沿导轨向上做匀加速直线运动，求所施加的恒力  的大小。 7. 若磁感应强度随时间变化 （初始 ，每秒递增 ），金属棒保持静止。已知回路面积 ，求电容器的带电量 。 8. 若金属棒沿导轨向上以  的速度匀速运动，求电容器的带电量  及电路中的电流 。 题目2 答案 一、基本运动与状态量 1. 金属棒做匀加速直线运动。 加速度公式： 代入数据： 2. 速度与时间关系： 3. 当  时： (a) 感应电动势 (b) 电容器带电量 (c) 充电电流 (d) 安培力 (e) 加速度（由牛顿第二定律验证） 与第(1)问结果一致。 二、能量与电荷量（位移 ） 先求末速度： 4. (a) 整个电路无电阻（金属棒电阻不计、导轨电阻不计、电容器理想），因此 焦耳热 。 (b) 电容器储存的电场能 (c) 通过金属棒的电荷量 三、施加外力后的运动（ 时施加  向上） 5. 定性分析： 取沿导轨向下为正方向。设施加外力瞬间为 ，此时棒的速度 ，电容器电压 ，带电量 。 施加外力后，棒的运动满足以下方程： 动力学方程： 电路方程： 电容器电压 ，棒产生的动生电动势 ，回路中无电阻，故： 即 电荷量与电流关系： 由  对时间求导得： 代入动力学方程： 令 ，则： 结论： 施加外力后，棒的加速度为恒定值 ，方向沿导轨向下（因 ）。因此，棒将继续向下做匀加速直线运动，加速度比施加外力前略小。 四、控制与变化条件 6. 向上匀加速 ： 取沿导轨向上为正方向，由牛顿第二定律： 其中充电电流 （匀加速时恒定），代入得： 代入数据： 答案： ，方向沿导轨向上 7. 磁场变化 ，棒静止，面积 ： 感生电动势（恒定）： 电容器电压  带电量： 答案：  8. 向上匀速 ： 电容器电压： 带电量： 电路中的电流 （电压恒定，电容器不充电也不放电）。 答案： ， 第二部分：双杆模型 题型一：等长双杆，一杆受恒力 如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，间距为 。整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度 。有两根相同的金属棒 ab 和 cd，质量均为 ，电阻均为 ，均垂直导轨放置。初始时，cd 棒静止在导轨上，ab 棒位于其右侧某处。现对 ab 棒施加一个水平向右的恒力 ，两棒在运动中始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。 第1题 基础动力学分析 (1) 初始时刻，两棒均静止。突然对 ab 施加恒力 F。哪根棒是电路的电源？请画出等效电路图。 (2) 施加力瞬间，ab 棒的加速度是多少？ (3) 施加力后，ab 棒和 cd 棒的速度大小关系如何变化？谁的速度更大？ 第2题 稳定前的动力学 经过一段时间，两棒的加速度变得相等。 (1) 此时，两棒的速度差是否恒定？请说明理由。 (2) 设此时 ab 棒速度为 ，cd 棒速度为 ，请写出回路中的感应电动势表达式。 (3) 若此时回路中的电流为 ，请分别写出两棒的动力学方程。 第3题 稳定状态 当系统达到稳定状态（两棒以相同的加速度运动）时： (1) 两棒的加速度大小是多少？ (2) 此时两棒的速度差  是多少？ (3) 如果 ，求稳定时的加速度  和速度差 。 第4题 能量与动量综合 从开始运动到系统达到稳定状态（两棒共速差）的过程中： (1) 安培力对 ab 棒做正功还是负功？对 cd 棒呢？ (2) 整个电路中产生的总焦耳热  与外力  做功 、两棒动能增量  之间满足什么关系？ (3) 若从开始到稳定历时 ，请写出对系统运用动量定理的表达式。 第5题 电荷量与动量 接上问，已知从开始到稳定，通过回路的电荷量为 。 (1) 在此过程中，两棒的动量变化量之和是多少？ (2) 求稳定时两棒的速度  和 。（设初始时两棒均静止） (3) 求从开始到稳定过程中，ab 棒和 cd 棒各自受到的安培力的冲量大小。 第6题 撤去外力 接上问，在达到稳定状态后，突然撤去外力 F。 (1) 撤去 F 的瞬间，两棒的加速度各是多少？方向如何？ (2) 最终两棒的运动状态是怎样的？ (3) 从撤去 F 到最终稳定，整个回路产生的焦耳热是多少？ 第7题 电荷量与位移 针对 第6题的过程（从撤去外力瞬间到两棒共速），利用动量定理求该过程中通过回路的电荷量 。 (1) 分别对 ab 棒和 cd 棒写出动量定理表达式（取向右为正方向）。 (2) 联立两式，求出通过回路的电荷量 。 (3) 代入数据计算  的值。 第8题 非稳定状态分析 若某时刻 ab 棒的速度为 ，cd 棒的速度为 ： (1) 求此时回路中的感应电动势和电流大小。 (2) 求此时两棒的加速度大小。 (3) 此时外力 F 还作用在 ab 上吗？若 F 仍为 ，请判断两棒是在加速、减速还是匀速？ 第9题 电容器版本（变式训练） 将 cd 棒拆除，在导轨右端接入一个电容为  的电容器（初始不带电），其他条件不变（仍有一根 ab 棒，质量为 ，电阻 ，恒力  水平向右拉 ab 棒，磁场 ，导轨间距 ，导轨电阻不计）。 (1) 对 ab 棒施加恒定外力 F 后，ab 棒将做什么性质的运动？ (2) 求 ab 棒的加速度表达式。 (3) 求稳定后回路中的电流大小。 答案 第1题 基础动力学分析 (1)ab 棒切割磁感线，相当于电源。 等效电路：ab 棒（电源，右端为正极）与 cd 棒（电阻）串联，两棒电阻均为 0.1 Ω。 (2)施加力瞬间，两棒速度均为 0，感应电动势 ，电流 ，安培力 。 对 ab 棒： (3)ab 棒加速，切割磁感线产生感应电流，cd 棒受安培力向右加速。由于 ab 棒始终受外力且为主动棒，其速度始终大于 cd 棒，且速度差逐渐增大。 第2题 稳定前的动力学 (1)当两棒加速度相等时，设共同加速度为 。 对 ab： 对 cd： 两式相加得 ，故  恒定。 又由  得  恒定，而 ，所以  恒定。 (2)感应电动势： (3)对 ab： 对 cd： 第3题 稳定状态 (1)稳定时两棒加速度相等，设为 。由第2题(1)已得： (2)由  得： 又 ，得： (3)， 第4题 能量与动量综合 (1)安培力对 ab 棒做负功（阻碍运动），对 cd 棒做正功（使其加速）。 (2)由能量守恒： (3)对两棒整体，外力 F 的冲量等于两棒总动量变化： 第5题 电荷量与动量 (1)通过回路的电荷量 ，由动量定理： 对 ab 棒： 对 cd 棒： 两式相加：（与第4题(3)一致） (2)由  得： 由稳定时 ，得： (3)安培力对 ab 棒的冲量大小：（方向向左） 安培力对 cd 棒的冲量大小：（方向向右） 第6题 撤去外力 (1)撤去 F 瞬间，ab 棒速度 ，cd 棒速度 ，速度差 ，电流 。 安培力对 ab：，方向向左。 安培力对 cd：，方向向右。 加速度： （向左） （向右） (2)最终两棒以相同速度匀速运动（速度相等，电流为零，安培力为零）。 (3)由动量守恒（撤去 F 后系统不受外力）： 由能量守恒： 第7题 用动量定理求撤去外力过程中的电荷量 (1) 取向右为正方向。 对 ab 棒（从撤去外力瞬间到共速，初速 ，末速 ）： 安培力向左，冲量为 ，动量定理： 对 cd 棒（初速 ，末速 ）： 安培力向右，冲量为 ，动量定理： (2) 两式相加： 此式即为动量守恒，不给出 。 需任取一式求 ，例如取 cd 棒： (3) 代入数据： 第8题 非稳定状态分析 (1) 感应电动势： 回路总电阻  电流： (2)安培力： 对 ab：（减速） 对 cd：（加速） (3)外力 F 仍作用在 ab 上。两棒一个减速、一个加速，速度差将减小，电流减小，最终趋于稳定。 第9题 电容器版本（cd 棒换成电容器） (1)ab 棒做匀加速直线运动。 (2)设 ab 棒加速度为 。 电容器电压 （因 ab 棒切割，电容器与棒并联）。 充电电流  对 ab 棒： 代入 ： (3) 代入数据： 稳定后电流恒定： 题型二：等长双杆，无外力，有初速度 模型设定： 如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，间距为L=1m，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1T。两根相同的金属棒ab和cd，质量均为m=0.2kg，电阻均为r=0.1Ω。初始时，ab棒以初速度v0=4m/s向右运动，cd棒静止。 第10题（无电阻R，即两杆直接通过导轨形成回路） (1)开始瞬间，哪根棒是电源？回路中电流方向如何？ (2)开始瞬间，两棒的加速度大小和方向各是多少？ (3)最终两棒的运动状态是什么？最终速度是多少？ (4)从开始到最终，回路中产生的焦耳热是多少？ (5)此过程中，通过cd棒的电荷量是多少？ (6)从开始到共速，两棒的相对位移是多少？ 第11题（有电阻R=0.3Ω的情况） (1)最终两棒的速度是多少？（与有无R是否有关？） (2)最终产生的焦耳热是多少？其中电阻R上产生的热量是多少？ (3)从开始到共速，通过电阻R的电荷量是多少？ 第12题（初速度反向——两棒相向运动） 初始时，ab棒以v0=4m/s向右，cd棒以v0=4m/s向左，两棒质量、电阻均相同，导轨光滑，无电阻R。 (1)最终两棒的运动状态是什么？ (2)整个过程中产生的焦耳热是多少？ (3)若在运动过程中某时刻两棒速度大小相等，此时它们的速度是多少？ 第10题解答 (1)电源：ab棒（切割磁感线）。电流方向：由右手定则，ab中电流从b→a，在回路中为逆时针（俯视）。 (2)初始加速度： 总电阻 初始电流 (3)最终状态：两棒速度相等，一起匀速运动（无相对运动，无感应电流）。由动量守恒： m/s (4)焦耳热：m2 (5)电荷量：对cd棒，安培力冲量 (6)相对位移：由 第11题解答 (1)最终速度：与有无R无关。因为最终共速时，系统不受外力（水平方向），动量守恒依然成立。 (2)焦耳热： 总电阻 热量分配： (3)电荷量：对cd棒： 第12题解答 (1)最终状态：两棒相向运动，系统总动量为m×4+m×(-4)=0。由动量守恒，最终总动量仍为0，故两棒最终均静止。 (2)焦耳热： (3)速度相等时：设某时刻两棒速度大小均为v，方向相反（因为总动量为0）。设ab速度+v，cd速度-v。此时电动势E=BLv-BL(-v)=2BLv，电流速度大小从v0逐渐减到0。 题型三：不等长双杆 模型设定： 如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，间距不相等：左侧宽轨间距L1=1m，右侧窄轨间距L2=0.5m。两导轨通过光滑圆弧平滑连接。整个区域存在竖直向上的匀强磁场B=1T。有两根金属棒：ab棒（在宽轨上）长度L1=1m，质量m1=0.1kg，电阻r1=0.2Ω；cd棒（在窄轨上）长度L2=0.5m，质量m2=0.4kg，电阻r2=0.1Ω。初始时，两棒均静止。现对ab棒施加水平向右的恒力F=2N。 注：为满足稳定条件，此处质量参数与原始设定交换（m1=0.1kg，m2=0.4kg）。 第13题基础分析 (1)两棒切割磁感线产生的电动势表达式分别是什么？回路总电动势如何计算？ (2)若某时刻ab棒速度为v1，cd棒速度为v2，写出回路中的总感应电动势。 (3)写出此时回路中的电流表达式（设导轨电阻不计，两棒电阻串联）。 第14题稳定状态分析 (1)系统能否达到稳定状态？如果能，稳定条件是什么？ (2)达到稳定时，通过两棒的电流是多少？ (3)达到稳定时，两棒的速度满足什么关系？ (4)已知B=1T，L1=1m，L2=0.5m，m1=0.1kg，m2=0.4kg，F=2N，r1=0.2Ω，r2=0.1Ω，求稳定时的加速度a1、a2和电流I。 第15题能量与动量 (1)从开始到稳定，安培力对ab棒和cd棒做功的代数和是多少？与回路焦耳热有何关系？ (2)若从开始到稳定历时t，通过回路的电荷量为q，请写出对两棒分别运用动量定理的表达式。 (3)接上问，若已知稳定时v1=6m/s，v2=4m/s（对应某组参数），求此过程中通过回路的电荷量q。 第16题撤去外力后 接上问稳定后，突然撤去外力F。 (1)撤去瞬间，两棒的加速度各是多少？方向如何？ (2)最终两棒的运动状态是什么？ (3)从撤去到最终稳定，回路中产生的焦耳热是多少？ 第13题解答 (1)电动势：ab棒：E1=BL1v1；cd棒：E2=BL2v2。 若ab向右运动，cd也向右运动（被安培力驱动），ab中电流b→a，cd中电流c→d，两者在回路中串联反向。总电动势为两者之差。 (2)总电动势： (3)电流： 第14题解答 (1)稳定条件 总电动势： 电流： 对求导： 稳定时电流恒定⇒恒定⇒，所以： 代入数据： 这里和方向相同（都向右）。 (2)动力学方程 对棒（受向右的恒力，向左的安培力）： 对棒（只受向右的安培力）： (3)稳定时的速度关系 稳定时电流恒定，但速度仍可变化，只要。 由电流表达式： 代入： 所以稳定时速度满足： (4)联立求解 由方程： 由稳定条件，得。 代入方程： 第15题解答 (1)安培力做功：安培力对ab做负功，对cd做正功，代数和为负，绝对值等于回路焦耳热： (2)动量定理： 对ab： 对cd： (3)电荷量：由cd方程： 第16题解答 已知撤去外力前稳定时： · 由第14题正确结果：，， · 速度关系：（但具体数值未知，因为需要初始条件） 题目第16题中直接给出了，这显然不是从第14题参数推出的，而是“对应某组参数”的独立已知条件。所以我们用这个已知条件计算。 (1)撤去瞬间的加速度 撤去瞬间，速度仍为，电流由电动势决定： 注意：撤去外力后，电流瞬间变为，而不是原来的（因为原来有恒力维持稳定，撤去后速度不变但电流由速度差决定，与原来稳定时的电流不同）。 加速度： (2)最终两棒的运动状态 撤去外力后，系统水平方向合外力： 不为零（除非），所以动量不守恒。 最终状态：当两棒速度满足时，总电动势为零，电流为零，安培力为零，两棒以恒定速度运动（不再加速）。 即最终： 具体数值需要由其他守恒量（如能量或动量积分）确定，但题目未给初始条件（撤去时的已知为6和4），所以可以求解。 求最终速度： 系统水平方向合外力不为零，但安培力是内力？不对，安培力是外力（磁场对电流的作用），但两棒受到的安培力大小不等，所以合外力不为零。不能用动量守恒。 但我们可以用动量定理分别对两棒积分，并利用最终电流为零的条件。 对： 对： 其中是通过回路的电荷量（从撤去到最终稳定）。 两式相除消去： 代入： 又最终无电流条件：⇒ 代入： (3)回路中产生的焦耳热 由能量守恒：初始动能（撤去外力时）-最终动能=焦耳热 初始动能： 最终动能： 焦耳热： 2 学科网（北京）股份有限公司 学习总结 单棒模型核心结论： · 最终状态：匀速直线运动， · 最大速度 · 电荷量： · 安培力冲量：BLq=Δp 双杆模型核心结论： 等长双杆，一杆受恒力： · 最终状态：共同匀加速 · 速度差恒定： 等长双杆，无外力，有初速度： · 最终状态：共同匀速， · 动量守恒成立 不等长双杆： · 有恒力时稳定条件：L1a1+L2a2=0 · 无外力时最终条件：L1v1'=L2v2' · 动量守恒不成立 $